(a_n) dizisinin genel terimi a_n = \frac{n^2 + 5n + 18}{n + 1} olarak tanımlanıyor. Buna g… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

(a_n)

dizisinin genel terimi

a_n = \frac{n^2 + 5n + 18}{n + 1}

olarak tanımlanıyor.

Buna göre, $(a_n)$ dizisinin tam sayı olan terimlerinin toplamı kaçtır?

Cevap: 42

Genel terimi tam sayı olan terimlerin toplamı 42'dir.

Dizinin genel terimi polinom bölmesi yapılarak

a_n = n + 4 + \frac{14}{n+1}

biçiminde yazılır.

n

değeri pozitif tam sayı olmak zorunda olduğundan

n+1 \ge 2

olmalıdır. Bu koşulu sağlayan ve 14'ü tam bölen

n+1

değerleri 2, 7 ve 14'tür. Buradan elde edilen terimler sırasıyla

a_1 = 12

a_6 = 12

a_{13} = 18

olup, bu terimlerin toplamı 42'dir.

Genel terimi oluşturan rasyonel ifadeyi polinom bölmesi yardımıyla tam ve rasyonel kısımlarına ayırarak yazalım.

a_n = n + 4 + \frac{14}{n+1}

İfadenin hangi

n

değerleri için tam sayı olacağını daha rahat analiz edebilmek için.

Dizi tanımı gereği

n

indisinin pozitif tam sayı (

n \ge 1

) olması gerektiğini göz önüne alarak,

\frac{14}{n+1}

ifadesini tam sayı yapan

n

değerlerini belirleyelim.

n+1

ifadesi 14'ün 1'den büyük pozitif böleni olmalıdır. Yani

n+1 \in \{2, 7, 14\}

olmalıdır. Buradan

n \in \{1, 6, 13\}

elde edilir.

Dizilerin tanım kümesinin pozitif tam sayılar olması nedeniyle

n+1 = 1 \implies n=0

durumunun elenmesi için.

Belirlenen indis değerlerine karşılık gelen dizi terimlerini tek tek hesaplayalım.

a_1 = 12

a_6 = 12

a_{13} = 18

Tam sayı olan terimlerin kendi değerlerini elde etmek için.

Hesaplanan tam sayı terimlerin değerlerini toplayalım.

12 + 12 + 18 = 42

Soruda bizden istenen tam sayı olan terimlerin toplamına ulaşmak için.

Dizi tanımı, genel terim kavramı ve rasyonel ifadeleri tam sayı yapan pozitif tam sayı indis değerlerinin belirlenmesi.

Soru