Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTrigonometrik Fonksiyonlar ve Birim Çember

Birim çember üzerinde, pozitif yönlü bir θ\theta açısının bitim kenarının çemberi kestiği nokta A(a,b)A(a, b)'dir. θ\theta açısı analitik düzlemin dördüncü bölgesinde olmak üzere, a−b=1.4a - b = 1.4 ve a>∣b∣a > |b| olduğuna göre, bb değeri kaçtır?

Cevap: -0.6

Cevap

İstenen ordinat değeri olan b sayısı -0.6 olarak bulunur.
Birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatları toplamının kareleri a2+b2=1a^2 + b^2 = 1 bağıntısını sağlar. Verilen a−b=1.4a - b = 1.4 eşitliğinden yararlanarak elde edilen b2+1.4b+0.48=0b^2 + 1.4b + 0.48 = 0 denkleminin kökleri -0.6 ve -0.8 değerleridir. a>∣b∣a > |b| koşulu yalnızca b=−0.6b = -0.6 ve a=0.8a = 0.8 için sağlandığından doğru cevap -0.6 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Birim çember tanımını ve verilen denklemi kullanarak bir denklem sistemi oluşturma.
a2+b2=1a^2 + b^2 = 1 ve a−b=1.4a - b = 1.4 denklem sistemi elde edilir.
Birim çember üzerindeki noktaların koordinatları x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 denklemini sağlamak zorundadır.
2
aa değişkenini bb cinsinden yazıp birinci denklemde yerine koyarak bb değişkenine bağlı ikinci dereceden denklemi çözme.
b2+1.4b+0.48=0  ⟹  (b+0.6)(b+0.8)=0b^2 + 1.4b + 0.48 = 0 \implies (b + 0.6)(b + 0.8) = 0 denkleminden b=−0.6b = -0.6 veya b=−0.8b = -0.8 bulunur.
Sistemdeki ortak çözümü sağlayan olası ordinat değerlerini bulmak için.
3
Dördüncü bölge koşulu ile a>∣b∣a > |b| eşitsizliğini kontrol ederek doğru bb değerini seçme.
b=−0.6b = -0.6 için a=0.8a = 0.8 olur ve 0.8>0.60.8 > 0.6 şartı sağlanır. Diğer kök bu şartı sağlamaz.
Soruda verilen bölge ve büyüklük sınırlandırmalarını sağlayan tek bir doğru çözümün tespiti için.

Anahtar Kavram

Birim çember tanımı ve trigonometrik değerlerin bölgelere göre işaretleri ile büyüklük ilişkileri.

Alternatif Yöntem

Verilen a−b=1.4a - b = 1.4 denkleminin her iki tarafının karesi alınarak (a−b)2=a2−2ab+b2=1.96(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = 1.96 yazılabilir. a2+b2=1a^2 + b^2 = 1 olduğu bilindiğinden 1−2ab=1.96  ⟹  2ab=−0.96  ⟹  ab=−0.481 - 2ab = 1.96 \implies 2ab = -0.96 \implies ab = -0.48 elde edilir. Toplamları a+(−b)=1.4a + (-b) = 1.4 ve çarpımları a(−b)=0.48a(-b) = 0.48 olan iki sayı 0.80.8 ve 0.60.6'dır. a>0a > 0 ve b<0b < 0 olduğundan aa ve −b-b pozitif sayılardır. a>∣b∣  ⟹  a>−ba > |b| \implies a > -b olduğu için a=0.8a = 0.8 ve −b=0.6  ⟹  b=−0.6-b = 0.6 \implies b = -0.6 bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Fonksiyonlar ve Birim Çember

Bu konudan daha fazla soru