Examkin

Soru

Zorluk: ZorSüreklilik Tanımı ve Süreksizlik Noktaları
Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu
f(x)={log⁡2(a−x),x<2x2−b,2≤x≤3x−3x+c−3,x>3f(x) = \begin{cases} \log_2(a - x), & x < 2 \\ x^2 - b, & 2 \leq x \leq 3 \\ \frac{x - 3}{\sqrt{x + c} - 3}, & x > 3 \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?

  1. A
    10
  2. B
    12
  3. 13Cevap
  4. D
    16
  5. E
    19

Cevap

Süreklilik şartlarını sağlayan parametrelerin toplamı 13'tür.
Doğru cevap süreklilik şartlarını sağlayan parametrelerin toplamı olan 13 değeridir. x=3x = 3 noktasındaki sağdan limitin varlığı için 00\frac{0}{0} belirsizliği kullanılarak c=6c = 6 ve limit değeri 6 bulunur. Buradan soldan limit ile eşitleme yapılarak b=3b = 3 elde edilir. Son olarak x=2x = 2 noktasındaki soldan ve sağdan limit eşitliğinden a=4a = 4 değeri bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
x=3x = 3 noktasındaki süreklilik şartını belirleme
lim⁡x→3−f(x)=lim⁡x→3+f(x)=f(3)\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x) = f(3) olmalıdır. Burada f(3)=32−b=9−bf(3) = 3^2 - b = 9 - b olur.
Süreklilik tan��mı gereği bir noktadaki sağdan limit, soldan limit ve fonksiyonun değeri eşit olmalıdır.
2
x=3x = 3 noktasındaki sağdan limiti hesaplama ve cc değerini bulma
lim⁡x→3+x−3x+c−3\lim_{x \to 3^+} \frac{x - 3}{\sqrt{x + c} - 3} limitinin reel sayı çıkması için paydanın sıfır olması gerekir (00\frac{0}{0} belirsizliği). 3+c−3=0  ⟹  3+c=9  ⟹  c=6\sqrt{3 + c} - 3 = 0 \implies 3 + c = 9 \implies c = 6 bulunur.
Pay sıfıra giderken payda sıfıra gitmezse limit sıfır olur, bu da sürekli olmayan durumlar yaratabilir ya da tanımsızlık oluşturur. Burada limitin gerçel sayı olması için belirsizlik şarttır.
3
c=6c = 6 için limiti hesaplama
lim⁡x→3+x−3x+6−3=lim⁡x→3+(x−3)(x+6+3)x+6−9=lim⁡x→3+(x+6+3)=6\lim_{x \to 3^+} \frac{x - 3}{\sqrt{x + 6} - 3} = \lim_{x \to 3^+} \frac{(x - 3)(\sqrt{x + 6} + 3)}{x + 6 - 9} = \lim_{x \to 3^+} (\sqrt{x + 6} + 3) = 6 olur.
Eşlenik çarpımı yapılarak belirsizliğe neden olan çarpanlar sadeleştirilir.
4
bb değerini bulma
9−b=6  ⟹  b=39 - b = 6 \implies b = 3 elde edilir.
x=3x = 3 noktasında soldan limit ile sağdan limitin eşit olması gerekir.
5
x=2x = 2 noktasındaki süreklilikten aa değerini bulma
lim⁡x→2−log⁡2(a−x)=lim⁡x→2+(x2−3)  ⟹  log⁡2(a−2)=1  ⟹  a−2=2  ⟹  a=4\lim_{x \to 2^-} \log_2(a - x) = \lim_{x \to 2^+} (x^2 - 3) \implies \log_2(a - 2) = 1 \implies a - 2 = 2 \implies a = 4 bulunur.
x=2x = 2 kritik noktasında limitlerin eşitliği sağlanmalıdır.
6
a+b+ca + b + c toplamını hesaplama
a+b+c=4+3+6=13a + b + c = 4 + 3 + 6 = 13 bulunur.
Soruda bizden istenen toplam değeridir.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı fonksiyonların kritik noktalarda limit ve süreklilik şartları ile belirsizlik giderme yöntemleri.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Süreklilik Tanımı ve Süreksizlik Noktaları

Bu konudan daha fazla soru