Examkin

Soru

Zorluk: OrtaOrtalama Değişim Hızı

Yüksekliği 5 cm5\text{ cm} olan dik dairesel silindir biçimindeki bir metal bloğun hacmi, taban yarıçapına bağlı bir fonksiyon olarak tanımlanmaktadır. Bu bloğun taban yarıçapı 2 cm2\text{ cm}'den r cmr\text{ cm}'ye (r>2r > 2) çıkarıldığında, hacminin taban yarıçapına göre ortalama değişim hızı 45π cm3/cm45\pi\text{ cm}^3/\text{cm} olmaktadır. Buna göre, son durumdaki taban yarıçapı (rr) kaç cm\text{cm}'dir?

Cevap: 7 cm

Cevap

Son durumdaki taban yarıçapı 7 cm7\text{ cm} olarak bulunur.
Silindirin hacmi yarıçapına bağlı olarak V(r)=5πr2V(r) = 5\pi r^2 fonksiyonuyla ifade edilir. Bu fonksiyonun [2,r][2, r] aralığındaki ortalama değişim hızı V(r)−V(2)r−2=5π(r2−4)r−2=5π(r+2)\frac{V(r) - V(2)}{r - 2} = \frac{5\pi(r^2 - 4)}{r - 2} = 5\pi(r + 2) olur. Bu ifadenin 45π45\pi değerine eşitlenmesiyle 5π(r+2)=45π  ⟹  r+2=9  ⟹  r=75\pi(r + 2) = 45\pi \implies r + 2 = 9 \implies r = 7 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Hacim fonksiyonunu taban yarıçapına bağlı olarak yazma
V(r)=5πr2V(r) = 5\pi r^2
Silindirin hacmi taban alanı ile yüksekliğinin çarpımıdır (V=πr2hV = \pi r^2 h).
2
Ortalama değişim hızı denklemini kurma
V(r)−V(2)r−2=45π\frac{V(r) - V(2)}{r - 2} = 45\pi
[2,r][2, r] aralığındaki ortalama değişim hızı, bağımlı değişkendeki değişimin bağımsız değişkendeki değişime oranı ile bulunur.
3
Fonksiyon değerlerini formülde yerine yazıp cebirsel sadeleştirme yapma
5π(r+2)=45π5\pi(r + 2) = 45\pi
V(r)=5πr2V(r) = 5\pi r^2 ve V(2)=20πV(2) = 20\pi değerleri formüle yerleştirildiğinde pay kısmında iki kare farkı yardımıyla (r−2)(r-2) ifadeleri birbirini sadeleştirir.
4
Elde edilen birinci dereceden denklemi rr için çözme
r=7r = 7
Denklemin her iki tarafı 5π5\pi ile sadeleştirilerek r+2=9r + 2 = 9 eşitliği elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun [a,b][a, b] aralığındaki ortalama değişim hızı f(b)−f(a)b−a\frac{f(b) - f(a)}{b - a} oranı ile hesaplanır.
Bu soruyu puanla

Konular

Ortalama Değişim Hızı

Bu konudan daha fazla soru