Examkin

Yönlü Açılar ve Açı Ölçü Birimleri

8 soru

Tüm türler8Çoktan seçmeli4Doğru / Yanlış2Sayısal2
Soru 1Soru →

Analitik düzlemde verilen birim çember üzerinde başlangıç noktaları sırasıyla P0(1,0)P_0(1, 0) ve Q0(0,1)Q_0(0, 1) olan iki hareketli bulunmaktadır. Pozitif yönlü hareket eden PP hareketlisi, saniyede 13π30\frac{13\pi}{30} radyanlık sabit açısal hızla; negatif yönlü hareket eden QQ hareketlisi ise saniyede 54∘54^\circ lik sabit açısal hızla dönmektedir. Bu iki hareketli aynı anda harekete başladıktan 35 saniye sonra durmaktadır. Buna göre, hareketlilerin durdukları andaki konumlarıyla ilgili;

I. PP noktasının konumuna karşılık gelen açının esas ölçüsü 7π6\frac{7\pi}{6} radyandır.
II. QQ noktasının konumu koordinat düzleminin IV. bölgesindedir.
III. PP ve QQ noktaları arasındaki en kısa çember yayı uzunluğunun ölçüsü 150∘150^\circ dir.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

Birinci ve üçüncü öncüller doğrudur.
Pozitif yönlü hareket eden birinci noktanın taradığı açının esas ölçüsü yedi pi bölü altı radyan olarak doğru bulunmuştur. Negatif yönlü hareket eden ikinci noktanın ulaştığı son nokta olan bir sıfır noktası koordinat ekseni üzerinde olduğundan dördüncü bölgede yer almaz. İki nokta arasındaki en kısa çember yayı uzunluğu ise yüz elli derecedir. Bu nedenle birinci ve üçüncü öncüller doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
PP hareketlisinin 35 saniyede taradığı toplam açıyı radyan cinsinden bulalım.
θP=35×13π30=7×13π6=91π6\theta_P = 35 \times \frac{13\pi}{30} = \frac{7 \times 13\pi}{6} = \frac{91\pi}{6} radyan.
Geçen süre ile saniyedeki açısal hızı çarparak toplam dönme miktarını elde etmek için.
2
PP noktasının son konumunun esas ölçüsünü hesaplayalım.
91π6\frac{91\pi}{6} ifadesinde payı (9191), paydanın iki katı olan 1212'ye böleriz. Kalan 77 olduğundan, esas ölçü 7π6\frac{7\pi}{6} radyandır. Dolayısıyla birinci öncül doğrudur.
Açının içindeki 2π2\pi tam turlarını çıkararak esas yönlü açıyı belirlemek için.
3
QQ hareketlisinin 35 saniyede taradığı toplam açıyı ve ulaştığı konumu derece cinsinden bulalım.
QQ hareketlisi negatif yönde (saat yönünde) hareket ettiğinden, taradığı açı −35×54∘=−1890∘-35 \times 54^\circ = -1890^\circ olur. Başlangıç noktası Q0(0,1)Q_0(0,1) noktası standart pozisyonda 90∘90^\circ'ye karşılık geldiğinden, son konumu 90∘−1890∘=−1800∘90^\circ - 1890^\circ = -1800^\circ olur.
Başlangıç açısına negatif yöndeki tarama miktarını ekleyerek yönlü açının son değerini bulmak için.
4
QQ noktasının son konumunun esas ölçüsünü bulalım ve koordinat bölgesini inceleyelim.
−1800∘-1800^\circ açısına 360∘360^\circ'nin katı olan 1800∘1800^\circ eklenirse esas ölçü 0∘0^\circ bulunur. Bu konum (1,0)(1,0) noktası olup, eksen üzerindedir ve herhangi bir bölgeye ait değildir. Dolayısıyla ikinci öncül yanlıştır.
Eksen üzerindeki sınır noktalarının koordinat bölgelerine (bölge I, II, III veya IV) dahil edilmeyeceğini görmek için.
5
PP ve QQ noktaları arasındaki en kısa çember yayı uzunluğunu hesaplayalım.
PP noktası 210∘210^\circ (7π6\frac{7\pi}{6} radyan) konumunda, QQ noktası ise 0∘0^\circ konumundadır. İki nokta arasındaki açısal fark 210∘−0∘=210∘210^\circ - 0^\circ = 210^\circ dir. En kısa yay ise saat yönünde ölçülen 360∘−210∘=150∘360^\circ - 210^\circ = 150^\circ lik yaydır. Dolayısıyla üçüncü öncül doğrudur.
Çember üzerindeki iki nokta arasındaki mesafenin her zaman en kısa yolla ölçüleceğini göz önüne almak için.

Anahtar Kavram

Yönlü Açılar ve Açı Ölçü Birimleri
Soru 2Soru →

Ölçüsü −1600∘-1600^\circ olan yönlü bir açının esas ölçüsü kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 200

Cevap

Ölçüsü −1600∘-1600^\circ olan yönlü açının esas ölçüsü 200∘200^\circ dir.
−1600∘-1600^\circ açısının esas ölçüsünü bulmak için açıya 360∘360^\circ nin katları eklenerek [0∘,360∘)[0^\circ, 360^\circ) aralığında bir değer elde edilmelidir. En küçük pozitif açıyı elde etmek için açının üzerine 5×360∘=1800∘5 \times 360^\circ = 1800^\circ eklenir: −1600∘+1800∘=200∘-1600^\circ + 1800^\circ = 200^\circ bulunur. Bu değer aralık şartını sağladığından doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Açının mutlak değerini 360∘360^\circ ye bölerek kalan açıyı bulun.
1600=4×360+1601600 = 4 \times 360 + 160 olduğundan kalan 160∘160^\circ dir. Açı negatif yönlü olduğu için bu değer −160∘-160^\circ olarak ifade edilir.
Yönlü açılarda esas ölçü bulunurken açının 360∘360^\circ ye bölümünden kalan incelenir.
2
Elde edilen negatif açıyı pozitif esas ölçü aralığı olan [0∘,360∘)[0^\circ, 360^\circ) içerisine taşımak için üzerine 360∘360^\circ ekleyin.
−160∘+360∘=200∘-160^\circ + 360^\circ = 200^\circ bulunur.
Esas ölçü negatif bir değer olamayacağından negatif yönlü açının kalanı 360∘360^\circ ile toplanarak pozitif değere dönüştürülür.

Anahtar Kavram

Negatif Yönlü Açıların Esas Ölçüsü
Soru 3Soru →

Analitik düzlemde başlangıç kenarı OxOx ekseninin pozitif kısmı olan ve pozitif yönde saniyede 13π18\frac{13\pi}{18} radyanlık sabit hızla dönen bir ibre, başlangıçta I. bölgedeki açıortay doğrusu üzerinde bulunmaktadır.

Buna göre, 'Bu ibre 15 saniye boyunca döndükten sonra durduğunda, ibrenin son konumda oluşturduğu yönlü açının esas ölçüsü 195∘195^\circ olur.' ifadesi doğru bir önerme midir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

İbre 15 saniye döndükten sonra son konumda oluşturduğu yönlü açının esas ��lçüsü 195∘195^\circ olur ifadesi doğrudur.
İbre pozitif yönde döndüğü için başlangıç açısına geçen süredeki dönme açısı eklenir. Yapılan hesaplamalar sonucunda son konumdaki açının esas ölçüsü 195∘195^\circ olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Başlangıç konumundaki açıyı radyan cinsinden belirleyin.
Başlangıç açısı θ0=45∘=π4\theta_0 = 45^\circ = \frac{\pi}{4} radyan.
I. bölgenin açıortay doğrusu (y=xy = x, x>0x > 0), başlangıç kenarı olan pozitif xx ekseniyle 45∘45^\circ lik açı yapar.
2
15 saniyede taranan toplam açıyı hesaplayın.
θtarama=15×13π18=5×13π6=65π6\theta_{tarama} = 15 \times \frac{13\pi}{18} = \frac{5 \times 13\pi}{6} = \frac{65\pi}{6} radyan.
Sabit açısal hız ile geçen sürenin çarpımı toplam taranan yönlü açıyı verir.
3
Son konumdaki toplam açıyı bulun.
θson=θ0+θtarama=π4+65π6=3π+130π12=133π12\theta_{son} = \theta_0 + \theta_{tarama} = \frac{\pi}{4} + \frac{65\pi}{6} = \frac{3\pi + 130\pi}{12} = \frac{133\pi}{12} radyan.
İbre pozitif yönde döndüğü için taranan açı başlangıç açısına eklenir.
4
Son konumdaki açının esas ölçüsünü radyan cinsinden hesaplayın.
Esas ölçü =13π12= \frac{13\pi}{12} radyan.
133π12\frac{133\pi}{12} ifadesinde pay olan 133133, paydanın iki katı olan 2424'e bölünür. 133=5×24+13133 = 5 \times 24 + 13 olduğundan kalan 1313 tür. Dolayısıyla esas ölçü 13π12\frac{13\pi}{12} radyandır.
5
Bulunan radyan değerini dereceye çevirin.
13π12 radyan=13×180∘12=13×15∘=195∘\frac{13\pi}{12} \text{ radyan} = \frac{13 \times 180^\circ}{12} = 13 \times 15^\circ = 195^\circ.
Radyan cinsinden verilen bir açıyı dereceye çevirmek için π\pi yerine 180∘180^\circ yazılır.

Anahtar Kavram

Yönlü açılar, derece-radyan dönüşümü ve radyan cinsinden esas ölçü bulma işlemleri.

Alternatif Yöntem

Açıları en baştan dereceye çevirerek işlem yapabilirsiniz. Başlangıç açısı 45∘45^\circ, saniyedeki dönme hızı 13×180∘18=130∘\frac{13 \times 180^\circ}{18} = 130^\circ olur. 15 saniyede taranan açı 15×130∘=1950∘15 \times 130^\circ = 1950^\circ dir. Son konumdaki açı 45∘+1950∘=1995∘45^\circ + 1950^\circ = 1995^\circ olur. 19951995 sayısının 360360'a bölümünden kalan 195195 olduğu için esas ölçü 195∘195^\circ olarak bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 4Soru →

Analitik düzlemde, başlangıç kenarı OxOx ekseninin pozitif kısmı olan α\alpha ve β\beta yönlü açılarının bitiş kenarları sırasıyla koordinat düzleminin III. ve IV. bölgelerindedir.

α\alpha açısının esas ölçüsü 11π8\frac{11\pi}{8} radyan olup, α−β\alpha - \beta açısının esas ölçüsü 315∘45′12′′315^\circ 45' 12'' dir.

Buna göre, β\beta açısının esas ölçüsü aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 291∘44′48′′291^\circ 44' 48''

Cevap

291∘44′48′′291^\circ 44' 48''
Doğru olan 291∘44′48′′291^\circ 44' 48'' değeri, α\alpha açısının derece ve dakika karşılığı olan 247∘30′00′′247^\circ 30' 00'' değerinden, verilen α−β\alpha - \beta farkı çıkarılıp elde edilen negatif değerin üzerine 360∘360^\circ eklenmesiyle elde edilir. Bu açı IV. bölgede yer alır.

Adım Adım Çözüm

1
α\alpha açısının radyan cinsinden verilen esas ölçüsünü dereceye dönüştürme.
α=11×180∘8=247.5∘\alpha = \frac{11 \times 180^\circ}{8} = 247.5^\circ
İşlemlerin derece, dakika ve saniye cinsinden yapılabilmesi için birim dönüşümü gereklidir.
2
Ondalık dereceyi derece ve dakika cinsinden ifade etme.
247.5∘=247∘30′00′′247.5^\circ = 247^\circ 30' 00''
0.5∘=0.5×60′=30′0.5^\circ = 0.5 \times 60' = 30' olduğundan ondalık kısım dakikaya çevrilir.
3
α−β\alpha - \beta farkının esas ölçü denklemini kurarak β\beta açısını yalnız bırakma.
β≡247∘30′00′′−315∘45′12′′+360∘(mod360∘)⇒β=607∘30′00′′−315∘45′12′′\beta \equiv 247^\circ 30' 00'' - 315^\circ 45' 12'' + 360^\circ \pmod{360^\circ} \Rightarrow \beta = 607^\circ 30' 00'' - 315^\circ 45' 12''
Negatif yönlü açıyı pozitif bir esas ölçüye dönüştürmek için açıya 360∘360^\circ eklenir.
4
Derece, dakika ve saniye çıkarma işlemini gerçekleştirme.
607∘30′00′′=606∘89′60′′607^\circ 30' 00'' = 606^\circ 89' 60'' yazılır. Çıkarma sonucunda 291∘44′48′′291^\circ 44' 48'' elde edilir.
Saniye ve dakika hanelerinde çıkarma yapılabilmesi için soldaki basamaklardan borç alınarak 1∘=60′1^\circ = 60' ve 1′=60′′1' = 60'' dönüşümleri uygulanır. Elde edilen 291∘44′48′′291^\circ 44' 48'' açısı IV. bölgede yer aldığından bölge şartı da sağlanır.

Anahtar Kavram

Derece, dakika, saniye birimleri arasındaki dönüşümler ve yönlü açılarda esas ölçü hesabı
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 5Soru →

Analitik düzlemde, başlangıç kenarı OxOx ekseninin pozitif kısmı olan ve ölçüsü −43π6-\frac{43\pi}{6} radyan olan yönlü açının bitiş kenarı, koordinat düzleminin ikinci bölgesindedir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur.
Verilen negatif yönlü açının esas ölçüsü 5π6\frac{5\pi}{6} radyan yani 150∘150^\circ olarak bulunur. 150∘150^\circ açısının bitiş kenarı ikinci bölgede olduğundan ifade doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Negatif yönlü açının esas ölçüsünü bulmak için açıya 2π2\pi'nin en küçük pozitif katını ekleyelim.
−43π6+8π=−43π+48π6=5π6-\frac{43\pi}{6} + 8\pi = \frac{-43\pi + 48\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} radyan
Esas ölçünün [0,2π)[0, 2\pi) aralğında olması gerektiğinden negatif açılara uygun 2π2\pi katı eklenir.
2
Elde edilen radyan cinsinden esas ölçüy�� derece birimine dönüştürelim.
5π6 radyan=5×180∘6=150∘\frac{5\pi}{6} \text{ radyan} = \frac{5 \times 180^\circ}{6} = 150^\circ
Derece birimi, koordinat düzlemindeki bölgelerin sınırlarını (0∘,90∘,180∘,270∘,360∘0^\circ, 90^\circ, 180^\circ, 270^\circ, 360^\circ) görselleştirmeyi kolaylaştırır.
3
Açının koordinat düzleminde hangi bölgeye karşılık geldiğini belirleyelim.
90∘<150∘<180∘90^\circ < 150^\circ < 180^\circ olduğundan açı ikinci bölgededir.
İkinci bölge 90∘90^\circ ile 180∘180^\circ arasındaki açıları kapsar.

Anahtar Kavram

Yönlü açılar, esas ölçü bulma ve koordinat düzlemindeki bölgeler.
Soru 6Soru →

Bir radar ekranında bulunan dairesel tarama ibresi, saat yönünde saniyede 7π12\frac{7\pi}{12} radyanlık sabit bir hızla dönmektedir. Buna göre, bu ibre çalıştırıldıktan 130130 saniye sonra taradığı yönlü açının esas ölçüsü kaç radyandır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: π6\frac{\pi}{6}

Cevap

π6\frac{\pi}{6}
İbre saat yönünde yani negatif yönde hareket ettiği için 130130 saniyede taradığı toplam açı −455π6-\frac{455\pi}{6} radyandır. Bu açının içerisindeki tam turlar ayıklandığında geriye −11π6-\frac{11\pi}{6} kalır. Esas ölçü negatif olamayacağı için bu değere 2π2\pi eklendiğinde elde edilen π6\frac{\pi}{6} değeri doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
İbrenin taradığı toplam açıyı yönüyle birlikte hesaplama.
İbre saat yönünde (negatif yönde) döndüğü için açısal hız −7π12-\frac{7\pi}{12} radyan/saniyedir. 130130 saniyede taranan toplam açı: 130×(−7π12)=−910π12=−455π6130 \times \left(-\frac{7\pi}{12}\right) = -\frac{910\pi}{12} = -\frac{455\pi}{6} radyandır.
Trigonometrik yön kurallarına göre saat yönü negatif, saat yönünün tersi ise pozitif yöndür.
2
Negatif açının içerisindeki tam turları ayıklama.
Pay olan 455455, paydanın iki katı olan 1212 sayısına bölünür: 455=12×37+11455 = 12 \times 37 + 11. Buradan −455π6=−37×2π−11π6-\frac{455\pi}{6} = -37 \times 2\pi - \frac{11\pi}{6} elde edilir.
Radyan cinsinden esas ölçü bulunurken 2π2\pi ve katları (tam turlar) denklemden çıkarılır. Bu yüzden pay, paydanın iki katına bölünerek kalan bulunur.
3
Kalan negatif açıyı [0,2π)[0, 2\pi) aralığına taşımak için 2π2\pi ekleme.
−11π6+2π=π6-\frac{11\pi}{6} + 2\pi = \frac{\pi}{6} radyan bulunur.
Esas ölçü negatif olamaz, değeri [0,2π)[0, 2\pi) aralığında olmalıdır. Negatif yönlü kalan açıya 2π2\pi eklenerek pozitif yönlü esas ölçüsü elde edilir.

Anahtar Kavram

Yönlü açılarda saat yönünün negatif yön olarak alınması ve radyan cinsinden negatif açıların esas ölçüsünün bulunması.
Soru 7Soru →

Bir lunaparktaki dönme dolap daire şeklinde olup üzerindeki 12 adet kabin, saat kadranındaki sayılar gibi 1'den 12'ye kadar saat yönünde ardışık olarak dizilmiştir. Bu dönme dolap çalıştırıldığında saat yönünde (negatif yönde) dönmektedir.

Başlangıçta en tepede 12 numaralı kabin bulunmaktadır. Dönme dolap çalışmaya başlayıp toplamda −35π3-\frac{35\pi}{3} radyanlık bir dönüş gerçekleştirdiğinde, 12 numaralı kabin başlangıçtaki konumuna göre hangi numaralı kabinin yerinde bulunur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

10 numaralı kabin
Dönme dolabın saat yönünde dönmesi negatif yönlü bir hareket olduğunu gösterir. −35π3-\frac{35\pi}{3} radyanlık açının esas ölçüsü π3\frac{\pi}{3} radyan, yani 60∘60^\circ olarak bulunur. Bu da saat yönünün tersine 60∘60^\circ'lik bir harekete eş değerdir. Kabinler arası açı 30∘30^\circ olduğundan, en tepedeki 12 numaralı kabin pozitif yönde 2 kabin ilerleyerek 10 numaralı kabinin başlangıçtaki yerine ulaşır.

Adım Adım Çözüm

1
Dönme dolabın dönüş yönü ve açısı belirlenir.
Dönme dolap saat yönünde döndüğü için dönme açısı −35π3-\frac{35\pi}{3} radyandır.
Saat yönü, trigonometride negatif yön olarak kabul edilir.
2
Negatif yönlü açının esas ölçüsü hesaplanır.
−35π3-\frac{35\pi}{3} açısının esas ölçüsü π3\frac{\pi}{3} radyandır.
Negatif açının üzerine 2π2\pi'nin tam katları (bu durumda 12π12\pi) eklenerek 00 ile 2π2\pi aralığında bir pozitif açı elde edilir.
3
Bulunan esas ölçü derece cinsine çevrilir.
π3\frac{\pi}{3} radyan =60∘= 60^\circ olur.
Radyan cinsinden verilen bir açıyı dereceye çevirmek için π\pi yerine 180∘180^\circ yazılır.
4
Kabinin yeni konumu belirlenir.
En tepedeki (12 numaralı) kabin saat yönünün tersine (pozitif yönde) 60∘60^\circ döner ve 10 numaralı kabinin yerine gelir.
12 kabin eşit aralıklarla yerleştirildiği için ardışık iki kabin arası açı 30∘30^\circ'dir. 60∘60^\circ'lik pozitif yönlü (saat yönünün tersine) dönüş, kabini 2 adım geriye (12'den 11'e ve 10'a) götürür.

Anahtar Kavram

Yönlü Açılar ve Esas Ölçü Hesaplama
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 8Soru →

Ölçüsü −23450′′-23450'' olan negatif yönlü bir açının esas ölçüsü a∘ b′ c′′a^\circ\ b'\ c'' olarak ifade edilmektedir. Buna göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 392

Cevap

Esas ölçünün derece, dakika ve saniye bileşenlerinin toplamı 392'dir.
Verilen saniye cinsinden negatif açının mutlak değeri derece, dakika ve saniyeye dönüştürüldüğünde 6∘30′50′′6^\circ 30' 50'' elde edilir. Bu açının esas ölçüsünü bulmak için 360∘360^\circ değerinden bu açı çıkarılır. 360∘360^\circ açısı 359∘59′60′′359^\circ 59' 60'' biçiminde yazılarak çıkarma işlemi gerçekleştirildiğinde esas ölçü 353∘29′10′′353^\circ 29' 10'' olarak bulunur. Bileşenlerin toplamı ise 353+29+10=392353 + 29 + 10 = 392 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Negatif açının mutlak değerini derece, dakika ve saniyeye çevirme
−23450′′=−(6∘30′50′′)-23450'' = -(6^\circ 30' 50'')
Saniyeyi dereceye çevirmek için 3600'e, kalan saniyeyi dakikaya çevirmek için 60'a böleriz.
2
Açının esas ölçüsünü hesaplama
353∘29′10′′353^\circ 29' 10''
Negatif açının esas ölçüsünü bulmak için açıya 360∘360^\circ (veya 359∘59′60′′359^\circ 59' 60'') ekleriz.
3
Bileşenlerin toplamını hesaplama
392
Soruda istenen a+b+ca + b + c toplamını elde etmek için 353353, 2929 ve 1010 değerlerini toplarız.

Anahtar Kavram

Negatif yönlü açıların esas ölçüsü ve derece-dakika-saniye dönüşümleri

Alternatif Yöntem

Saniye cinsinden verilen −23450′′-23450'' açısının üzerine saniye cinsinden 360∘360^\circ değeri olan 1296000′′1296000'' eklenerek doğrudan esas ölçünün saniye cinsinden değeri (1272550′′1272550'') bulunabilir. Ardından bu değer sırasıyla 3600 ve 60 sayılarına bölünerek derece, dakika ve saniye cinsine dönüştürülür.
Tahmini Süre:2m 0s
Yönlü Açılar ve Açı Ölçü Birimleri Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin