Examkin

Soru

Zorluk: Zorİkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi

aa bir gerçel sayı olmak üzere,

x2−(a2−a)x−a3≤0x^2 - (a^2 - a)x - a^3 \le 0

eşitsizliği veriliyor.

Buna göre,

I. a>0a > 0 ise eşitsizliği sağlayan en küçük xx tam sayı değeri negatiftir.

II. −1<a<0-1 < a < 0 ise eşitsizliği sağlayan hiçbir xx tam sayı değeri yoktur.

III. Eşitsizliğin çözüm kümesi tek elemanlı ise aa'nın alabileceği farklı değerlerin toplamı −1-1'dir.

ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız II
  3. C
    I ve II
  4. II ve IIICevap
  5. E
    I, II ve III

Cevap

II ve III
İkinci ve üçüncü öncüller kesinlikle doğrudur. Birinci öncülde a=0,5 için en küçük tam sayı değeri negatif olmayıp 0'dır, dolayısıyla birinci öncül kesinlikle doğru değildir. İkinci öncülde kökler (0, 1) açık aralığında kaldığından aralıkta tam sayı bulunmaz. Üçüncü öncülde çözüm kümesinin tek elemanlı olması diskriminantın sıfır olmasına karşılık gelir ve buradan a değerleri 0 ve -1 bulunup toplamları -1 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlikteki ikinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayırma ve kökleri bulma.
x2−(a2−a)x−a3=(x−a2)(x+a)≤0x^2 - (a^2 - a)x - a^3 = (x - a^2)(x + a) \le 0 ifadesinden kökler x1=a2x_1 = a^2 ve x2=−ax_2 = -a olarak bulunur.
Eşitsizlik tablosu oluşturmak için öncelikle ifadenin köklerinin bulunması gerekir.
2
Birinci öncülü analiz etme (a>0a > 0 durumu).
a=0,5a = 0,5 seçilirse kökler 0,250,25 ve −0,5-0,5 olur. Çözüm kümesi [−0,5;0,25][-0,5; 0,25] aralığıdır. Bu aralıktaki tek tam sayı 00 olup, negatif değildir. Dolayısıyla birinci öncül her zaman doğru değildir.
aa'nın gerçel sayı olduğu belirtildiğinden tam sayı olmayan değerler için öncülün doğruluğunu test etmek gerekir.
3
İkinci öncülü analiz etme (−1<a<0-1 < a < 0 durumu).
−1<a<0-1 < a < 0 için a2∈(0,1)a^2 \in (0,1) ve −a∈(0,1)-a \in (0,1) olur. Ayrıca a2<−aa^2 < -a olduğundan çözüm kümesi [a2,−a]⊂(0,1)[a^2, -a] \subset (0,1) aralığıdır ve bu aralıkta hiçbir tam sayı yoktur. Dolayısıyla ikinci öncül kesinlikle doğrudur.
Verilen parametre aralığında köklerin hangi değer aralıklarında olduğunu belirleyerek çözüm kümesindeki tam sayı varlığını incelemek gerekir.
4
Üçüncü öncülü analiz etme (çözüm kümesinin tek elemanlı olması durumu).
Başkatsayısı pozitif olan ikinci dereceden bir ifadenin ≤0\le 0 eşitsizliğinin çözüm kümesinin tek elemanlı olması için ifadenin tam kare olması (yani diskriminantının sıfır olması) gerekir. Δ=a2(a+1)2=0  ⟹  a=0\Delta = a^2(a+1)^2 = 0 \implies a = 0 veya a=−1a = -1 bulunur. Bu değerlerin toplamı 0+(−1)=−10 + (-1) = -1'dir. Dolayısıyla üçüncü öncül kesinlikle doğrudur.
Çözüm kümesinin tek elemanlı olma şartının çift katlı kök (tam kare) durumuyla ilişkisini kurmak gerekir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden eşitsizliklerin köklerinin analizi ve işaret tablosu yardımıyla çözüm kümelerinin incelenmesi.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi