Examkin

Soru

Zorluk: OrtaOrtalama Değişim Hızı
Bir su deposundaki suyun hacminin (VV, litre) zamana (tt, saat) göre değişimi
V(t)=−t2+10t+50V(t) = -t^2 + 10t + 50
fonksiyonu ile modellenmektedir. Bu depodaki su hacminin [1,3][1, 3] aralığındaki ortalama değişim hızı v1v_1, [3,6][3, 6] aralığındaki ortalama değişim hızı v2v_2 olduğuna göre, v1−v2v_1 - v_2 farkı kaçtır?
  1. A
    -5
  2. B
    3
  3. C
    4
  4. 5Cevap
  5. E
    7

Cevap

Değişim hızlarının farkı olan 5
Ortalama değişim hızı formülü olan V(b)−V(a)b−a\frac{V(b) - V(a)}{b - a} ifadesi [1,3][1, 3] ve [3,6][3, 6] aralıkları için sırasıyla uygulandığında v1=6v_1 = 6 ve v2=1v_2 = 1 değerleri elde edilir. Bu iki değerin farkı olan 6−1=56 - 1 = 5 doğru sonuçtur.

Adım Adım Çözüm

1
[1,3][1, 3] aralığındaki ortalama değişim hızı olan v1v_1'i hesaplamak için aralığın uç noktalarındaki hacim değerlerini buluruz.
V(1)=−(1)2+10(1)+50=59V(1) = -(1)^2 + 10(1) + 50 = 59 litre ve V(3)=−(3)2+10(3)+50=71V(3) = -(3)^2 + 10(3) + 50 = 71 litre.
Değişim hızı formülü için uç noktalardaki fonksiyon değerlerine ihtiyaç vardır.
2
v1v_1 ortalama değişim hızını formüle göre hesaplarız.
v1=V(3)−V(1)3−1=71−592=122=6v_1 = \frac{V(3) - V(1)}{3 - 1} = \frac{71 - 59}{2} = \frac{12}{2} = 6 L/saat.
[a,b][a, b] aralığındaki ortalama değişim hızı f(b)−f(a)b−a\frac{f(b) - f(a)}{b - a} formülüyle bulunur.
3
[3,6][3, 6] aralığındaki ortalama değişim hızı olan v2v_2'yi hesaplamak için t=6t = 6 anındaki hacim değerini buluruz.
V(6)=−(6)2+10(6)+50=−36+60+50=74V(6) = -(6)^2 + 10(6) + 50 = -36 + 60 + 50 = 74 litre.
İkinci aralığın bitiş noktasındaki fonksiyon değerini belirlemek gerekir.
4
v2v_2 ortalama değişim hızını formüle göre hesaplarız.
v2=V(6)−V(3)6−3=74−713=33=1v_2 = \frac{V(6) - V(3)}{6 - 3} = \frac{74 - 71}{3} = \frac{3}{3} = 1 L/saat.
[3,6][3, 6] aralığı için zaman farkı 6−3=36 - 3 = 3 saattir.
5
Bulunan v1v_1 ve v2v_2 değerlerinin farkını hesaplarız.
v1−v2=6−1=5v_1 - v_2 = 6 - 1 = 5.
Soruda bizden istenen iki değişim hızının farkıdır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun [a,b][a, b] aralığındaki ortalama değişim hızı, bu aralıkta fonksiyonun aldığı değerlerin farkının, bağımsız değişkenin farkına oranıdır ve geometrik olarak grafik üzerindeki uç noktaları birleştiren kesen doğrunun eğimine eşittir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Ortalama Değişim Hızı

Bu konudan daha fazla soru