Examkin

Soru

Zorluk: ZorLimit Özellikleri ve Limit Hesaplama Teknikleri
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları için,
lim⁡x→1[f(x)+g(x)]=5\lim_{x \to 1} [f(x) + g(x)] = 5
lim⁡x→1[f(x)⋅g(x)]=6\lim_{x \to 1} [f(x) \cdot g(x)] = 6
eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,
I. lim⁡x→1f(x)\lim_{x \to 1} f(x) vardır.
II. f(1)+g(1)=5f(1) + g(1) = 5 tir.
III. lim⁡x→1[f(x)2+g(x)2]=13\lim_{x \to 1} [f(x)^2 + g(x)^2] = 13 tür.

ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. Yalnız IIICevap
  3. C
    I ve III
  4. D
    II ve III
  5. E
    I, II ve III

Cevap

Yalnız III
Yalnızca üçüncü öncül kesinlikle doğrudur. f(x)2+g(x)2f(x)^2 + g(x)^2 ifadesi [f(x)+g(x)]2−2f(x)g(x)[f(x) + g(x)]^2 - 2f(x)g(x) özdeşliği olarak yazıldığında, limitin temel özellikleri (toplam, fark ve çarpım limitleri) gereği limit değeri 52−2⋅6=135^2 - 2 \cdot 6 = 13 olarak kesin bir şekilde bulunur. Birinci öncülde limitlerin ayrı ayrı varlığı garanti edilemez çünkü fonksiyonlar salınım yapıyor olabilir. İkinci öncülde ise fonksiyonların sürekliliği belirtilmediği için limit değerlerinin fonksiyon değerlerine eşit olması zorunlu değildir.

Adım Adım Çözüm

1
I. öncülü analiz etmek.
İki fonksiyonun toplamının ve çarpımının limitinin var olması, fonksiyonların ayrı ayrı limitlerinin olmasını gerektirmez. Örneğin, f(x)f(x) ve g(x)g(x) fonksiyonları x→1x \to 1 iken salınım yapıp limitleri olmayabilir, ancak toplamları sabit 5 ve çarpımları sabit 6 olan iki fonksiyon oluşturabilirler (örneğin biri x→1x \to 1 iken 2 ve 3 değerleri arasında salınım yaparken diğeri buna uygun olarak 3 ve 2 değerleri arasında salınım yapabilir). Bu nedenle I. öncül kesinlikle doğru değildir.
Toplam ve çarpım limitlerinin varlığının tekil limitlerin varlığını gerektirip gerektirmediğini belirlemek.
2
II. öncülü analiz etmek.
Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti, fonksiyonun o noktadaki değerine eşit olmak zorunda değildir. Fonksiyonların gerçek sayılar kümesinde tanımlı olması sürekliliklerini garanti etmez. Dolayısıyla f(1)+g(1)=5f(1) + g(1) = 5 eşitliği kesinlikle doğru değildir.
Limit değeri ile fonksiyonun o noktadaki değeri arasındaki farkı ve süreklilik ihtiyacını incelemek.
3
III. öncülü analiz etmek.
f(x)2+g(x)2f(x)^2 + g(x)^2 ifadesini [f(x)+g(x)]2−2f(x)g(x)[f(x) + g(x)]^2 - 2f(x)g(x) özdeşliği şeklinde yazabiliriz. lim⁡x→1[f(x)+g(x)]=5\lim_{x \to 1} [f(x) + g(x)] = 5 ve lim⁡x→1[f(x)g(x)]=6\lim_{x \to 1} [f(x)g(x)] = 6 limitleri var olduğundan, limitin toplama, çıkarma ve çarpma özellikleri kullanılabilir. Buradan lim⁡x→1[f(x)2+g(x)2]=(lim⁡x→1[f(x)+g(x)])2−2lim⁡x→1[f(x)g(x)]=52−2⋅6=25−12=13\lim_{x \to 1} [f(x)^2 + g(x)^2] = (\lim_{x \to 1} [f(x) + g(x)])^2 - 2\lim_{x \to 1} [f(x)g(x)] = 5^2 - 2 \cdot 6 = 25 - 12 = 13 elde edilir. Bu değer kesinlikle doğrudur.
Özdeşlik yardımıyla limit özelliklerini uygulayıp kesin değeri hesaplamak.

Anahtar Kavram

Limitin toplama, çıkarma ve çarpma özellikleri ile tekil limitlerin varlık koşulları.
Bu soruyu puanla

Konular

Limit Özellikleri ve Limit Hesaplama Teknikleri

Bu konudan daha fazla soru