Examkin

Soru

Zorluk: Zorİkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi
Her xx gerçel sayısı için
x2−mx+m+3>0x^2 - mx + m + 3 > 0
eşitsizliği sağlandığına göre, f(x)=x2−(m+2)x+2mf(x) = x^2 - (m+2)x + 2m fonksiyonunun grafiği xx-eksenini daima iki farklı noktada keser.

Cevap: Cevap

Cevap

Verilen ifade yanlıştır (False). Çünkü birinci eşitsizlikten elde edilen m∈(−2,6)m \in (-2, 6) aralığında m=2m = 2 değeri de yer almaktadır. m=2m = 2 için ikinci dereceden fonksiyonun grafiği xx-eksenine teğet olup ekseni iki farklı noktada kesmez.
Verilen ifade yanlıştır. İlk eşitsizlikten mm parametresinin (−2,6)(-2, 6) aralığında yer alması gerektiği bulunur. f(x)f(x) fonksiyonunun xx-eksenini kestiği noktalar x=2x = 2 ve x=mx = m değerleridir. Eğer m=2m = 2 seçilirse bu kökler çakışık hale gelir ve grafik ekseni iki farklı noktada kesmek yerine teğet geçer. 22 sayısı (−2,6)(-2, 6) aralığında bulunduğundan, grafiğin ekseni daima iki farklı noktada keseceği iddiası geçersiz kılınır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk eşitsizliğin her xx gerçel sayısı için sağlanma koşulunu belirleyin.
x2−mx+m+3>0x^2 - mx + m + 3 > 0 eşitsizliğinde başkatsayı 1>01 > 0 olduğundan, ifadenin daima pozitif olması için diskriminant sıfırdan küçük olmalıdır: Δ1=(−m)2−4(1)(m+3)<0  ⟹  m2−4m−12<0\Delta_1 = (-m)^2 - 4(1)(m+3) < 0 \implies m^2 - 4m - 12 < 0.
İkinci dereceden bir ifadenin her xx gerçel sayısı için daima pozitif kalabilmesi, grafiksel olarak parabolün kollarının yukarı bakması ve xx-eksenini kesmemesi (Δ<0 \Delta < 0 ) ile mümkündür.
2
mm parametresinin değer aralığını bulmak için işaret tablosu oluşturun.
m2−4m−12=(m−6)(m+2)<0m^2 - 4m - 12 = (m-6)(m+2) < 0 eşitsizliğinin kökleri m1=−2m_1 = -2 ve m2=6m_2 = 6 olup, işaret tablosuna göre çözüm aralığı m∈(−2,6)m \in (-2, 6) olarak bulunur.
İkinci dereceden eşitsizliğin çözüm kümesini belirlemek amacıyla işaret incelemesi yapılması gerekir.
3
f(x)=x2−(m+2)x+2mf(x) = x^2 - (m+2)x + 2m fonksiyonunun xx-eksenini kestiği noktaları inceleyin.
f(x)=0  ⟹  x2−(m+2)x+2m=0  ⟹  (x−2)(x−m)=0f(x) = 0 \implies x^2 - (m+2)x + 2m = 0 \implies (x-2)(x-m) = 0 elde edilir. Buradan kökler x1=2x_1 = 2 ve x2=mx_2 = m bulunur. Diskriminant ise Δ2=(m−2)2\Delta_2 = (m-2)^2 olur.
Grafiğin xx-eksenini kestiği noktalar, fonksiyonu sıfır yapan gerçel kök değerleridir.
4
Köklerin çakışık olma durumunu kontrol ederek ifadeyi değerlendirin.
Eğer m=2m = 2 ise, kökler x1=x2=2x_1 = x_2 = 2 olur (çift katlı kök). Bu durumda parabol xx-eksenine (2,0)(2,0) noktasında teğet olur ve ekseni iki farklı noktada kesmez. m∈(−2,6)m \in (-2, 6) aralığında m=2m = 2 değeri mevcut olduğundan, grafik her zaman iki farklı noktada kesmek zorunda değildir.
İfadenin 'daima' doğru olup olmadığını doğrulamak için mm aralığındaki tüm olası uç durumlar ve özel değerler kontrol edilmelidir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden ifadelerin daima pozitif olma şartı ve diskriminant ile eksen kesim noktaları arasındaki ilişki.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi