Examkin

Soru

Zorluk: OrtaPozitif ve Negatif Sayılar

Sıfırdan farklı aa ve bb gerçel sayıları için a<ba < b ise a2<b2a^2 < b^2 veya 1a>1b\frac{1}{a} > \frac{1}{b} ifadelerinden en az biri her zaman doğrudur.

Cevap: Cevap

Cevap

Verilen önerme yanlıştır. Zıt işaretli sayılarda her iki eşitsizliğin de yanlışlandığı karşıt örnekler bulunmaktadır.
Negatif bir sayının mutlak değeri pozitif bir sayının mutlak değerinden büyük olduğunda (∣a∣>∣b∣|a| > |b|), negatif sayının karesi pozitif sayının karesinden daha büyük olur ve çarpmaya göre tersi alındığında negatif işaret korunacağı için pozitif sayıdan küçük kalmaya devam eder. Bu durum önermenin yanlış olduğunu doğrular.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliği sağlayan zıt işaretli gerçel sayı değerleri seçilir.
a=−3a = -3 ve b=2b = 2 seçilsin. Bu durumda −3<2-3 < 2 eşitsizliği sağlandığı için a<ba < b koşulu geçerlidir.
Önermenin her zaman doğru olup olmadığını test etmek amacıyla, eşitsizlik kurallarını bozabilecek zıt işaretli ve mutlak değerce farklı büyüklükte sayılarla bir karşıt örnek aranır.
2
Birinci bileşen olan a2<b2a^2 < b^2 eşitsizliğinin doğruluk değeri incelenir.
a2=(−3)2=9a^2 = (-3)^2 = 9 ve b2=22=4b^2 = 2^2 = 4 olur. 9<49 < 4 ifadesi yanlış bir eşitsizliktir.
Negatif bir sayının karesi pozitif olacağından, mutlak değerce daha büyük olan negatif sayının karesi de daha büyük olacaktır.
3
İkinci bileşen olan 1a>1b\frac{1}{a} > \frac{1}{b} eşitsizliğinin doğruluk değeri incelenir.
1a=−13\frac{1}{a} = -\frac{1}{3} ve 1b=12\frac{1}{b} = \frac{1}{2} olur. Negatif bir sayı pozitif bir sayıdan büyük olamayacağı için −13>12-\frac{1}{3} > \frac{1}{2} ifadesi de yanlıştır.
Zıt işaretli iki sayının çarpmaya göre tersleri alındığında işaretleri değişmez, dolayısıyla negatif olan değer yine negatif, pozitif olan değer yine pozitif kalır.
4
Elde edilen sonuçlar veya bağlacı altında birleştirilerek önermenin genel doğruluk değeri belirlenir.
Her iki eşitsizlik de yanlış çıktığından, 'en az biri doğrudur' ifadesi yanlışlanmış olur.
Veya bağlacıyla bağlanmış iki ifadenin ikisi de yanlış olduğunda bileşik önermenin sonucu yanlış olur.

Anahtar Kavram

Pozitif ve negatif sayıların kareleri ile çarpmaya göre terslerinin eşitsizlik özelliklerinin zıt işaretli olma durumuna göre incelenmesi
Bu soruyu puanla

Konular

Pozitif ve Negatif Sayılar

Bu konudan daha fazla soru