Türevlenebilir bir f fonksiyonu için x > 0 olmak üzere, \int \frac{x \cdot f'(x) - 2f(x)}{x^3} \, dx = x^2 - 3x + C\neşitliği verilmektedir. f(1) = 4 olduğuna göre, f(2) değeri kaçtır?

Türevlenebilir bir f fonksiyonu için x > 0 olmak üzere, \int \frac{x \cdot f'(x) - 2f(x)}{… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Türevlenebilir bir

f

fonksiyonu için

x > 0

olmak üzere,

\int \frac{x \cdot f'(x) - 2f(x)}{x^3} \, dx = x^2 - 3x + C

eşitliği verilmektedir.

f(1) = 4

olduğuna göre,

f(2)

değeri kaçtır?

16 değeri doğrudur.

Bölümün türevi kuralı hatırlandığında integralin içindeki ifadenin

\frac{f(x)}{x^2}

fonksiyonunun türevi olduğu fark edilir. İntegral alındığında elde edilen

\frac{f(x)}{x^2} = x^2 - 3x + K

eşitliğinde

f(1) = 4

başlangıç koşulu yerine yazılırsa integral sabiti

K = 6

olarak bulunur. Buradan

f(x) = x^4 - 3x^3 + 6x^2

fonksiyonuna ulaşılır ve bu fonksiyonda

x = 2

yazıldığında doğru değer olan

16

elde edilir.

İntegralin içindeki ifadenin hangi fonksiyonun türevi olduğunu bölüm kuralı yardımıyla belirleme.

\left( \frac{f(x)}{x^2} \right)' = \frac{f'(x) \cdot x^2 - 2x \cdot f(x)}{x^4} = \frac{x \cdot f'(x) - 2f(x)}{x^3}

olduğu görülür.

İntegral alma işlemini kolaylaştırmak amacıyla integrali alınan ifadenin bilinen bir türev kalıbı olup olmadığını incelemek gerekir.

Elde edilen türev ilişkisini integral eşitliğinde yerine yazarak her iki tarafın integralini alma.

\frac{f(x)}{x^2} = x^2 - 3x + K

(burada

K

gerçel sayı olan bir integral sabitidir) bağıntısı elde edilir.

Belirsiz integral, türevi verilen fonksiyonun kendisini (bir sabit farkıyla) bulma işlemidir.

f(1) = 4

bilgisini kullanarak

K

integral sabitini bulma.

\frac{f(1)}{1^2} = 1^2 - 3(1) + K \implies 4 = -2 + K \implies K = 6

Buradan fonksiyon

f(x) = x^4 - 3x^3 + 6x^2

olarak elde edilir.

Özel bir noktadaki fonksiyon değeri yardımıyla genel integral ailesinden spesifik fonksiyonumuza ait sabit değer tespit edilir.

Bulunan

f(x)

fonksiyonunda

x = 2

yazarak sonucu hesaplama.

f(2) = 2^4 - 3(2^3) + 6(2^2) = 16 - 24 + 24 = 16

bulunur.

Soruda bizden istenen

f(2)

değerine ulaşmak hedeflenmiştir.

Bölüm türevi kalıbını fark ederek belirsiz integral alma kuralları yardımıyla fonksiyonu inşa etme.