Examkin

Soru

Zorluk: Ortaİkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi
Bir cismin havaya fırlatıldıktan tt saniye sonra yerden yüksekliği metre cinsinden
h(t)=−t2+10t−9h(t) = -t^2 + 10t - 9
fonksiyonu ile modellenmektedir.
Buna göre, bu cismin yerden yüksekliğinin en az 1212 metre olduğu süre kaç saniyedir?

Cevap: 4 saniye

Cevap

Cismin yerden yüksekliğinin en az 1212 metre olduğu süre 44 saniyedir.
Cismin yüksekliğini veren −t2+10t−9-t^2 + 10t - 9 ifadesinin 1212 metreden büyük ya da eşit olduğu zaman dilimi, ikinci dereceden t2−10t+21≤0t^2 - 10t + 21 \leq 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi olan [3,7][3, 7] kapalı aralığıdır. Bu aralığın uzunluğu 7−3=47 - 3 = 4 saniyedir.

Adım Adım Çözüm

1
Koşulu belirten eşitsizliğin yazılması
−t2+10t−9≥12-t^2 + 10t - 9 \geq 12
Cismin yüksekliğinin en az 1212 metre olması istendiği için yükseklik fonksiyonu 1212'ye büyük veya eşit olmalıdır.
2
Eşitsizliğin sıfırla karşılaştırılacak biçimde düzenlenmesi
t2−10t+21≤0t^2 - 10t + 21 \leq 0
İkinci dereceden eşitsizliklerin işaret incelemesini yapabilmek için ifadenin bir tarafı sıfır yapılmalıdır.
3
Köklerin bulunması ve çarpanlara ayırma
(t−3)(t−7)≤0  ⟹  t1=3, t2=7(t-3)(t-7) \leq 0 \implies t_1 = 3,\, t_2 = 7
Eşitsizlik tablosunda yer alacak sınır değerlerini bulmak amacıyla ifadenin kökleri hesaplanır.
4
İşaret tablosunun oluşturulması ve çözüm aralığının belirlenmesi
t∈[3,7]t \in [3, 7]
Başkatsayı pozitif olduğundan en sağdan '+' ile başlanır, köklerde işaret değiştirilerek '-' bölge taranır.
5
Geçen sürenin hesaplanması
7−3=47 - 3 = 4 saniye
Cismin [3,7][3, 7] saniye aralığında bu koşulu sağladığı görülür ve bu aralığın uzunluğu hesaplanır.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin sınır değerler analizi ve işaret tablosu yardımıyla çözümü.
Bu soruyu puanla

Konular

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi