Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorGeometrik Dizi ve Özellikleri

Terimleri pozitif gerçek sayılardan oluşan artan bir (an)(a_n) geometrik dizisi için,

log⁡2(a1)+log⁡2(a9)=10\log_2(a_1) + \log_2(a_9) = 10
a3+a7=136a_3 + a_7 = 136

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre,

a62−a42a5−a3\frac{a_6^2 - a_4^2}{a_5 - a_3}

ifadesinin değeri kaçtır?

  1. A
    40
  2. B
    96
  3. C
    128
  4. D
    136
  5. 160Cevap

Cevap

160 değeri doğru cevaptır.
Dizinin artan olduğu koşulundan yola çıkılarak a3=8a_3 = 8 ve a7=128a_7 = 128 bulunur. Buradan ortak çarpan r=2r = 2 ve beşinci terim a5=32a_5 = 32 elde edilir. İstenen ifadede terimlerin değerleri yerine yazıldığında veya cebirsel sadeleştirme yapıldığında sonuç 160 çıkar.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma özelliğini kullanarak birinci ve dokuzuncu terimlerin çarpımını bulalım.
a1⋅a9=210=1024a_1 \cdot a_9 = 2^{10} = 1024
log⁡2(a1)+log⁡2(a9)=log⁡2(a1⋅a9)=10\log_2(a_1) + \log_2(a_9) = \log_2(a_1 \cdot a_9) = 10 özelliğinden dolayı.
2
Geometrik dizinin terimleri arasındaki simetri özelliğini kullanarak beşinci terimi ve üçüncü ile yedinci terimlerin çarpımını bulalım.
a5=32a_5 = 32 ve a3⋅a7=1024a_3 \cdot a_7 = 1024
a1⋅a9=a3⋅a7=a52=1024a_1 \cdot a_9 = a_3 \cdot a_7 = a_5^2 = 1024 eşitliği geometrik dizinin tanımından gelir.
3
Toplamları ve çarpımları bilinen üçüncü ve yedinci terimleri elde edelim.
a3=8a_3 = 8 ve a7=128a_7 = 128
x2−136x+1024=0  ⟹  (x−8)(x−128)=0x^2 - 136x + 1024 = 0 \implies (x - 8)(x - 128) = 0 denkleminin kökleri incelenir. Dizi artan olduğundan a3<a7a_3 < a_7 olmalıdır.
4
Dizinin ortak çarpanı olan rr değerini hesaplayalım.
r=2r = 2
a7=a3⋅r4  ⟹  128=8⋅r4  ⟹  r4=16a_7 = a_3 \cdot r^4 \implies 128 = 8 \cdot r^4 \implies r^4 = 16 olur. Pozitif terimli artan dizi için r=2r = 2 bulunur.
5
İstenen ifadeyi sadeleştirerek veya terimlerin değerlerini yerine yazarak hesaplayalım.
160
a4=16a_4 = 16, a5=32a_5 = 32, a6=64a_6 = 64 değerleri yerine yazıldığında 642−16232−8=4096−25624=160\frac{64^2 - 16^2}{32 - 8} = \frac{4096 - 256}{24} = 160 elde edilir. (Alternatif olarak ifade a5(r2+1)a_5(r^2+1) şeklinde sadeleştirilebilir, buradan da 32⋅5=16032 \cdot 5 = 160 bulunur.)

Anahtar Kavram

Geometrik dizide indisler toplamı eşit olan terimlerin çarpımlarının eşit olması (ap⋅aq=ar⋅asa_p \cdot a_q = a_r \cdot a_s burada p+q=r+sp+q = r+s) ve terimler arası cebirsel sadeleştirmeler.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Geometrik Dizi ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru