Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÖnermeler ve Bağlaçlar
a,ba, b ve cc sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,
p:a⋅b<0q:a⋅c>0r:b+c<0\begin{aligned} p&: a \cdot b < 0 \\ q&: a \cdot c > 0 \\ r&: b + c < 0 \end{aligned}
önermeleri veriliyor.
(p⇒q)∨(q′⇒r)(p \Rightarrow q) \lor (q' \Rightarrow r)
önermesi yanlış olduğuna göre; a,ba, b ve cc sayılarının işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A
    +, -, +
  2. -, +, +Cevap
  3. C
    -, +, -
  4. D
    +, -, -
  5. E
    -, -, +

Cevap

Sırasıyla negatif, pozitif, pozitif
Bileşik önermenin doğruluk değerinin 0 olmasından hareketle p≡1p \equiv 1, q≡0q \equiv 0 ve r≡0r \equiv 0 olarak bulunur. Bu değerler aa, bb ve cc sayılarının çarpım ve toplam özellikleri ile eşleştirildiğinde sırasıyla negatif, pozitif, pozitif işaretleri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşik önermenin doğruluk değerini analiz etmek.
(p⇒q)∨(q′⇒r)≡0(p \Rightarrow q) \lor (q' \Rightarrow r) \equiv 0 olduğuna göre, veya bağlacının özelliğinden hem p⇒q≡0p \Rightarrow q \equiv 0 hem de q′⇒r≡0q' \Rightarrow r \equiv 0 olmalıdır.
Veya (\lor) bağlacıyla bağlanan iki ifadenin sonucu yalnızca her iki bileşen de yanlış (0) olduğunda yanlış olur.
2
Bileşenlerden hareketle p, q ve r önermelerinin doğruluk değerlerini bulmak.
p⇒q≡0p \Rightarrow q \equiv 0 olduğundan ise (\Rightarrow) bağlacının kuralı gereği p≡1p \equiv 1 ve q≡0q \equiv 0 olmalıdır. Benzer şekilde, q′⇒r≡0q' \Rightarrow r \equiv 0 ifadesinden q′≡1q' \equiv 1 ve r≡0r \equiv 0 bulunur (q′≡1q' \equiv 1 olması q≡0q \equiv 0 olmasıyla tutarlıdır). Sonuç olarak p≡1p \equiv 1, q≡0q \equiv 0 ve r≡0r \equiv 0 doğruluk değerleri elde edilir.
İse (\Rightarrow) bağlacının sonucunun 0 olması, yalnızca birinci önermenin 1, ikinci önermenin 0 olması durumunda gerçekleşir.
3
Belirlenen doğruluk değerlerine göre a, b ve c sayılarının işaretlerini tespit etmek.
p≡1p \equiv 1 olduğundan a⋅b<0a \cdot b < 0 ifadesi doğrudur, yani aa ve bb zıt işaretlidir. q≡0q \equiv 0 olduğundan a⋅c>0a \cdot c > 0 ifadesi yanlıştır; sayılar sıfırdan farklı olduğu için a⋅c<0a \cdot c < 0 olmalıdır, yani aa ve cc zıt işaretlidir. aa sayısı hem bb hem de cc ile zıt işaretli olduğundan, bb ve cc aynı işaretli olmak zorundadır. Son olarak, r≡0r \equiv 0 olduğundan b+c<0b + c < 0 ifadesi yanlıştır, yani b+c≥0b + c \ge 0 olmalıdır. bb ve cc aynı işaretli ve sıfırdan farklı olduklarından toplamlarının negatif olmaması ancak her ikisinin de pozitif olmasıyla mümkündür (b>0,c>0b > 0, c > 0). bb pozitif olduğuna göre zıt işaretli olan aa negatif olmalıdır (a<0a < 0). Buradan işaretler sırasıyla −,+,+-, +, + olarak bulunur.
Basit önermelerin doğruluk değerleri ve gerçel sayıların temel çarpma ve toplama özellikleri kullanılarak işaretler kesinleşir.

Anahtar Kavram

Koşullu önerme (ise bağlacı) ve veya bağlacının doğruluk değerlerinin gerçel sayılardaki işaret incelemesi ile ilişkilendirilmesi
Bu soruyu puanla

Konular

Önermeler ve Bağlaçlar

Bu konudan daha fazla soru