Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorÖnermeler ve Bağlaçlar

aa, bb ve cc sıfırdan farklı tam sayılar olmak ��zere,

pp: "a+ba + b toplamı çift sayıdır."
qq: "b⋅cb \cdot c çarpımı tek sayıdır."
rr: "a⋅ca \cdot c çarpımı çift sayıdır."

önermeleri veriliyor.

[(p⇒q)⇒(q∨r)][(p \Rightarrow q) \Rightarrow (q \lor r)]

bileşik önermesi yanlış olduğuna göre;

I. ab+ca^b + c
II. (a+c)⋅b(a + c) \cdot b
III. a⋅b+ca \cdot b + c

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

  1. A
    Yalnız I
  2. Yalnız IICevap
  3. C
    I ve II
  4. D
    I ve III
  5. E
    II ve III

Cevap

Yalnız II
Verilen bileşik önermenin yanlış olması, ise bağlacının kuralı gereği p⇒q≡1p \Rightarrow q \equiv 1 ve q∨r≡0q \lor r \equiv 0 olmasını gerektirir. q∨r≡0q \lor r \equiv 0 ise q≡0q \equiv 0 ve r≡0r \equiv 0 olmalıdır. q≡0q \equiv 0 olduğuna göre, p⇒q≡1p \Rightarrow q \equiv 1 koşulunun sağlanması için p≡0p \equiv 0 olmalıdır. Böylece pp, qq ve rr önermelerinin doğruluk değerleri sırasıyla 0,0,00, 0, 0 bulunur. Bu durum, a⋅ca \cdot c çarpımının tek (yani aa ve cc tek), a+ba + b toplamının tek (yani bb çift) olmasını gerektirir. aa ve cc tek ise toplamları a+ca+c çift bir sayıdır. Çift bir sayının başka bir tam sayı olan bb ile çarpımı çift olacağından (a+c)⋅b(a+c) \cdot b ifadesi her zaman çift bir sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşik önermenin doğruluk değerini analiz etmek
[(p⇒q)⇒(q∨r)]≡0[(p \Rightarrow q) \Rightarrow (q \lor r)] \equiv 0 ise ise bağlacının kuralından birinci kısım p⇒q≡1p \Rightarrow q \equiv 1 ve ikinci kısım q∨r≡0q \lor r \equiv 0 bulunur. Buradan q≡0q \equiv 0 ve r≡0r \equiv 0 elde edilir. q≡0q \equiv 0 değeri p⇒q≡1p \Rightarrow q \equiv 1 ifadesinde yerine yazılırsa p⇒0≡1p \Rightarrow 0 \equiv 1 olabilmesi için p≡0p \equiv 0 olmalıdır. Sonuç olarak p≡0p \equiv 0, q≡0q \equiv 0 ve r≡0r \equiv 0 bulunur.
pp, qq ve rr önermelerinin doğruluk değerlerini belirlemek için bileşik önermenin yapısı çözümlenir.
2
Önermelerin doğruluk değerlerini kullanarak sayıların teklik-çiftlik durumlarını belirlemek
r≡0r \equiv 0 olduğundan a⋅ca \cdot c tektir, yani aa ve cc tek sayılardır. p≡0p \equiv 0 olduğundan a+ba + b tektir. aa tek sayı olduğundan bb çift sayı olmak zorundadır. q≡0q \equiv 0 olduğundan b⋅cb \cdot c çifttir, bu durum bb çift sayı olduğundan doğrulanır. Sonuç olarak: aa tek, bb çift, cc tektir.
Soruda verilen ifadelerin değerlerini inceleyebilmek için değişkenlerin tek veya çift sayı karakterlerini saptamak gerekir.
3
Verilen I. ifadeyi (ab+ca^b + c) incelemek
bb sayısı sıfırdan farklı bir çift tam sayı olduğundan negatif olabilir (örneğin b=−2b = -2). Bu durumda aba^b rasyonel bir sayı olur ve tam sayı belirtmez, dolayısıyla bu ifadenin teklik veya çiftliği garanti edilemez.
Birinci ifadenin her zaman çift sayı belirtip belirtmediğini belirlemek.
4
Verilen II. ifadeyi ((a+c)⋅b(a + c) \cdot b) incelemek
aa ve cc tek sayılar olduğundan toplamları a+ca+c çift sayıdır. Çift bir sayının bir tam sayı olan bb ile çarpımı her zaman çift sayıdır. Dolayısıyla bu ifade her zaman çift sayıdır.
İkinci ifadenin her zaman çift sayı belirtip belirtmediğini belirlemek.
5
Verilen III. ifadeyi (a⋅b+ca \cdot b + c) incelemek
aa tek ve bb çift olduğundan çarpımları a⋅ba \cdot b çift sayıdır. Çift sayı ile tek sayı olan cc'nin toplamı tek sayıdır. Dolayısıyla bu ifade her zaman tek sayıdır.
Üçüncü ifadenin her zaman çift sayı belirtip belirtmediğini belirlemek.

Anahtar Kavram

Önermelerin doğruluk değerleri ve sayıların teklik-çiftlik özellikleri ile ilişkisi

Alternatif Yöntem

Önermelerin doğruluk değerlerini sırasıyla denemek yerine, doğruluk tablosu mantığı veya doğrudan mantıksal sadeleştirme kuralları kullanılarak p≡0p \equiv 0, q≡0q \equiv 0 ve r≡0r \equiv 0 sonuçlarına daha hızlı ulaşılabilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Önermeler ve Bağlaçlar

Bu konudan daha fazla soru