Examkin

Pozitif ve Negatif Sayılar

72 soru

Tüm türler72Çoktan seçmeli37Doğru / Yanlış16Sayısal19
Soru 1Soru →

aa, bb ve cc birer gerçel sayı olmak üzere,

a3⋅b2<0a^3 \cdot b^2 < 0
a⋅b⋅c=0a \cdot b \cdot c = 0
b+c>0b + c > 0

eşitsizlik ve eşitliği veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc sayılarının işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −, +, is¸aretsiz-, \ +, \ \text{işaretsiz}

Cevap

Sırasıyla negatif, pozitif ve işaretsiz (nötr)
Verilen a3⋅b2<0a^3 \cdot b^2 < 0 eşitsizliğinde, bir gerçel sayının çift kuvveti olan b2b^2 ifadesi daima pozitif veya sıfırdır. Çarpımın sonucu sıfırdan küçük olduğu için bb sıfır olamaz, dolayısıyla b2>0b^2 > 0 olur. Bu durumda çarpımın negatif olabilmesi için a3<0a^3 < 0 olmalıdır, buradan da aa sayısının işareti negatif (−-) bulunur. a⋅b⋅c=0a \cdot b \cdot c = 0 eşitliğinde aa ve bb sıfırdan farklı olduğu için c=0c = 0 olmalıdır. Sıfır sayısı nötr (işaretsiz) bir sayıdır. Son olarak b+c>0b + c > 0 eşitsizliğinde c=0c = 0 yazıldığında b>0b > 0 elde edilir, yani bb sayısının işareti pozitif (++) olur. Dolayısıyla sırasıyla işaretler −, +, is¸aretsiz-, \ +, \ \text{işaretsiz} şeklinde belirlenir.

Adım Adım Çözüm

1
aa sayısının işaretini belirleme
a<0a < 0 (negatif)
b2b^2 ifadesi her zaman pozitif olduğundan (b≠0b \neq 0), a3⋅b2<0a^3 \cdot b^2 < 0 eşitsizliğinin sağlanması için a3<0a^3 < 0 yani a<0a < 0 olmalıdır.
2
cc sayısının değerini ve işaretini belirleme
c=0c = 0 (işaretsiz / nötr)
a⋅b⋅c=0a \cdot b \cdot c = 0 eşitliğinde a≠0a \neq 0 ve b≠0b \neq 0 olduğundan c=0c = 0 olmalıdır. Sıfır sayısı işaretsizdir.
3
bb sayısının işaretini belirleme
b>0b > 0 (pozitif)
b+c>0b + c > 0 eşitsizliğinde c=0c = 0 yerine yazıldığında b>0b > 0 elde edilir.

Anahtar Kavram

Sıfır sayısı nötr (işaretsiz) bir sayıdır ve çift kuvvetler gerçel sayılarda daima pozitif veya sıfırdır.
Soru 2Soru →

Sıfırdan farklı aa ve bb gerçel sayıları için a<0<ba < 0 < b iken, −a2⋅b-a^2 \cdot b ifadesinin değeri daima negatif, (−a)2⋅(−b)3(-a)^2 \cdot (-b)^3 ifadesinin değeri ise daima pozitiftir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

İfade yanlıştır.
Önerme yanlıştır. Çünkü a<0<ba < 0 < b koşulunda b>0b > 0 olduğundan −b<0-b < 0 (negatif) olur. Negatif bir sayının tek kuvveti negatif olduğundan (−b)3<0(-b)^3 < 0 olur. −a>0-a > 0 olduğundan çift kuvveti (−a)2>0(-a)^2 > 0 (pozitif) olur. Bu iki ifadenin çarpımı olan (−a)2⋅(−b)3(-a)^2 \cdot (-b)^3 ifadesi negatif bir değer almalıdır, ancak önermede pozitif olduğu iddia edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin ve karşıt işaretli terimlerin işaretlerini belirleme.
a<0a < 0 olduğundan −a>0-a > 0 olur. b>0b > 0 olduğundan −b<0-b < 0 olur.
Pozitif ve negatif sayıların toplama işlemine göre terslerinin işaretlerini doğru tespit etmek için.
2
−a2⋅b-a^2 \cdot b ifadesinin işaretini inceleme.
a≠0a \neq 0 olduğundan a2>0a^2 > 0 olur. Önündeki eksi işaretinden dolayı −a2<0-a^2 < 0 (negatif) elde edilir. b>0b > 0 (pozitif) olduğundan, −a2⋅b=(negatif)⋅(pozitif)=negatif-a^2 \cdot b = (\text{negatif}) \cdot (\text{pozitif}) = \text{negatif} olur. Bu kısım önermeyle uyumludur.
Parantezsiz üslü ifadelerde eksi işaretinin tabana dahil olmadığını ve çarpma kuralını uygulamak için.
3
(−a)2⋅(−b)3(-a)^2 \cdot (-b)^3 ifadesinin işaretini inceleme.
−a>0-a > 0 olduğundan (−a)2>0(-a)^2 > 0 (pozitif) olur. −b<0-b < 0 (negatif) olduğundan, negatif bir sayının tek kuvveti olan (−b)3<0(-b)^3 < 0 (negatif) elde edilir. Buradan (−a)2⋅(−b)3=(pozitif)⋅(negatif)=negatif(-a)^2 \cdot (-b)^3 = (\text{pozitif}) \cdot (\text{negatif}) = \text{negatif} olur. Bu kısım önermedeki 'pozitiftir' iddiasıyla çelişir.
Negatif sayıların tek kuvvetlerinin negatif, çift kuvvetlerinin ise pozitif olduğunu parantez özelliklerine dikkat ederek belirlemek için.
4
Elde edilen sonuçları değerlendirerek önermenin doğruluk değerini belirleme.
İkinci ifade pozitif değil negatif değer aldığı için önerme yanlıştır.
Önermenin genel doğruluk değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Pozitif ve Negatif Sayıların Kuvvetleri ve İşaret Kuralları
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 3Soru →
xx bir tam sayı olmak üzere,
x2⋅(x−1)<0x^2 \cdot (x - 1) < 0
eşitsizliğini sağlayan en büyük xx tam sayısı ka��tır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

Eşitsizliği sağlayan en büyük x tam sayısı -1'dir.
Verilen eşitsizlikte x2x^2 çarpanı x=0x = 0 dışında daima pozitiftir. x=0x = 0 için çarpım sıfır olup eşitsizliği sağlamaz. Dolayısıyla x≠0x \neq 0 olmalıdır. Çarpımın negatif olabilmesi için diğer çarpan olan x−1x - 1 ifadesinin negatif olması, yani x<1x < 1 olması gerekir. 1'den küçük olan ve 0'a eşit olmayan en büyük tam sayı -1'dir.

Adım Adım Çözüm

1
x2x^2 ifadesinin alabileceği değerlerin işaretlerini analiz edin.
x=0x = 0 için x2=0x^2 = 0 olur. x≠0x \neq 0 olan tüm durumlar için x2>0x^2 > 0 olur.
Herhangi bir gerçel sayının karesi negatif olamaz, ya sıfırdır ya da pozitiftir.
2
x=0x = 0 değerinin eşitsizliği sağlayıp sağlamadığını kontrol edin.
x=0x = 0 için 02⋅(0−1)=00^2 \cdot (0 - 1) = 0 olur. 0<00 < 0 ifadesi yanlış olduğundan x=0x = 0 çözüme dahil edilemez.
Sıfır sayısı işaretsiz (nötr) bir sayıdır ve çarpımı sıfır yaparak eşitsizliği geçersiz kılar.
3
x≠0x \neq 0 kabulü altında çarpımın negatif olma şartını inceleyin.
x2>0x^2 > 0 olduğundan, çarpımın negatif olması için x−1<0  ⟹  x<1x - 1 < 0 \implies x < 1 olmalıdır.
Pozitif bir sayı ile negatif bir sayının çarpımı daima negatiftir.
4
x<1x < 1 ve x≠0x \neq 0 koşullarına uyan en büyük tam sayıyı belirleyin.
Koşulları sağlayan tam sayılar {−1,−2,−3,… }\{-1, -2, -3, \dots\} olup en büyük eleman −1-1'dir.
1'den küçük olan en büyük tam sayı normalde 0'dır, ancak 0 değeri eşitsizliği sağlamadığı için bir sonraki en büyük tam sayı olan -1 seçilir.

Anahtar Kavram

Sıfırın nötr (işaretsiz) olma özelliği ve çift dereceli terimlerin işareti
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 4Soru →
xx bir tam sayı olmak üzere,
(x2−4)⋅(x−3)3⋅x≤0(x^2 - 4) \cdot (x - 3)^3 \cdot x \le 0
eşitsizliğini sağlayan kaç farklı pozitif xx tam sayısı vardır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayıların sayısı 2'dir.
Eşitsizliği sağlayan tam sayılar kümesi {−2,−1,0,2,3}\{-2, -1, 0, 2, 3\} olarak bulunur. Bu sayılardan pozitif olanlar yalnızca 2 ve 3 sayılarıdır. Sıfır sayısı nötr olduğu için pozitif sayı sınıfına girmez. Dolayısıyla doğru cevap 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Çarpanların köklerini bulmak
x=−2,0,2,3x = -2, 0, 2, 3
Eşitsizlik sınırlarını ve işaret değişim noktalarını belirlemek için her bir çarpanı sıfıra eşitlemeliyiz.
2
İşaret tablosunu oluşturmak
[−2,0]∪[2,3][-2, 0] \cup [2, 3] aralığı negatif veya sıfırdır.
Kökler yardımıyla oluşturulan işaret tablosunda, en büyük kök olan 3'ün sağında ifadenin işareti (+) ile başlar ve her tek katlı kökte işaret değişerek ilerler.
3
Aralıklardaki tam sayı değerlerini belirlemek
x∈{−2,−1,0,2,3}x \in \{-2, -1, 0, 2, 3\}
[−2,0][-2, 0] ve [2,3][2, 3] kapalı aralıklarında yer alan tam sayıları listelememiz gerekir.
4
Sıfırın nötr olma özelliğini kullanarak pozitif sayıları seçmek
x∈{2,3}x \in \{2, 3\} (toplam 2 adet)
Sıfır sayısı pozitif veya negatif değildir, işaretsiz (nötr) bir sayıdır. Bu nedenle çözüm kümesindeki pozitif tam sayılar sadece 2 ve 3'tür.

Anahtar Kavram

Pozitif ve Negatif Sayılar ile Sıfırın İşaretsiz (Nötr) Olma Özelliği
Soru 5Soru →

Birer gerçel sayı olan xx, yy ve zz için,

* −x2-x^2 ve (−x)2(-x)^2 ifadeleri farklı işaretlidir.
* x⋅y2=0x \cdot y^2 = 0
* y−z>0y - z > 0
* x3⋅z<0x^3 \cdot z < 0

bilgileri veriliyor.

Buna göre; xx, yy ve zz sayılarının işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: +, işaretsiz, -

Cevap

Birinci bileşenin pozitif, ikinci bileşenin işaretsiz ve üçüncü bileşenin negatif olduğu durum
Verilen öncüllere göre, −x2-x^2 ile (−x)2(-x)^2 ifadelerinin farklı işaretli olması xx sayısının sıfır olmamasını gerektirir. Bu durumda x⋅y2=0x \cdot y^2 = 0 eşitliğinden y=0y = 0 (işaretsiz) sonucu çıkar. y−z>0y - z > 0 eşitsizliğinden zz sayısının negatif olduğu, x3⋅z<0x^3 \cdot z < 0 eşitsizliğinden ise xx sayısının pozitif olduğu tespit edilir. Dolayısıyla sırasıyla pozitif, işaretsiz, negatif sıralaması doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
−x2-x^2 ve (−x)2(-x)^2 ifadelerinin işaretlerini inceleyerek xx sayısı hakkında çıkar��m yapma.
x≠0x \neq 0 olmalıdır.
Herhangi bir xx gerçel sayısı için −x2≤0-x^2 \le 0 ve (−x)2≥0(-x)^2 \ge 0 olur. Eğer x=0x = 0 olsaydı, her iki ifade de 00 (i��aretsiz) olurdu ve farklı işaretli olamazlardı. Farklı işaretli olabilmeleri için xx sıfırdan farklı olmalıdır. Bu durumda −x2-x^2 negatif, (−x)2(-x)^2 ise pozitif işaretli olur.
2
x⋅y2=0x \cdot y^2 = 0 eşitliğini kullanarak yy sayısının değerini ve işaretini belirleme.
y=0y = 0 olup işaretsizdir.
İlk adımda x≠0x \neq 0 olarak bulunmuştu. Çarpımın sıfır olabilmesi için y2=0  ⟹  y=0y^2 = 0 \implies y = 0 olmalıdır. Sıfır sayısı nötr (işaretsiz) bir sayıdır.
3
y−z>0y - z > 0 eşitsizliğini kullanarak zz sayısının işaretini belirleme.
z<0z < 0 (negatif) olmalıdır.
y=0y = 0 değeri eşitsizlikte yerine yazılırsa 0−z>0  ⟹  −z>0  ⟹  z<00 - z > 0 \implies -z > 0 \implies z < 0 elde edilir. Bu da zz sayısının negatif olduğunu gösterir.
4
x3⋅z<0x^3 \cdot z < 0 eşitsizliğini kullanarak xx sayısının işaretini belirleme.
x>0x > 0 (pozitif) olmalıdır.
z<0z < 0 (negatif) olduğundan, x3⋅z<0x^3 \cdot z < 0 eşitsizliğinin sağlanması için x3x^3 ifadesinin pozitif olması gerekir. Gerçel sayılarda x3>0  ⟹  x>0x^3 > 0 \implies x > 0 olur. Dolayısıyla xx sayısı pozitif işaretlidir.

Anahtar Kavram

Sıfır sayısının işaretsiz (nötr) olması ve negatif sayıların parantezli çift kuvvetlerinin pozitif, parantezsiz önünde eksi olan çift kuvvetlerin negatif olması özelliklerinin analiz edilmesi.

Alternatif Yöntem

Seçeneklerde verilen işaret sıralamaları sırasıyla xx, yy ve zz yerine yazılarak öncüllerin doğruluğu test edilebilir. Örneğin, ikinci bileşenin sıfırdan farklı olduğu seçenekler elenerek doğrudan işaretsiz olan seçeneklere odaklanılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 6Soru →

aa, bb ve cc gerçel sayıları için

a2⋅b<0a^2 \cdot b < 0
b3⋅c2=0b^3 \cdot c^2 = 0
a−b<ca - b < c

koşulları sağlanmaktadır.

Buna göre,

I. a2⋅c=0a^2 \cdot c = 0
II. −b2>(−b)2-b^2 > (-b)^2
III. −a3b2−c>0\frac{-a^3}{b^2 - c} > 0

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

I ve III ifadelerinin doğru olduğunu belirten seçenek
I ve III ifadelerinin her ikisinin de doğru olduğunu belirten seçenek doğrudur. c = 0 olduğundan I. öncüldeki çarpım sıfıra eşittir. Ayrıca a negatif olduğundan -a^3 pozitif, b negatif olduğundan b^2 pozitif olup bölümün sonucu pozitiftir, yani III. öncül de her zaman doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
a2⋅b<0a^2 \cdot b < 0 eşitsizliğinden yola çıkarak değişkenlerin işaretlerini analiz etmek.
a≠0a \neq 0 olduğundan a2>0a^2 > 0 olur, bu durumda b<0b < 0 olmalıdır.
Bir gerçel sayının çift kuvveti sıfır hariç daima pozitiftir. Çarpımın negatif olabilmesi için bb negatif olmalıdır.
2
b3⋅c2=0b^3 \cdot c^2 = 0 eşitliğini kullanarak cc sayısının değerini belirlemek.
b<0b < 0 olduğundan b3≠0b^3 \neq 0 olur. Dolayısıyla c2=0  ⟹  c=0c^2 = 0 \implies c = 0 bulunur.
Çarpımın sıfır olması için en az bir çarpanın sıfır olması gerekir. bb sıfır olamayacağına göre cc sıfır olmalıdır. Sıfır sayısı nötr bir sayıdır.
3
a−b<ca - b < c eşitsizliğini kullanarak aa ile bb arasındaki ilişkiyi bulmak.
c=0c = 0 yazıldığında a−b<0  ⟹  a<ba - b < 0 \implies a < b elde edilir. Buradan a<b<0a < b < 0 sıralaması bulunur.
Bulunan cc değeri eşitsizlikte yerine yazılarak değişkenler arasındaki nihai sıralama belirlenir.
4
Öncülleri elde edilen a<b<0a < b < 0 ve c=0c = 0 bilgilerine göre tek tek incelemek.
I. öncül (a2⋅c=0a^2 \cdot c = 0) doğrudur çünkü c=0c = 0 dır. II. öncül (−b2>(−b)2-b^2 > (-b)^2) yanlıştır çünkü negatif > pozitif çelişkisi oluşur. III. öncül (−a3b2−c>0\frac{-a^3}{b^2 - c} > 0) doğrudur çünkü pay −a3>0-a^3 > 0 ve payda b2>0b^2 > 0 dır.
Her öncüldeki ifadelerin işaretleri ve değerleri elde edilen eşitsizlikler ve nötrlük durumuna göre test edilir.

Anahtar Kavram

Pozitif ve Negatif Sayılarda İşlemler ve Sıfırın Nötrlüğü
Soru 7Soru →
aa ve bb gerçel sayıları için
a<0≤ba < 0 \le b
eşitsizliği veriliyor.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisinin değeri her zaman pozitif bir gerçel sayıya eşittir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: b−ab - a

Cevap

Fark ifadesi (b−ab - a) her zaman pozitif bir sayıya eşittir.
Fark ifadesi (b−ab - a), en az sıfır olan bir sayıdan (b≥0b \ge 0) negatif bir sayının (a<0a < 0) çıkarılması anlamına gelir. Matematiksel olarak b−a=b+(−a)b - a = b + (-a) şeklinde yazılabilir. a<0a < 0 olduğundan −a>0-a > 0 olur. Pozitif bir sayı ile sıfır veya pozitif bir sayının toplamı her zaman sıfırdan büyük (pozitif) olacağı için bu ifade daima pozitif bir gerçel sayı belirtir.

Adım Adım Çözüm

1
a<0a < 0 ve b≥0b \ge 0 eşitsizliklerini inceleyerek değişkenlerin işaretlerini belirlemek.
aa negatif bir gerçel sayı, bb ise sıfır veya pozitif bir gerçel sayıdır.
İfadelerin işaret analizini yapabilmek için değişkenlerin sınır değerlerini bilmek gerekir.
2
b−ab - a ifadesinin işaretini analiz etmek.
a<0  ⟹  −a>0a < 0 \implies -a > 0 olur. b≥0b \ge 0 olduğuna göre, en az sıfır olan bb sayısı ile kesinlikle pozitif olan −a-a sayısının toplamı (b+(−a)b + (-a)) sıfırdan büyük olur.
b−ab - a farkının her koşulda pozitif olduğunu kanıtlamak.

Anahtar Kavram

Pozitif ve Negatif Sayılar
Soru 8Soru →
a,btextvectextgerc\celsayılarıic\cina, b \\text{ ve } c \\text{ gerçel sayıları için}
a3cdotb2<0a^3 \\cdot b^2 < 0
b3cdotc5=0b^3 \\cdot c^5 = 0
a−b>0a - b > 0
textoldug˘ubilinmektedir.\\text{olduğu bilinmektedir.}

Buna göre,
I. acdotbcdotc<0a \\cdot b \\cdot c < 0
II. −a2cdotb>0-a^2 \\cdot b > 0
III. a−c<0a - c < 0

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: II ve III

Cevap

II ve III ifadeleri her zaman doğrudur.
Doğru cevap olan II ve III ifadesi, bulunan a<0a < 0, b<0b < 0 ve c=0c = 0 değerleriyle tam olarak uyuşmaktadır. İkinci öncüldeki −a2cdotb>0-a^2 \\cdot b > 0 ifadesi negatif iki değerin çarpımından dolayı pozitif ve doğrudur. Üçüncü öncüldeki a−c<0a - c < 0 ifadesi ise a−0=a<0a - 0 = a < 0 olduğundan her zaman doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen a3cdotb2<0a^3 \\cdot b^2 < 0 eşitsizliğinden yararlanarak aa ve bb sayılarının durumlarını incelemek.
b2b^2 ifadesi her gerçel sayı için sıfırdan büyük veya eşittir. Çarpımın sonucu sıfırdan küçük olduğu için bneq0b \\neq 0 ve b2>0b^2 > 0 olmalıdır. Buradan a3<0impliesa<0a^3 < 0 \\implies a < 0 (negatif) olarak bulunur.
Değişkenlerin sıfır olup olamayacağını ve işaretlerini netleştirmek için.
2
b3cdotc5=0b^3 \\cdot c^5 = 0 eşitliğini analiz ederek cc sayısının değerini bulmak.
İlk adımdan bneq0b \\neq 0 olduğunu bildiğimiz için b3neq0b^3 \\neq 0 olur. Eşitliğin sağlanabilmesi için c5=0impliesc=0c^5 = 0 \\implies c = 0 olmalıdır. Sıfır sayısı işaretsiz (nötr) bir sayıdır.
cc değişkeninin değerini ve nötr olma özelliğini belirlemek için.
3
a−b>0a - b > 0 eşitsizliğini kullanarak bb sayısının işaretini belirlemek.
a−b>0impliesa>ba - b > 0 \\implies a > b olur. a<0a < 0 olduğunu bildiğimiz için bb sayısı aa'dan da küçük olmalıdır. Bu durumda b<a<0b < a < 0 olduğundan b<0b < 0 (negatif) bulunur.
bb sayısının negatif olduğunu kesinleştirmek için.
4
Elde edilen a<0a < 0, b<0b < 0 ve c=0c = 0 değerlerine göre öncülleri değerlendirmek.
I. öncül için: c=0c = 0 olduğundan acdotbcdotc=0a \\cdot b \\cdot c = 0 olur. 0<00 < 0 eşitsizliği yanlıştır. II. öncül için: a<0a < 0 ise a2>0a^2 > 0 ve önündeki eksi işaretinden dolayı −a2<0-a^2 < 0 (negatif) olur. b<0b < 0 olduğundan iki negatif sayının çarpımı pozitiftir, yani −a2cdotb>0-a^2 \\cdot b > 0 doğrudur. III. öncül için: a<0a < 0 ve c=0c = 0 olduğundan a−c=a−0=a<0a - c = a - 0 = a < 0 doğrudur.
Öncüllerin doğruluk değerlerini kesinleştirip sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Pozitif ve Negatif Sayılar
Soru 9Soru →

Her aa gerçel sayısı için −a2-a^2 ifadesinin değeri negatif bir sayıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

İfade yanlıştır. Sıfır sayısı nötr olduğundan, a=0a = 0 için −a2-a^2 ifadesinin değeri negatif değil sıfırdır.
Verilen ifade yanlıştır çünkü a=0a = 0 gerçel sayısı için −a2-a^2 değeri 00 olur ve sıfır sayısı negatif değildir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadenin her gerçel sayı için geçerli olup olmadığını kontrol etmek amacıyla sıfır sayısını inceleyelim.
a=0a = 0 için −a2=−02=0-a^2 = -0^2 = 0 elde edilir.
Sıfır sayısı, işaret analizinde sıklıkla gözden kaçan kritik bir sınır noktasıdır.
2
Elde edilen değerin işaretini belirleyelim.
00 sayısı işaretsiz (nötr) bir sayıdır.
Pozitif veya negatif sayı tanımına uymayan gerçel sayıları belirlemek.
3
Elde edilen sonucu önermenin iddiası ile karşılaştıralım.
Önerme tüm sonuçların negatif olduğunu iddia ederken a=0a=0 için sonuç nötr çıktığından önerme yanlıştır.
Bir önermenin yanlış olduğunu ispatlamak için tek bir aksine örnek göstermek yeterlidir.

Anahtar Kavram

Sıfır sayısının nötr (işaretsiz) olması ve üslü ifadelerde negatiflik
Soru 10Soru →
A={−3,−2,0,1,4}A = \{-3, -2, 0, 1, 4\}

kümesinden seçilen birbirinden farklı aa ve bb elemanları için a⋅ba \cdot b çarpımı pozitif veya işaretsiz (nötr) bir gerçel sayıdır.

Buna göre, bu koşulu sağlayan {a,b}\{a, b\} biçiminde kaç farklı iki elemanlı küme yazılabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

İki elemanlı {a, b} kümelerinin çarpımının pozitif veya nötr olmasını sağlayan 6 farklı küme yazılabilir.
Çarpımın pozitif olması için iki sayının da negatif veya iki sayının da pozitif olması gerekir. Çarpımın nötr (işaretsiz) olması için ise sayılardan en az birinin sıfır olması gerekir. A kümesindeki elemanlar incelendiğinde bu koşulları sağlayan toplam 6 adet iki elemanlı küme yazılabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Çarpımın pozitif veya nötr olması için gereken durumları analiz edin.
Pozitif çarpım için a ve b aynı işaretli olmalıdır. Nötr (sıfır) çarpım için sayılardan biri 0 olmalıdır.
Pozitif sayıların çarpımı pozitif, negatif sayıların çarpımı pozitif ve 0 ile herhangi bir sayının çarpımı 0 (nötr) sonucunu verir.
2
Aynı işaretli eleman çiftlerini (çarpımı pozitif olanları) belirleyin.
Negatif elemanlardan {-3, -2} (çarpım 6) ve pozitif elemanlardan {1, 4} (çarpım 4) elde edilir. Toplam 2 küme.
Kümedeki negatif sayılar {-3, -2} ve pozitif sayılar {1, 4} olup, bunların kendi aralarındaki çarpımları pozitiftir.
3
Çarpımı nötr (sıfır) yapan eleman çiftlerini belirleyin.
{0, -3}, {0, -2}, {0, 1}, {0, 4} olmak üzere 4 farklı küme elde edilir.
Sıfır sayısı nötr bir sayıdır ve kümedeki diğer 4 elemanın her biriyle ayrı ayrı çarpıldığında sonuç sıfır (nötr) olur.
4
Tüm durumların toplamını bulun.
2 + 4 = 6 farklı küme yazılabilir.
Bulunan tüm durumlar birbirinden bağımsız olduğundan toplama işlemi yapılır.

Anahtar Kavram

Pozitif ve negatif sayıların çarpım kuralları ile sıfır sayısının nötr (işaretsiz) olma özelliği.
Soru 11Soru →

Sayı doğrusu üzerinde yer alan x,yx, y ve zz gerçel sayıları ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmektedir:

- Bu sayılardan biri işaretsiz (nötr) bir sayıdır.
- Bu sayıların en küçüğü aa, en büyüğü ise cc olmak üzere, a3⋅c2<0a^3 \cdot c^2 < 0 eşitsizliği geçerlidir.
- Sayılardan biri −4-4 ve bu üç sayının toplamı −1-1 olduğuna göre, bu sayıların en büyüğü olan cc değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

En büyük sayı olan cc değeri 3'tür.
İşaretsiz sayı 0'dır. a3⋅c2<0a^3 \cdot c^2 < 0 eşitsizliğinde c2>0c^2 > 0 olduğundan a3<0a^3 < 0 ve dolayısıyla a<0a < 0 olur. Sayıların sıralaması a<0<ca < 0 < c şeklindedir. Negatif olan sayı a=−4a = -4 olduğundan, toplam −4+0+c=−1  ⟹  c=3-4 + 0 + c = -1 \implies c = 3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İşaretsiz (nötr) sayıyı belirleme
Üç sayıdan biri 0'dır.
Gerçel sayılar kümesinde işareti olmayan (nötr) tek sayı 0'dır.
2
En küçük (aa) ve en büyük (cc) sayıların işaretlerini analiz etme
a<0a < 0 ve c>0c > 0 olup, sayılar a<0<ca < 0 < c şeklinde sıralanır.
c2>0c^2 > 0 olmalıdır (çünkü c≠0c \neq 0). Bu durumda a3⋅c2<0a^3 \cdot c^2 < 0 olabilmesi için a3<0a^3 < 0 yani a<0a < 0 olmalıdır. En küçük sayı aa negatif, sayılardan biri 0 olduğuna göre en büyük sayı cc pozitif olmak zorundadır.
3
Verilen değerleri denklemde yerine yazarak cc değerini bulma
c=3c = 3 olarak bulunur.
Negatif olan sayı a=−4a = -4'tür. Diğer sayı 0 olduğuna göre, sayıların toplamı a+0+c=−1  ⟹  −4+0+c=−1  ⟹  c=3a + 0 + c = -1 \implies -4 + 0 + c = -1 \implies c = 3 olur.

Anahtar Kavram

Pozitif ve negatif sayıların çarpım ve kuvvet özellikleri ile sıfırın nötr olma durumu.
Soru 12Soru →

a=−3a = -3 olmak üzere,

x=a2x = a^2
y=−a2y = -a^2
z=a⋅0z = a \cdot 0

sayıları tanımlanıyor.

Buna göre; xx, yy ve zz sayılarının işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Pozitif, Negatif, Nötr

Cevap

İlk sayı pozitif, ikinci sayı negatif ve üçüncü sayı nötrdür.
Sırasıyla pozitif, negatif ve nötr işaretlerini içeren seçenek doğrudur. Çünkü değişkenin değeri yerine yazıldığında x=(−3)2=9x = (-3)^2 = 9 (pozitif), y=−(−3)2=−9y = -(-3)^2 = -9 (negatif) ve z=−3⋅0=0z = -3 \cdot 0 = 0 (nötr) değerleri elde edilmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
x=a2x = a^2 ifadesinde a=−3a = -3 değerini yerine yazmak.
x=(−3)2=9x = (-3)^2 = 9 elde edilir. Bu değer sıfırdan büyük olduğu için ilk sayının işareti pozitiftir.
Bir negatif sayının çift kuvveti alınırken sayı parantez içinde düşünülür.
2
y=−a2y = -a^2 ifadesinde a=−3a = -3 değerini yerine yazmak.
y=−(−3)2=−9y = -(-3)^2 = -9 elde edilir. Bu değer sıfırdan küçük olduğu için ikinci sayının işareti negatiftir.
İfadenin önündeki eksi işareti, sayının karesi alındıktan sonra işleme dahil edilir.
3
z=a⋅0z = a \cdot 0 ifadesini hesaplamak.
z=−3⋅0=0z = -3 \cdot 0 = 0 elde edilir.
Herhangi bir gerçel sayının sıfır ile çarpımı sıfırdır. Sıfır (0) sayısı ise işaretsiz (nötr) bir sayıdır.

Anahtar Kavram

Pozitif ve negatif sayıların özellikleri ile sıfırın işaretsiz (nötr) olma durumu
Tahmini Süre:1m 15s
Soru 13Soru →
aa, bb ve cc birer gerçel sayı olmak üzere,
a3⋅b2<0a^3 \cdot b^2 < 0
a⋅c3=0a \cdot c^3 = 0
b−a<0b - a < 0
eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre;
I. −a2⋅b-a^2 \cdot b
II. (−b)3⋅a2(-b)^3 \cdot a^2
III. −b2⋅c-b^2 \cdot c
IV. a4⋅b3−ca^4 \cdot b^3 - c
V. −(−a)3⋅b-(-a)^3 \cdot b

ifadelerinden kaç tanesi pozitif bir gerçel sayı belirtir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Verilen ifadelerden 3 tanesi pozitif bir gerçel sayı belirtir.
I, II ve V numaralı ifadeler pozitif değerler alırken, III numaralı ifade sıfıra eşit olup nötrdür, IV numaralı ifade ise negatif değer alır. Bu nedenle pozitif gerçel sayı belirten ifade sayısı 3'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin işaretlerini belirleme
a<0a < 0, b<0b < 0 ve c=0c = 0
a3⋅b2<0a^3 \cdot b^2 < 0 ifadesinden a<0a < 0 bulunur. a⋅c3=0a \cdot c^3 = 0 eşitliğinde a≠0a \neq 0 olduğundan c=0c = 0 olmalıdır. b−a<0  ⟹  b<a<0b - a < 0 \implies b < a < 0 olduğundan b<0b < 0 olmalıdır.
2
İfadelerin tek tek incelenmesi
I. ifade pozitif, II. ifade pozitif, III. ifade nötr (sıfır), IV. ifade negatif, V. ifade pozitiftir.
Negatif sayıların çift kuvvetlerinin pozitif, tek kuvvetlerinin negatif olduğu ve parantez dışındaki eksi işaretlerinin işarete etkisi kuralları uygulanarak her bir ifadenin işareti belirlenir.
3
Pozitif ifadelerin sayısını bulma
3
I, II ve V. ifadeler pozitif gerçel sayı belirttiği için toplamda 3 tane pozitif ifade vardır.

Anahtar Kavram

Pozitif ve Negatif Sayıların Özellikleri ile Sıfırın Nötrlüğü
Soru 14Soru →

Aşağıdaki tabloda aa, bb ve cc gerçel sayılarının işaret durumları hakkında bilgiler verilmiştir:

Sayıİşaret Durumu
aaNegatif gerçel sayı
bbİşaretsiz (nötr) gerçel sayı
ccPozitif gerçel sayı

Bu sayılar kullanılarak aşağıdaki xx, yy ve zz ifadeleri tanımlanıyor:

x=(−a)2⋅cx = (-a)^2 \cdot c
y=−a4⋅by = -a^4 \cdot b
z=a3⋅(b−c)z = a^3 \cdot (b - c)

Buna göre; xx, yy ve zz ifadelerinden hangileri her zaman pozitif bir gerçel sayı belirtir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: xx ve zz

Cevap

İlk ifade ve son ifade daima pozitif bir gerçel sayı belirtir.
Doğru seçenekte belirtilen ifadelere göre, ilk ifadede taban pozitif olup karesi de pozitiftir, pozitif bir sayıyla çarpımı pozitif sonuç verir. Son ifadede ise negatif bir tabanın tek kuvveti negatif, nötr sayıdan pozitif sayının çıkarılmasıyla elde edilen fark da negatiftir; bu iki negatif değerin çarpımı daima pozitif bir gerçel sayı belirtir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sayıların değer aralıklarını ve işaretlerini belirleme.
a<0a < 0, b=0b = 0 ve c>0c > 0 olduğu belirlenir.
Soruda aa sayısının negatif, bb sayısının işaretsiz (nötr) ve cc sayısının pozitif olduğu belirtilmiştir. Gerçel sayılar kümesinde işaretsiz (nötr) olan tek sayı 00'dır.
2
İlk ifadenin işaretini inceleme.
x>0x > 0 (pozitif) elde edilir.
a<0a < 0 olduğundan −a>0-a > 0 olur. Pozitif bir sayının karesi (−a)2(-a)^2 daima pozitiftir. c>0c > 0 olduğundan, iki pozitif sayının çarpımı olan (−a)2⋅c(-a)^2 \cdot c daima pozitif bir değer alır.
3
İkinci ifadenin işaretini inceleme.
y=0y = 0 (nötr) elde edilir.
b=0b = 0 olduğundan, −a4⋅0=0-a^4 \cdot 0 = 0 olur. Sıfır sayısı pozitif veya negatif değil, işaretsiz (nötr) bir sayıdır.
4
Üçüncü ifadenin işaretini inceleme.
z>0z > 0 (pozitif) elde edilir.
a<0a < 0 olduğundan tek kuvveti olan a3<0a^3 < 0 olur. b−c=0−c=−cb - c = 0 - c = -c şeklindedir ve c>0c > 0 olduğundan −c<0-c < 0 olur. İki negatif ifadenin çarpımı olan a3⋅(b−c)a^3 \cdot (b - c) daima pozitif sonuç verir.

Anahtar Kavram

Pozitif ve Negatif Sayıların Özellikleri ve İşlem Kuralları
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 15Soru →
aa, bb ve cc birer gerçel sayı olmak üzere,
−a2⋅b≥0-a^2 \cdot b \geq 0
(−b)3⋅c>0(-b)^3 \cdot c > 0
a⋅(c−b)≥0a \cdot (c - b) \geq 0
eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre;
I. b⋅c<0b \cdot c < 0
II. a⋅b<0a \cdot b < 0
III. a3⋅c≥0a^3 \cdot c \geq 0

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

I ve III ifadelerinin yer aldığı seçenek doğrudur.
I. öncüldeki b⋅c<0b \cdot c < 0 ifadesi her iki durumda da bb ve cc sayılarının zıt işaretli olmasından dolayı her zaman doğrudur. III. öncüldeki a3⋅c≥0a^3 \cdot c \geq 0 ifadesi ise, a=0a=0 iken sıfıra eşitliği, a>0a>0 ve c>0c>0 iken ise pozitifliği sağladığından her zaman doğrudur. Bu nedenle 'I ve III' ifadesini içeren seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
(−b)3⋅c>0(-b)^3 \cdot c > 0 eşitsizliğini çözümleyerek bb ve cc sayılarının işaret ilişkisini belirlemek.
bb ve cc zıt işaretlidir (b⋅c<0b \cdot c < 0). Ayrıca b≠0b \neq 0 ve c≠0c \neq 0 durumları geçerlidir.
(−b)3=−b3(-b)^3 = -b^3 şeklinde yazılabilir. Buradan −b3⋅c>0  ⟹  b3⋅c<0-b^3 \cdot c > 0 \implies b^3 \cdot c < 0 elde edilir. Bir sayının tek kuvveti kendisiyle aynı işaretli olduğundan, bb ve cc zıt işaretli olmalıdır. Çarpım sıfırdan farklı olduğu için terimlerin hiçbiri sıfır olamaz.
2
−a2⋅b≥0-a^2 \cdot b \geq 0 eşitsizliğini, bb sayısının işaretine göre iki durumda incelemek.
Eğer b>0b > 0 ise a=0a = 0 olur. Eğer b<0b < 0 ise aa herhangi bir gerçel sayı olabilir.
b≠0b \neq 0 olduğundan iki ana durum vardır: 1) b>0b > 0 ise, pozitif bir sayıyla çarpıldığında sonucun ≥0\geq 0 kalması için −a2≥0  ⟹  a2≤0-a^2 \geq 0 \implies a^2 \leq 0 olmalıdır. Bu ise yalnızca a=0a = 0 durumunda mümkündür. 2) b<0b < 0 ise, negatif bir sayıyla çarpıldığında sonucun ≥0\geq 0 olması için −a2≤0  ⟹  a2≥0-a^2 \leq 0 \implies a^2 \geq 0 olmalıdır ki bu tüm gerçel sayılar için zaten doğrudur.
3
a⋅(c−b)≥0a \cdot (c - b) \geq 0 eşitsizliğini kullanarak ikinci durumdaki aa sayısını sınırlandırmak.
b<0b < 0 durumunda a≥0a \geq 0 olmal��dır.
b<0b < 0 ise c>0c > 0 olur (zıt işaretli olduklarından). Bu durumda c−b=(pozitif)−(negatif)>0c - b = (\text{pozitif}) - (\text{negatif}) > 0 elde edilir. a⋅(c−b)≥0a \cdot (c - b) \geq 0 eşitsizliğinde her iki taraf pozitif olan c−bc - b ifadesine bölündüğünde a≥0a \geq 0 bulunur.
4
Elde edilen tüm durumları birleştirerek öncülleri değerlendirmek.
I. ve III. öncüller her zaman doğruyken, II. öncül a=0a=0 durumu için yanlıştır.
1. Durum (b>0b > 0, c<0c < 0, a=0a = 0): I. b⋅c<0b \cdot c < 0 (Doğru), II. a⋅b=0<0a \cdot b = 0 < 0 (Yanlış), III. a3⋅c=0≥0a^3 \cdot c = 0 \geq 0 (Doğru). 2. Durum (b<0b < 0, c>0c > 0, a≥0a \geq 0): I. b⋅c<0b \cdot c < 0 (Doğru), II. a⋅b≤0a \cdot b \leq 0 olup a=0a=0 için 0<00 < 0 ifadesi yanlış olur (Her zaman doğru değil), III. a≥0  ⟹  a3≥0a \geq 0 \implies a^3 \geq 0 ve c>0c > 0 olduğundan a3⋅c≥0a^3 \cdot c \geq 0 (Doğru). Sonuç olarak I ve III her zaman doğrudur.

Anahtar Kavram

Pozitif ve negatif sayılarda işaret analizi, sıfırın nötr (işaretsiz) olma özelliği ve eşitsizlik özellikleri.

Alternatif Yöntem

Sayısal değerler vererek seçenekleri eleme yöntemi kullanılabilir. Örneğin, b=1b=1 seçilirse −a2≥0  ⟹  a=0-a^2 \geq 0 \implies a=0 olur. Bu durumda (−b)3⋅c>0  ⟹  −1⋅c>0  ⟹  c<0(-b)^3 \cdot c > 0 \implies -1 \cdot c > 0 \implies c < 0 olur. a=0a=0 ve c<0c < 0 için a⋅(c−b)=0≥0a \cdot (c-b) = 0 \geq 0 sağlanır. Bu değerler altında a⋅b=0a \cdot b = 0 olduğundan II. öncül elenir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 16Soru →

Sıfırdan farklı xx ve yy gerçel sayıları ile bir zz gerçel sayısı için,

* −x4-x^4 ve (−y)3(-y)^3 sayıları zıt işaretlidir.
* (−x)3⋅y>0(-x)^3 \cdot y > 0
* y⋅z=0y \cdot z = 0

bilgileri veriliyor.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman pozitif bir sayı belirtir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: y−xx⋅y\frac{y - x}{x \cdot y}

Cevap

Pay ve paydası negatif olan bölüm ifadesi
Bölüm şeklindeki ifadenin payı olan fark (y−xy - x) negatif bir sayıdan pozitif bir sayı çıkarıldığı için negatiftir. Paydadaki çarpım (x⋅yx \cdot y) ise zıt işaretli iki sayının çarpımı olduğundan negatiftir. İki negatif sayının birbirine bölümü her zaman pozitif bir sayı verir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin işaret analizine −x4-x^4 ve (−y)3(-y)^3 ifadeleriyle başlayın.
xx sıfırdan farklı olduğu için x4>0x^4 > 0 olur. Buradan −x4<0-x^4 < 0 elde edilir. İki ifade zıt işaretli olduğundan (−y)3>0(-y)^3 > 0 olmalıdır. Bu durumda −y>0  ⟹  y<0-y > 0 \implies y < 0 (negatif) bulunur.
Parantez dışındaki eksi işaretinin ve negatif tabanlı tek kuvvetlerin özelliklerini belirlemek için.
2
(−x)3⋅y>0(-x)^3 \cdot y > 0 eşitsizliğini kullanarak xx'in işaretini bulun.
y<0y < 0 (negatif) olduğundan çarpımın pozitif olması için (−x)3<0(-x)^3 < 0 olmalıdır. Buradan −x<0  ⟹  x>0-x < 0 \implies x > 0 (pozitif) elde edilir.
Çarpımın işaret kuralı ve tek kuvvet özelliğini uygulamak için.
3
y⋅z=0y \cdot z = 0 eşitliğini kullanarak zz'nin değerini bulun.
y≠0y \neq 0 (y<0y < 0) olduğundan eşitliğin sağlanması için z=0z = 0 olmalıdır. Sıfır sayısı nötrdür (işaretsizdir).
Çarpımın sıfıra eşit olma kuralını uygulamak için.
4
Seçenekleri elde edilen işaretlere (x>0x > 0, y<0y < 0, z=0z = 0) göre değerlendirin.
Bölüm ifadesinde pay y−x<0y - x < 0 ve payda x⋅y<0x \cdot y < 0 olduğundan, iki negatif ifadenin bölümü her zaman pozitif olur.
İfadelerin her zaman pozitif olma durumunu doğrulamak için.

Anahtar Kavram

Pozitif ve Negatif Sayıların Özellikleri, Sıfırın Nötr Olma Durumu ve Kuvvet İşaret Kuralları
Soru 17Soru →

Bir kış günü Erzurum'da hava sıcaklığı −2∘C-2^\circ\text{C} olarak ölçülmüştür. Bu sıcaklık değerini temsil eden sayı xx olmak üzere;

I. −x2-x^2
II. x⋅0x \cdot 0
III. (−x)3(-x)^3

ifadelerinden hangileri pozitif bir sayı belirtir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız III

Cevap

Yalnız III
Sadece üçüncü ifade pozitif bir sayı belirtir. Sıcaklık değeri olan −2-2 sayısı xx yerine yazıldığında, (−x)3=(−(−2))3=23=8(-x)^3 = (-(-2))^3 = 2^3 = 8 değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci ifadeyi x=−2x = -2 için değerlendirin.
−x2=−(−2)2=−4-x^2 = -(-2)^2 = -4 olur. Bu sayı sıfırdan küçük olduğu için negatiftir.
Parantez dışındaki eksi işareti, karesi alınan sayının önünde kalmaya devam eder.
2
İkinci ifadeyi x=−2x = -2 için değerlendirin.
x⋅0=−2⋅0=0x \cdot 0 = -2 \cdot 0 = 0 olur. Bu sayı ne pozitif ne de negatiftir.
Sıfır sayısı nötr bir sayıdır.
3
Üçüncü ifadeyi x=−2x = -2 için değerlendirin.
(−x)3=(−(−2))3=23=8(-x)^3 = (-(-2))^3 = 2^3 = 8 olur. Bu sayı sıfırdan büyük olduğu için pozitiftir.
Negatif bir sayının önündeki eksi işareti onu pozitife dönüştürür ve pozitif sayının kuvvetleri pozitiftir.

Anahtar Kavram

Pozitif ve Negatif Sayıların İşaret Kuralları ve Sıfırın Nötr Olması
Soru 18Soru →
Birer gerçel sayı olan aa ve bb için
(−a)2⋅(−b)3≥0(-a)^2 \cdot (-b)^3 \geq 0
eşitsizliği sağlandığına göre, bb sayısının pozitif bir sayı olamayacağı iddiası her zaman doğru mudur?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen iddia her zaman doğru değildir (yanlıştır), çünkü a=0a = 0 durumunda bb sayısı pozitif bir değer alabilir.
İddia yanlıştır. Eşitsizliği sağlayan aa ve bb gerçel sayıları için a=0a=0 seçildiğinde, (−a)2=0(-a)^2 = 0 olur ve çarpımın sonucu bb'nin tüm değerleri için sıfıra eşit olur. Bu durumda bb sayısı pozitif bir değer (örneğin b=1b=1) alabilmektedir. Dolayısıyla, bb sayısının pozitif olamayacağı iddiası her zaman doğru değildir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitsizlikteki ifadelerin işaret durumlarını incelemek için parantezli üslü ifadelerin özelliklerini belirlemek.
(−a)2(-a)^2 ifadesi her aa gerçel sayısı için sıfırdan büyük veya sıfıra eşittir ((−a)2≥0(-a)^2 \geq 0). Benzer şekilde (−b)3(-b)^3 ifadesi, −b-b sayısının işareti ile aynı işarete sahiptir.
Çarpımın sonucunun sıfırdan büyük veya eşit olması durumunu analiz edebilmek için çarpanların alabileceği değer aralıklarını bilmemiz gerekir.
2
a=0a = 0 olma durumunu (sıfırın nötr olma özelliğini) kontrol etmek.
Eğer a=0a = 0 ise (−a)2=(−0)2=0(-a)^2 = (-0)^2 = 0 olur. Bu durumda (−a)2⋅(−b)3=0⋅(−b)3=0≥0(-a)^2 \cdot (-b)^3 = 0 \cdot (-b)^3 = 0 \geq 0 eşitsizliği, bb sayısının değeri ne olursa olsun her zaman sağlanır.
Sıfır sayısı işaretsiz (nötr) bir sayıdır ve çarpma işleminde yutan elemandır; bu özel durumun eşitsizliğin çözüm kümesini nasıl etkilediğini görmemiz gerekir.
3
bb sayısının pozitif bir değer alıp alamayacağını bir karşı örnekle test etmek.
a=0a = 0 ve b=1b = 1 (pozitif bir sayı) seçildiğinde, (−0)2⋅(−1)3=0⋅(−1)=0≥0(-0)^2 \cdot (-1)^3 = 0 \cdot (-1) = 0 \geq 0 eşitsizliği doğru olur. Dolayısıyla bb sayısı pozitif bir sayı olabilir.
İddianın doğruluğunu çürütmek için eşitsizliği sağlayan en az bir pozitif bb değerinin var olduğunu göstermek yeterlidir.

Anahtar Kavram

Pozitif ve negatif sayılarda sıfırın nötr (işaretsiz) olma durumu ve çift kuvvetlerin sıfıra eşit olabilme özelliği.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 19Soru →
aa, bb ve cc gerçel sayıları için a4⋅b3⋅c≤0a^4 \cdot b^3 \cdot c \leq 0 a3⋅b2>0a^3 \cdot b^2 > 0 eşitsizlikleri sağlandığına göre, cc sayısı işaretsiz (nötr) bir sayı olamaz.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen önerme yanlıştır. Eşitsizlik sisteminde eşitlik durumu da geçerli olduğu için c sayısı 0 (işaretsiz/nötr) değerini alabilir.
Verilen önerme yanlıştır çünkü a3⋅b2>0a^3 \cdot b^2 > 0 eşitsizliği a>0a > 0 ve b≠0b \neq 0 olmasını gerektirirken, a4⋅b3⋅c≤0a^4 \cdot b^3 \cdot c \leq 0 eşitsizliği b3⋅c≤0b^3 \cdot c \leq 0 olmasını gerektirir. Burada eşitlik durumu sağlandığı için c=0c = 0 seçilebilir. Sıfır sayısı işaretsiz (nötr) bir sayı olduğundan, cc sayısı işaretsiz bir sayı olabilir.

Adım Adım Çözüm

1
a3⋅b2>0a^3 \cdot b^2 > 0 eşitsizliği analiz edilir.
a>0a > 0 ve b≠0b \neq 0 olduğu belirlenir.
Çift kuvvetli olan b2b^2 ifadesi sıfırdan farklı her gerçel sayı için pozitiftir. Çarpımın pozitif olabilmesi için hem b2>0b^2 > 0 (yani b≠0b \neq 0) hem de a3>0a^3 > 0 olmalıdır. Buradan a>0a > 0 sonucuna ulaşılır.
2
a4⋅b3⋅c≤0a^4 \cdot b^3 \cdot c \leq 0 eşitsizliği sadeleştirilir.
b3⋅c≤0b^3 \cdot c \leq 0 eşitsizliği elde edilir.
a>0a > 0 olduğu için çift kuvveti olan a4a^4 da daima pozitiftir. Pozitif bir çarpan eşitsizliğin yönünü veya sıfıra göre durumunu etkilemeyeceği için eşitsizlik sadeleştirilebilir.
3
cc sayısının sıfır (nötr) olma durumu test edilir.
c=0c = 0 değerinin sistemi sağladığı görülür.
b3⋅c≤0b^3 \cdot c \leq 0 eşitsizliğinde c=0c = 0 yazılırsa b3⋅0=0≤0b^3 \cdot 0 = 0 \leq 0 ifadesi elde edilir ve bu ifade her b≠0b \neq 0 gerçel sayısı için doğrudur. Sıfır sayısı işaretsiz (nötr) bir sayı olduğu için cc sayısı işaretsiz olabilir.

Anahtar Kavram

Gerçel sayıların kuvvetlerinin işaret durumları ve sıfır sayısının işaretsiz (nötr) olma özelliği.
Soru 20Soru →
x=(−5)2x = (-5)^2
y=−52y = -5^2
ve zz sayısı negatif olmayan en küçük tam sayıdır.

Buna göre, x−y+zx - y + z işleminin sonucu kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 50

Cevap

Verilen işlemin sonucu 50'dir.
Verilen ifadeler incelendiğinde, negatif bir sayının parantezli karesi pozitif olduğundan x=25x = 25, parantezsiz kare işleminde işaret etkilenmediğinden y=−25y = -25 ve nötr olan sıfır sayısı negatif olmadığından z=0z = 0 olur. Bu değerlerle yapılan x−y+zx - y + z işlemi 25−(−25)+0=5025 - (-25) + 0 = 50 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
xx sayısının değerini hesaplama
x=25x = 25
Negatif bir sayının çift kuvveti parantez dışındaysa tabandaki eksi işaretini de etkiler ve sonuç pozitif olur: (−5)2=(−5)⋅(−5)=25(-5)^2 = (-5) \cdot (-5) = 25.
2
yy sayısının değerini hesaplama
y=−25y = -25
Parantez bulunmayan durumlarda üs alma işlemi sadece sayıya aittir, sayının önündeki işarete etki etmez: −52=−(52)=−25-5^2 = -(5^2) = -25.
3
zz sayısının değerini belirleme
z=0z = 0
Sıfır sayısı nötr (işaretsiz) bir sayıdır. Dolayısıyla negatif olmayan tam sayılar kümesi 0'dan başlar: {0,1,2,3,… }\{0, 1, 2, 3, \dots\}. Bu kümenin en küçük elemanı da 0'dır.
4
x−y+zx - y + z ifadesinin değerini bulma
50
Elde edilen değerler ifadede yerine yazıldığında 25−(−25)+0=25+25+0=5025 - (-25) + 0 = 25 + 25 + 0 = 50 elde edilir.

Anahtar Kavram

Pozitif ve negatif sayıların kuvvetleri alınırken parantez kullanımının önemi ile sıfırın nötr (işaretsiz) olma özelliği.
Tahmini Süre:50s
Sayfa 1 / 4Sonraki
Pozitif ve Negatif Sayılar Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) | Examkin