Examkin

Soru

Zorluk: OrtaLimit Özellikleri ve Limit Hesaplama Teknikleri
lim⁡x→π3sin⁡(3π2−x)−4cos⁡(π+x)tan⁡(3π4)⋅cos⁡(2x)\lim_{x \to \pi} \frac{3\sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) - 4\cos(\pi + x)}{\tan\left(\frac{3\pi}{4}\right) \cdot \cos(2x)}

ifadesinin değeri kaçtır?

  1. A
    -7
  2. B
    -1
  3. 1Cevap
  4. D
    5
  5. E
    7

Cevap

Limit değerlerinin doğrudan yerine yazılması ve trigonometrik sadeleştirmelerin yapılmasıyla doğru cevap 1 olarak bulunur.
Limit özellikleri gereğince pay ve paydadaki ifadelerin limitleri ayrı ayrı hesaplanıp oranlanır. Değişken yerine pi yazıldığında pay kısmında sin(pi/2) = 1 ve cos(2pi) = 1 değerleri elde edilir, böylece pay -1 olur. Payda kısmında ise tan(3pi/4) = -1 ve cos(2pi) = 1 değerleri çarpılarak -1 elde edilir. Bu iki değerin oranı olan 1 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Limit özellikleri gereğince, pay ve paydadaki ifadelerin limitleri ayrı ayrı hesaplanır. Sürekli fonksiyonlarda limit değeri doğrudan yerine yazma yöntemi ile hesaplanabildiğinden x yerine pi yazılır.
Pay ve payda limitleri ayrı ayrı limit kurallarına göre değerlendirilir.
Bölümün limitini hesaplamak için pay ve paydanın limit değerlerinin bulunması gerekir.
2
Pay kısmında bulunan ifadeler için x yerine pi yazılarak değerler hesaplanır: sin(3pi/2 - pi) = sin(pi/2) = 1 ve cos(pi + pi) = cos(2pi) = 1. Buradan pay kısmının limit değeri 3(1) - 4(1) olarak bulunur.
Pay limit değeri: -1
Payda yer alan fonksiyonların pi noktasındaki limit değerlerini belirlemek.
3
Payda kısmında bulunan ifadeler için limit değerleri hesaplanır: tan(3pi/4) = -1 ve cos(2pi) = 1. Buradan payda kısmının limit değeri (-1) * 1 olarak bulunur.
Payda limit değeri: -1
Paydada yer alan fonksiyonların pi noktasındaki limit değerlerini belirlemek.
4
Elde edilen pay ve payda limit değerleri birbirine oranlanır: (-1) / (-1) işlemi yapılır.
Limit değeri: 1
Bölümün limit kuralını uygulayarak nihai sonucu elde etmek.

Anahtar Kavram

Trigonometrik limitlerin hesaplanmasında limit özelliklerinin ve trigonometrik indirgeme kurallarının doğru uygulanması.
Bu soruyu puanla

Konular

Limit Özellikleri ve Limit Hesaplama Teknikleri

Bu konudan daha fazla soru