Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorİtme ve Çizgisel Momentum

Sürtünmesiz yatay düzlemde durmakta olan M=3 kgM = 3\text{ kg} kütleli bir arabanın tavanına, L=06 mL = 0{}6\text{ m} uzunluğundaki hafif ve esnemez bir ipin ucuna bağlı m=1 kgm = 1\text{ kg} kütleli noktasal bir cisim asılmıştır. Cisim, ip düşey doğrultuyla 90∘90^\circ açı yapacak şekilde (yatay konumda) tutulurken serbest bırakılıyor.

Buna göre, cisim düşey konumdan (en alt noktadan) geçerken ipin arabaya uyguladığı yatay doğrultudaki itmenin (impulse) büyüklüğü kaç N⋅s\text{N}\cdot\text{s} olur? (g=10 m/s2g = 10\text{ m/s}^2)

  1. A
    1
  2. B
    2
  3. 3Cevap
  4. D
    4
  5. E
    6

Cevap

İpin arabaya uyguladığı yatay doğrultudaki itmenin büyüklüğü 3 N·s'dir.
Yatay doğrultuda dış kuvvet olmadığından momentum korunumu geçerlidir. Cisim en alt noktaya ulaştığında, kaybettiği potansiyel enerji hem kendisinin hem de arabanın kinetik enerjisine dönüşür. Enerji ve momentum korunumu ortak çözüldüğünde arabanın son hızı 1 m/s1\text{ m/s} bulunur. İtme-momentum teoremi gereğince arabaya uygulanan yatay itme, arabanın momentumundaki değişime eşit olup 3 N⋅s3\text{ N}\cdot\text{s}'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Yatay doğrultudaki çizgisel momentumun korunumu denklemini yazınız.
mv−MV=0  ⟹  1⋅v=3⋅V  ⟹  v=3Vm v - M V = 0 \implies 1 \cdot v = 3 \cdot V \implies v = 3V
Sisteme yatay doğrultuda etki eden dış bir kuvvet olmadığından, yatay doğrultudaki çizgisel momentum korunur. Başlangıçta sistem durgun olduğu için ilk momentum sıfırdır. En alt noktada cismin hızı vv (sağa), arabanın hızı VV (sola) olarak kabul edilmiştir.
2
Sistem için mekanik enerjinin korunumu denklemini kurunuz.
mgL=12mv2+12MV2m g L = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} M V^2
Sürt��nmesiz sistemde mekanik enerji korunur. Cismin kaybettiği potansiyel enerji, cisim ve arabanın kazandığı kinetik enerjilerin toplamına eşit olur.
3
Elde edilen hız ilişkisini enerji denkleminde yerine yazarak arabanın son hızını bulunuz.
1⋅10⋅06=12⋅1⋅(3V)2+12⋅3⋅V2  ⟹  6=92V2+32V2  ⟹  6=6V2  ⟹  V=1 m/s1 \cdot 10 \cdot 0{}6 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (3V)^2 + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot V^2 \implies 6 = \frac{9}{2} V^2 + \frac{3}{2} V^2 \implies 6 = 6 V^2 \implies V = 1\text{ m/s}
Cismin hızını arabanın hızı cinsinden yazarak tek bilinmeyenli bir denklem elde etmek ve arabanın son hızını hesaplamak için bu adım uygulanır.
4
İtme-momentum ilişkisini kullanarak arabaya etki eden yatay itmeyi hesaplayınız.
I=ΔParaba=MV−0=3⋅1=3 N⋅sI = \Delta P_{\text{araba}} = M V - 0 = 3 \cdot 1 = 3\text{ N}\cdot\text{s}
Bir cisme uygulanan net itme, o cismin momentumundaki değişime eşittir (I=ΔPI = \Delta P). Arabaya yatay doğrultuda etki eden tek kuvvet ip gerilmesinin yatay bileşeni olduğundan, ipin uyguladığı yatay itme doğrudan arabanın momentum değişimine eşittir.

Anahtar Kavram

İtme ile çizgisel momentum değişimi arasındaki ilişki ve yatay momentumun korunumu.
Bu soruyu puanla

Konular

İtme ve Çizgisel Momentum

Bu konudan daha fazla soru