Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorİkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi

aa bir tam sayı olmak üzere,

x2−(a2−3a)x−3a3≤0x^2 - (a^2 - 3a)x - 3a^3 \le 0

eşitsizliğini sağlayan 1919 farklı xx tam sayısı olduğuna göre, aa'nın alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
  1. -3Cevap
  2. B
    3
  3. C
    -9
  4. D
    -18
  5. E
    -6

Cevap

Eşitsizliği sağlayan farklı aa tam sayı değerlerinin toplamı −3-3'tür.
Verilen ikinci dereceden eşitsizlik (x−a2)(x+3a)≤0(x - a^2)(x + 3a) \le 0 olarak çarpanlarına ayrılır. Kökler a2a^2 ve −3a-3a'dır. a2>−3aa^2 > -3a durumu için çözüm kümesi [−3a,a2][-3a, a^2] kapalı aralığı olur ve bu aralıktaki tam sayı sayısı a2+3a+1=19  ⟹  a2+3a−18=0a^2 + 3a + 1 = 19 \implies a^2 + 3a - 18 = 0 denklemiyle belirlenir. Bu denklemin kökleri a=3a = 3 ve a=−6a = -6'dır. Diğer aralık durumlarından 19 elemanlı bir çözüm gelmediğinden, aa'nın alabileceği değerler toplamı −3-3 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliğin sol tarafındaki ikinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayırırız.
(x−a2)(x+3a)≤0(x - a^2)(x + 3a) \le 0
Çarpımları −3a3-3a^3 ve toplamları −(a2−3a)-(a^2 - 3a) olan iki sayı a2a^2 ve −3a-3a'dır.
2
Eşitsizliğin köklerini bulup büyüklük karşılaştırması yaparız.
Kökler x1=a2x_1 = a^2 ve x2=−3ax_2 = -3a'dır. a2−(−3a)=a(a+3)a^2 - (-3a) = a(a+3) ifadesinin işaretine göre iki ana durum incelenir.
Çözüm aralığının sınırlarını doğru belirlemek için hangi kökün daha küçük olduğunu tespit etmemiz gerekir.
3
a>0a > 0 veya a<−3a < -3 durumunu inceleriz.
a2>−3aa^2 > -3a olur. Çözüm kümesi [−3a,a2][-3a, a^2] aralığıdır. Aralıktaki tam sayı adedi a2−(−3a)+1=19  ⟹  a2+3a−18=0  ⟹  a=3a^2 - (-3a) + 1 = 19 \implies a^2 + 3a - 18 = 0 \implies a = 3 veya a=−6a = -6 bulunur. Her iki değer de koşulu sağlar.
Sınırlar tam sayı olduğundan kapalı aralıktaki tam sayı sayısı formülü uygulanarak aa değerleri belirlenir.
4
−3<a<0-3 < a < 0 durumunu inceleriz.
a2<−3aa^2 < -3a olur. Bu aralıktaki a=−1a = -1 ve a=−2a = -2 tam sayıları için çözüm aralığı sadece 3 tam sayı içerir, dolayısıyla bu durumdan çözüm gelmez.
Tüm olası tam sayı parametre değerlerinin kontrol edilmesi gerekir.
5
a=0a = 0 ve a=−3a = -3 durumlarını inceleriz.
Çift katlı kök oluşur ve çözüm kümesi tek elemanlıdır (sırasıyla {0}\{0\} ve {9}\{9\}), dolayısıyla 19 tam sayı çözümünü vermez.
Köklerin eşit olduğu sınır durumlarındaki çözüm kümesi boyutunu analiz etmek gerekir.
6
Bulunan geçerli aa değerlerini toplarız.
3+(−6)=−33 + (-6) = -3
Soruda aa'nın alabileceği farklı değerlerin toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden parametrik eşitsizliklerin çarpanlara ayrılması, köklerin büyüklük ilişkisine göre işaret tablosu oluşturulması ve kapalı aralıktaki tam sayı adedinin hesaplanması.
Bu soruyu puanla

Konular

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi