Examkin

Soru

Zorluk: OrtaLimitlerde Belirsizlik Durumları (0/0 Belirsizliği)

aa ve bb gerçel sayılar olmak üzere,

lim⁡x→3x2−ax+6x2−2x−3=b\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - ax + 6}{x^2 - 2x - 3} = b

eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, a+8ba + 8b toplamının değeri kaçtır?
  1. A
    5
  2. 7Cevap
  3. C
    9
  4. D
    15
  5. E
    -3

Cevap

İstenen toplamın değeri 7'dir.
Limit değerinin bir gerçel sayıya eşit olması, paydanın limitinin sıfır olduğu durumda payın da limitinin sıfır olmasını gerektirir. Buradan a=5a = 5 bulunur. Fonksiyon çarpanlarına ayrılıp belirsizlik giderildiğinde limit değeri b=1/4b = 1/4 olarak hesaplanır. Bu durumda a+8ba + 8b toplamı 77 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Paydanın limitini inceleyip belirsizlik durumunu belirlemek
Limit x→3x \to 3 için payda sıfıra yaklaşmaktadır (32−2(3)−3=03^2 - 2(3) - 3 = 0).
Payda sıfıra yaklaşırken limitin bir gerçel sayı (bb) olabilmesi için payın da sıfıra yaklaşması gerekir. Bu durum 0/00/0 belirsizliğidir.
2
Payın limitinin sıfır olmasından yararlanarak aa parametresini bulmak
32−a(3)+6=0  ⟹  15−3a=0  ⟹  a=53^2 - a(3) + 6 = 0 \implies 15 - 3a = 0 \implies a = 5 olarak bulunur.
Limitin var olması için payın x=3x=3 noktasındaki değeri sıfır olmalıdır.
3
a=5a = 5 değerini yerine yazarak limit ifadesini sadeleştirmek ve bb değerini hesaplamak
lim⁡x→3x2−5x+6x2−2x−3=lim⁡x→3(x−2)(x−3)(x−3)(x+1)=lim⁡x→3x−2x+1=3−23+1=14=b\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 2x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{(x-2)(x-3)}{(x-3)(x+1)} = \lim_{x \to 3} \frac{x-2}{x+1} = \frac{3-2}{3+1} = \frac{1}{4} = b elde edilir.
0/00/0 belirsizliğini gidermek için pay ve payda çarpanlarına ayrılarak belirsizliğe yol açan (x−3)(x-3) terimleri sadeleştirilir.
4
a+8ba + 8b ifadesinin değerini hesaplamak
a+8b=5+8⋅14=5+2=7a + 8b = 5 + 8 \cdot \frac{1}{4} = 5 + 2 = 7 bulunur.
Bulunan aa ve bb değerleri toplam formülünde yerine yazılır.

Anahtar Kavram

0/00/0 belirsizliği durumunda limitin varlığı için pay ve paydanın ortak çarpan barındırması gerekir. Bu belirsizlik çarpanlara ayırma yöntemiyle giderilir.

Alternatif Yöntem

L'Hopital Kuralı kullanılarak pay ve paydanın limit noktasındaki türevleri alınabilir. lim⁡x→32x−a2x−2=b\lim_{x \to 3} \frac{2x - a}{2x - 2} = b eşitliğinde a=5a = 5 yazıldığında b=6−54=14b = \frac{6-5}{4} = \frac{1}{4} bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Limitlerde Belirsizlik Durumları (0/0 Belirsizliği)

Bu konudan daha fazla soru