Examkin

Soru

Zorluk: ZorParabol Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar

Aşağıda sol sütunda koordinat eksenlerini kestikleri noktalarla ilgili bazı geometrik ve cebirsel özellikleri verilen paraboller, sağ sütunda ise bu parabollerdeki bilinmeyen parametrelerin değerleri yer almaktadır.

Buna göre, sol sütundaki ifadeler ile sağ sütundaki doğru değerleri eşleştiriniz.

  • f(x)=x2−(m−2)x−2mf(x) = x^2 - (m-2)x - 2m parabolünün koordinat eksenlerini kestiği noktaları köşe kabul eden üçgenin alanı 24 br224\text{ br}^2 olduğuna göre, mm parametresinin alabileceği pozitif değer4
  • g(x)=2x2−8x+ng(x) = 2x^2 - 8x + n parabolünün xx-eksenini kestiği noktalar A(x1,0)A(x_1, 0) ve B(x2,0)B(x_2, 0)'dır. 1x1+1x2=43\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{4}{3} olduğuna göre, nn sabitinin değeri6
  • h(x)=x2+(k2−4k−5)x−2k+3h(x) = x^2 + (k^2 - 4k - 5)x - 2k + 3 parabolünün xx-eksenini kestiği noktalar orijine göre simetrik olduğuna g��re, kk parametresinin değeri5

Cevap

Birinci ifade 44 değeriyle, ikinci ifade 66 değeriyle, üçüncü ifade ise 55 değeriyle eşleşir.
Verilen geometrik ve cebirsel koşullar çözüldüğünde; f(x)f(x) parabolünün alan koşulunu sağlayan pozitif mm değeri 44, g(x)g(x) parabolünün kök ilişkisini sağlayan nn değeri 66, ve h(x)h(x) parabolünün simetrik reel kök şartını sağlayan kk değeri 55 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci parabolün eksenleri kestiği noktaları bulup alanı 24 br224\text{ br}^2 olan üçgenin alan bağıntısını oluşturalım.
f(x)=(x−m)(x+2)f(x) = (x-m)(x+2) parabolü xx-eksenini mm ve −2-2 noktalarında keser. yy-eksenini ise (0,−2m)(0, -2m) noktasında keser. Üçgenin alanı 12⋅(m+2)⋅2m=24  ⟹  m(m+2)=24\frac{1}{2} \cdot (m+2) \cdot 2m = 24 \implies m(m+2) = 24 olur. Buradan pozitif mm değeri 44 bulunur.
Eksenleri kestiği noktaların oluşturduğu üçgenin tabanı xx-ekseni üzerinde olup uzunluğu ∣m−(−2)∣|m - (-2)|, yüksekliği ise yy-ekseni üzerinde olup uzunluğu ∣−2m∣|-2m|'dir.
2
İkinci parabol için kökler toplamı ve çarpımını bulup verilen rasyonel ifadede yerine yazalım.
x1+x2=4x_1 + x_2 = 4 ve x1x2=n2x_1 x_2 = \frac{n}{2} değerleri x1+x2x1x2=4n/2=8n\frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{4}{n/2} = \frac{8}{n} olarak bulunur. 8n=43  ⟹  n=6\frac{8}{n} = \frac{4}{3} \implies n = 6 elde edilir.
Köklerin çarpmaya göre terslerinin toplamı, kökler toplamının kökler çarpımına oranına eşittir.
3
Üçüncü parabolün xx-eksenini kestiği noktaların simetriklik ve gerçeklik şartlarını inceleyelim.
Kökler toplamı sıfır olacağından k2−4k−5=0  ⟹  k=5k^2 - 4k - 5 = 0 \implies k = 5 veya k=−1k = -1 elde edilir. Kökler çarpımı −2k+3<0  ⟹  k>1.5-2k+3 < 0 \implies k > 1.5 olmalıdır. Bu şartı sağlayan tek değer k=5k = 5'tir.
Köklerin orijine göre simetrik olabilmesi için kökler toplamı sıfır ve kökler çarpımı negatif olmalıdır (aksi takdirde kökler reel olmaz).

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktaların cebirsel ve geometrik yorumu ile kök özellikleri
Bu soruyu puanla

Konular

Parabol Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar

Bu konudan daha fazla soru