Önermeler ve Bağlaçlar Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

Soru 1Soru →

$p$ : " $0$ sayısı pozitif bir tam sayıdır."
$q$ : "Tek bir tam sayı ile çift bir tam sayının çarpımı tektir."
$r$ : "Her tam sayı bir rasyonel sayıdır."

önermeleri veriliyor.

Buna göre, aşağıdaki bileşik önermelerden hangisinin doğruluk değeri $1$ 'dir?

p \lor q

p \land r

q \Rightarrow p

r \Rightarrow q

p \Leftrightarrow r

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $q \Rightarrow p$

Cevap

q ise p bileşik önermesi

q önermesi yanlış (0) ve p önermesi yanlış (0) olduğundan, q ise p bileşik önermesi 0 ise 0 durumunu oluşturur. Koşullu önermenin tanımı gereği bu ifadenin doğruluk değeri 1'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen temel önermelerin doğruluk değerlerini belirleme

p önermesi yanlış olduğu için 0, q önermesi yanlış olduğu için 0, r önermesi doğru olduğu için 1 değerini alır.

Bileşik önermelerin doğruluk değerlerini bulmak için önce onları oluşturan basit önermelerin doğruluk değerlerini bulmalıyız.

2

Seçeneklerdeki bileşik önermelerin doğruluk değerlerini hesaplama

q ise p bileşik önermesi 0 ise 0 ifadesine denk gelir ve sonucu 1'dir.

İse bağlacında sadece 1 ise 0 durumu 0 sonucunu verir, diğer durumlarda sonuç 1'dir.

Anahtar Kavram

Önermeler ve Mantık Bağlaçları

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 2Soru →

$x$ ve $y$ gerçel sayıları için

$p: x \cdot y < 0$
$q: x + y > 0$
$r: x^2 > y^2$

önermeleri veriliyor.

(p \Rightarrow q) \lor (r \Rightarrow q)

bileşik önermesi yanlış olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman doğrudur?

x - y > 0

x \cdot (x + y) < 0

y \cdot (x + y) < 0

x^2 < y^2

x + y \geq 0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $y \cdot (x + y) < 0$

Cevap

y * (x + y) < 0 ifadesinin negatif olması her zaman doğrudur.

Bileşik önermenin yanlış olabilmesi için veya bağlacının her iki yanındaki ifadelerin de yanlış olması gerekir. Buradan

p \Rightarrow q \equiv 0

ve

r \Rightarrow q \equiv 0

elde edilir. Koşullu önermenin yanlış olduğu tek durum birincinin doğru, ikincinin yanlış olduğu durumdur. Dolayısıyla

p \equiv 1

,

r \equiv 1

ve

q \equiv 0

olmalıdır. Bu durumda

x \cdot y < 0

(zıt işaretli sayılar),

|x| > |y|

(x mutlak değerce y'den büyük) ve

x + y \leq 0

(toplamları sıfırdan küçük veya eşit) bulunur. Zıt işaretli iki sayının toplamı negatif ve mutlak değerleri farklı olduğuna göre, mutlak değerce büyük olan

x

negatif (

x < 0

),

y

ise pozitif (

y > 0

) olmalıdır. Ayrıca

x + y < 0

olduğu kesindir. Buradan pozitif olan

y

ile negatif olan

x + y

çarpıldığında sonuç daima negatif olacağından bu çarpımı içeren ifade her zaman doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Bileşik önermenin doğruluk değerlerini mantık kurallarına göre analiz etmek.

p \equiv 1

,

r \equiv 1

ve

q \equiv 0

doğruluk değerleri elde edilir.

Veya bağlacının yanlış olması için her iki tarafın da yanlış olması, ise bağlacının yanlış olması için ise ilk önermenin doğru, ikincisinin yanlış olması gerekir.

2

Önermelerin doğruluk değerlerini matematiksel eşitsizliklere dönüştürmek.

x \cdot y < 0

,

x^2 > y^2

ve

x + y \leq 0

eşitsizlikleri kurulur.

Önermelerin doğruluk değerleri, içerdikleri matematiksel ifadelerin doğru ya da yanlış olduğunu gösterir.

3

Eşitsizliklerden yararlanarak x ve y değişkenlerinin işaretlerini belirlemek.

x < 0

ve

y > 0

olduğu tespit edilir.

Zıt işaretli iki sayının toplamının negatif olabilmesi için mutlak değerce büyük olan sayının negatif olması gerekir.

4

Bulunan işaretler ve eşitsizlikler yardımıyla seçenekleri değerlendirmek.

y > 0

ve

x + y < 0

olduğundan bunların çarpımı daima negatif (

y(x+y) < 0

) olur.

Pozitif bir sayı ile negatif bir sayının çarpımı daima negatiftir.

Anahtar Kavram

Önermeler, mantık bağlaçları ve eşitsizlik sistemleri ile ilişkisi

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 3Soru →

$a$ , $b$ ve $c$ sıfırdan farklı tam sayılar olmak ��zere,

$p$ : " $a + b$ toplamı çift sayıdır."
$q$ : " $b \cdot c$ çarpımı tek sayıdır."
$r$ : " $a \cdot c$ çarpımı çift sayıdır."

önermeleri veriliyor.

[(p \Rightarrow q) \Rightarrow (q \lor r)]

bileşik önermesi yanlış olduğuna göre;

I. $a^b + c$
II. $(a + c) \cdot b$
III. $a \cdot b + c$

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

I ve III

II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız II

Cevap

Yalnız II

Verilen bileşik önermenin yanlış olması, ise bağlacının kuralı gereği

p \Rightarrow q \equiv 1

ve

q \lor r \equiv 0

olmasını gerektirir.

q \lor r \equiv 0

ise

q \equiv 0

ve

r \equiv 0

olmalıdır.

q \equiv 0

olduğuna göre,

p \Rightarrow q \equiv 1

koşulunun sağlanması için

p \equiv 0

olmalıdır. Böylece

p

,

q

ve

r

önermelerinin doğruluk değerleri sırasıyla

0, 0, 0

bulunur. Bu durum,

a \cdot c

çarpımının tek (yani

a

ve

c

tek),

a + b

toplamının tek (yani

b

çift) olmasını gerektirir.

a

ve

c

tek ise toplamları

a+c

çift bir sayıdır. Çift bir sayının başka bir tam sayı olan

b

ile çarpımı çift olacağından

(a+c) \cdot b

ifadesi her zaman çift bir sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Bileşik önermenin doğruluk değerini analiz etmek

[(p \Rightarrow q) \Rightarrow (q \lor r)] \equiv 0

ise ise bağlacının kuralından birinci kısım

p \Rightarrow q \equiv 1

ve ikinci kısım

q \lor r \equiv 0

bulunur. Buradan

q \equiv 0

ve

r \equiv 0

elde edilir.

q \equiv 0

değeri

p \Rightarrow q \equiv 1

ifadesinde yerine yazılırsa

p \Rightarrow 0 \equiv 1

olabilmesi için

p \equiv 0

olmalıdır. Sonuç olarak

p \equiv 0

,

q \equiv 0

ve

r \equiv 0

bulunur.

p

,

q

ve

r

önermelerinin doğruluk değerlerini belirlemek için bileşik önermenin yapısı çözümlenir.

2

Önermelerin doğruluk değerlerini kullanarak sayıların teklik-çiftlik durumlarını belirlemek

r \equiv 0

olduğundan

a \cdot c

tektir, yani

a

ve

c

tek sayılardır.

p \equiv 0

olduğundan

a + b

tektir.

a

tek sayı olduğundan

b

çift sayı olmak zorundadır.

q \equiv 0

olduğundan

b \cdot c

çifttir, bu durum

b

çift sayı olduğundan doğrulanır. Sonuç olarak:

a

tek,

b

çift,

c

tektir.

Soruda verilen ifadelerin değerlerini inceleyebilmek için değişkenlerin tek veya çift sayı karakterlerini saptamak gerekir.

3

Verilen I. ifadeyi (

a^b + c

) incelemek

b

sayısı sıfırdan farklı bir çift tam sayı olduğundan negatif olabilir (örneğin

b = -2

). Bu durumda

a^b

rasyonel bir sayı olur ve tam sayı belirtmez, dolayısıyla bu ifadenin teklik veya çiftliği garanti edilemez.

Birinci ifadenin her zaman çift sayı belirtip belirtmediğini belirlemek.

4

Verilen II. ifadeyi (

(a + c) \cdot b

) incelemek

a

ve

c

tek sayılar olduğundan toplamları

a+c

çift sayıdır. Çift bir sayının bir tam sayı olan

b

ile çarpımı her zaman çift sayıdır. Dolayısıyla bu ifade her zaman çift sayıdır.

İkinci ifadenin her zaman çift sayı belirtip belirtmediğini belirlemek.

5

Verilen III. ifadeyi (

a \cdot b + c

) incelemek

a

tek ve

b

çift olduğundan çarpımları

a \cdot b

çift sayıdır. Çift sayı ile tek sayı olan

c

'nin toplamı tek sayıdır. Dolayısıyla bu ifade her zaman tek sayıdır.

Üçüncü ifadenin her zaman çift sayı belirtip belirtmediğini belirlemek.

Anahtar Kavram

Önermelerin doğruluk değerleri ve sayıların teklik-çiftlik özellikleri ile ilişkisi

Alternatif Yöntem

Önermelerin doğruluk değerlerini sırasıyla denemek yerine, doğruluk tablosu mantığı veya doğrudan mantıksal sadeleştirme kuralları kullanılarak

p \equiv 0

,

q \equiv 0

ve

r \equiv 0

sonuçlarına daha hızlı ulaşılabilir.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 4Soru →

$p$ : " $3^3 = 9$ "
$q$ : " $-2$ sayısı bir doğal sayıdır."
$r$ : " $5$ sayısı bir tek sayıdır."

önermeleri veriliyor.

Buna göre, aşağıdaki bileşik önermelerden hangisinin doğruluk değeri $1$ 'dir?

p \lor q

p \land r

q \lor r'

(q \lor r)'

q' \land r

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $q' \land r$

Cevap

q' \land r

bileşik önermesi

q' \land r

ifadesinde,

q \equiv 0

olduğundan

q' \equiv 1

olur.

r \equiv 1

olduğundan,

1 \land 1 \equiv 1

elde edilir. Bu nedenle bu bileşik önerme doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Önermelerin doğruluk değerlerini belirleyin.

p \equiv 0

,

q \equiv 0

ve

r \equiv 1

3^3 = 27

olduğundan

p

önermesi yanlıştır (

p \equiv 0

).

-2

bir tam sayıdır ancak doğal sayı değildir, bu yüzden

q

önermesi yanlıştır (

q \equiv 0

).

5

sayısı ikiye tam bölünemediği için tek sayıdır, bu yüzden

r

önermesi doğrudur (

r \equiv 1

).

2

Doğru seçenekteki bileşik önermeyi değerlendirin.

q' \land r \equiv 1 \land 1 \equiv 1

q \equiv 0

ise değili

q' \equiv 1

olur.

r \equiv 1

olduğundan, bu iki önermenin 've' (

\land

) bağlacı ile birleşimi

1 \land 1 \equiv 1

doğruluk değerini verir.

Anahtar Kavram

Önermelerin doğruluk değerleri ve temel mantık bağlaçları (ve, veya, değili)

Tahmini Süre:45s

Soru 5Soru →

$x$ bir pozitif tam sayı olmak üzere,

$p$ : " $x$ bir çift sayıdır."
$q$ : " $x + 2$ bir asal sayıdır."

önermeleri veriliyor.

p \lor q

önermesi yanlış olduğuna göre, $x$ sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

4

5

7

8

9

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

p veya q önermesini yanlış yapan değer 7 sayısıdır.

7 sayısı için p önermesi yanlış (0) ve q önermesi de yanlış (0) olmaktadır. veya bağlacında her iki önerme de yanlış olduğunda sonuç yanlış (0) çıkacağı için 7 değeri p veya q önermesini yanlış yapar.

Adım Adım Çözüm

1

p veya q önermesinin yanlış (0) olabilmesi için gerekli koşulu belirleme.

p veya q önermesinin yanlış (0) olması için hem p önermesinin hem de q önermesinin yanlış (0) olması gerekir.

veya bağlacının doğruluk kurallarına göre, bileşik önermenin yanlış çıkması için tüm bileşenlerinin yanlış olması şarttır.

2

Seçeneklerdeki değerlerin önermeleri sağlama durumunu inceleme.

7 değeri için p: '7 bir çift sayıdır' önermesi yanlıştır (0). q: '7 + 2 = 9 bir asal sayıdır' önermesi de yanlıştır (0), çünkü 9 sayısı asal değildir.

Doğru seçeneği bulmak için seçeneklerdeki sayıların önermelerin doğruluk değerlerini nasıl etkilediğini test etmek gerekir.

3

Doğruluk değerlerini birleştirerek sonucu doğrulama.

x = 7 için p ve q önermeleri 0 olduğundan, p veya q önermesi 0 veya 0 yani 0 (yanlış) olur.

Bulunan sonucun sorudaki koşulu tam olarak sağladığından emin olmak.

Anahtar Kavram

veya bağlacının doğruluk tablosu ve asal sayı, tek-çift sayı kavramları

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 6Soru →

$p$ : " $\sqrt{5}$ sayısı rasyonel bir sayıdır."
$q$ : " $2^0$ sayısı çift bir say��dır."
$r$ : " $3$ sayısı asal bir sayıdır."

önermeleri veriliyor.

Buna göre, aşağıdaki bileşik önermelerden hangisinin doğruluk değeri $1$ 'dir?

r \Rightarrow (p \lor q)

(p \Leftrightarrow r) \land q'

(p \Rightarrow q) \Rightarrow (q \land r)

q \land (p \Rightarrow r)

(p \lor q) \Rightarrow (q \land r)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(p \lor q) \Rightarrow (q \land r)$

Cevap

Doğruluk değeri 1 olan bileşik önerme, önermelerin sırasıyla sıfır olduğu durumda ise bağlacı ile birbirine bağlandığı seçenektir.

Doğruluk değerleri yerlerine yazıldığında,

(p \lor q) \Rightarrow (q \land r)

önermesi

(0 \lor 0) \Rightarrow (0 \land 1) \equiv 0 \Rightarrow 0

haline gelir. İse bağlacının özelliğine göre sıfır ise sıfır önermesi 1'e denktir.

Adım Adım Çözüm

1

Önermelerin doğruluk değerlerini belirleyin.

p \equiv 0

,

q \equiv 0

ve

r \equiv 1

\sqrt{5}

irrasyonel bir sayıdır,

2^0 = 1

sayısı tektir ve

3

bir asal sayıdır.

2

Doğruluk değerlerini seçeneklerdeki önermelerde yerine yazarak kontrol edin.

Sadece

(p \lor q) \Rightarrow (q \land r)

önermesinin doğruluk değeri 1 olur.

(0 \lor 0) \Rightarrow (0 \land 1) \equiv 0 \Rightarrow 0 \equiv 1

denkliği sağlanır.

Anahtar Kavram

Bileşik önermelerin doğruluk değerlerini hesaplama

Soru 7Soru →

Sıfırdan farklı $a$ , $b$ ve $c$ gerçel sayıları için,

$p: a^3 \cdot b < 0$
$q: b^2 \cdot c > 0$
$r: a \cdot c > 0$

önermeleri veriliyor.

(p \land q) \Rightarrow r

önermesi yanlış olduğuna göre; $a$ , $b$ ve $c$ sayılarının işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

-, +, -

+, -, -

-, -, +

-, +, +

+, +, -

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-, +, +$

Cevap

Değişkenlerin işaretleri sırasıyla negatif, pozitif ve pozitif olmalıdır.

Koşullu önermenin doğruluk değerinin sıfır olmasından yola çıkılarak önermelerin doğruluk değerleri

p \equiv 1

,

q \equiv 1

ve

r \equiv 0

olarak bulunur. Bu doğruluk değerleri gerçel sayıların kuvvet ve çarpım kuralları ile birleştirildiğinde

a

negatif (

-

),

b

pozitif (

+

) ve

c

pozitif (

+

) olarak elde edilir. Bu durum sırasıyla negatif, pozitif ve pozitif seçeneğinde doğru verilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

Koşullu önermenin doğruluk değerini çözümlemek.

p \land q \equiv 1

ve

r \equiv 0

elde edilir.

Bir ise bağlacının (

A \Rightarrow B

) yanlış (

0

) olabilmesi için hipotezin doğru (

A \equiv 1

) ve hükmün yanlış (

B \equiv 0

) olması gerekir.

2

Bileşik önermenin bileşenlerinin doğruluk değerlerini belirlemek.

p \equiv 1

,

q \equiv 1

ve

r \equiv 0

bulunur.

Ve bağlacıyla bağlanan iki önermenin doğru (

1

) olması için her iki önermenin de ayrı ayrı doğru olması gerekir.

3

İkinci önerme yardımıyla son değişkenin işaretini belirlemek.

c > 0

(pozitif) olmalıdır.

b

sıfırdan farklı bir gerçel sayı olduğundan karesi daima pozitiftir (

b^2 > 0

).

b^2 \cdot c > 0

ifadesinin doğru (

q \equiv 1

) olması için

c

pozitif olmalıdır.

4

Üçüncü önermenin yanlışlığını kullanarak ilk değişkenin işaretini belirlemek.

a < 0

(negatif) olmalıdır.

r: a \cdot c > 0

önermesi yanlış (

0

) olduğuna göre,

a \cdot c \le 0

olmalıdır.

a

ve

c

sıfırdan farklı olduğundan

a \cdot c < 0

olmalıdır.

c > 0

olduğuna göre,

a

negatif olmalıdır.

5

İlk önerme yardımıyla ikinci değişkenin işaretini belirlemek.

b > 0

(pozitif) olmalıdır.

a < 0

olduğundan tek kuvveti de negatiftir (

a^3 < 0

).

p: a^3 \cdot b < 0

önermesinin doğru (

p \equiv 1

) olabilmesi için negatif bir sayı ile pozitif bir sayının çarpılması gerekir, bu yüzden

b

pozitif olmalıdır.

Anahtar Kavram

İse bağlacının yanlışlık durumu ve basit eşitsizlik kuralları yardımıyla gerçel sayıların işaret analizi.

Soru 8Soru →

$p$ : " $-2x < 6$ eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi $(-\infty, -3)$ aralığıdır."
$q$ : " $-4$ sayısı bir çift sayıdır."
$r$ : " $-2$ sayısı bir doğal sayıdır."

önermeleri veriliyor.

Buna göre, aşağıdaki bileşik önermelerden hangisinin doğruluk değeri $1$ 'dir?

(p \lor r) \Rightarrow q

p \Leftrightarrow q

q \Rightarrow r

q \Leftrightarrow r

p \lor r

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(p \lor r) \Rightarrow q$

Cevap

Parantez içindeki veya bağlacı içeren ifadenin sıfıra denk gelmesi ve ardından ise bağlacı ile doğru bir önermeye bağlanmasıyla elde edilen bileşik önerme

Mantık kurallarına göre, parantez içindeki veya bağlacı içeren ifadenin sıfıra denk gelmesi ve ardından ise bağlacı ile doğru bir önermeye bağlanmasıyla elde edilen bileşik önerme,

0 \Rightarrow 1 \equiv 1

denkliğini sağladığı için doğruluk değeri 1'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen basit önermelerin doğruluk değerlerini tek tek belirleyelim.

p \equiv 0

,

q \equiv 1

ve

r \equiv 0

-2x < 6

eşitsizliğinde her iki taraf

-2

ile bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir ve

x > -3

elde edilir. Bu yüzden en geniş çözüm kümesi

(-3, \infty)

aralığıdır ve

p

önermesi yanlıştır (

p \equiv 0

).

-4

sayısı

2

ile tam bölündüğü için bir çift sayıdır ve

q

önermesi doğrudur (

q \equiv 1

).

-2

sayısı negatif bir tam sayı olup doğal sayılar kümesinin elemanı değildir, bu yüzden

r

önermesi yanlıştır (

r \equiv 0

).

2

Doğru olan seçenekteki bileşik önermenin doğruluk değerini mantık bağlaçları kuralları ile hesaplayalım.

(p \lor r) \Rightarrow q \equiv 1

p \lor r \equiv 0 \lor 0 \equiv 0

olur. Bu durumda önermemiz

0 \Rightarrow 1

haline gelir. İse bağlacının kuralına göre

0 \Rightarrow 1 \equiv 1

olduğundan, bu bileşik önermenin doğruluk değeri 1'dir.

Anahtar Kavram

Önermelerin doğruluk değerleri ve mantık bağlaçlarının özellikleri

Soru 9Soru →

$p$ : " $2^3 + 1$ sayısı asal bir sayıdır."
$q$ : " $3^2 - 1$ sayısı çift bir sayıdır."
$r$ : " $(-2)^3$ sayısı negatif bir sayıdır."

önermeleri veriliyor.

Buna göre, aşağıdaki bileşik önermelerden hangisinin doğruluk değeri $1$ 'dir?

(p \land q) \lor r'

p \land (q \lor r)

(p \lor q) \land r

(p \lor r') \land q'

q' \lor (p \land r)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(p \lor q) \land r$

Cevap

(p \lor q) \land r

Verilen basit önermelerin doğruluk değerleri incelendiğinde;

2^3+1 = 9

asal olmadığından

p \equiv 0

,

3^2-1 = 8

çift olduğundan

q \equiv 1

,

(-2)^3 = -8

negatif olduğundan

r \equiv 1

olarak bulunur. Bu değerler doğru olan bileşik önermede yerine yazıldığında

(0 \lor 1) \land 1 \equiv 1 \land 1 \equiv 1

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Her bir önermenin doğruluk değerini belirleyin.

p \equiv 0

,

q \equiv 1

ve

r \equiv 1

2^3+1 = 9

sayısı asal değildir (3'e bölünür), bu yüzden

p \equiv 0

olur.

3^2-1 = 8

sayısı çift bir sayıdır, bu yüzden

q \equiv 1

olur.

(-2)^3 = -8

sayısı negatif bir sayıdır, bu yüzden

r \equiv 1

olur.

2

Bulunan doğruluk değerlerini seçeneklerdeki bileşik önermelerde yerine yazarak sonucu hesaplayın.

Doğru seçenekteki

(p \lor q) \land r

ifadesi için

(0 \lor 1) \land 1 \equiv 1 \land 1 \equiv 1

elde edilir.

Her bir seçenekteki mantıksal bağlaçların kurallarını uygulayarak doğruluk değerlerini karşılaştırmak.

Anahtar Kavram

Bileşik önermelerin doğruluk değerini bulma

Soru 10Soru →

Sıfıra eşit olmayan $a$ , $b$ ve $c$ tam sayıları için aşağıdaki önermeler tanımlanmıştır:

$p$ : " $a$ ve $b$ sayıları zıt işaretlidir."
$q$ : " $b$ ve $c$ sayıları aynı işaretlidir."
$r$ : " $a + c > 0$ "

((p' \Rightarrow q)' \lor (q \lor r')) \equiv 0

olduğuna göre; $a$ , $b$ ve $c$ tam sayılarının işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

+, +, -

+, -, -

+, -, +

-, -, +

-, +, -

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: +, -, +

Cevap

İşaretler sırasıyla +, -, + şeklindedir.

Bileşik önermenin doğruluk değeri 0 olduğuna göre, veya bağlacının özelliğinden dolayı her iki bileşenin de 0 olması gerekir. Buradan

((p' \Rightarrow q)' \equiv 0

ve

q \lor r' \equiv 0

elde edilir. İkinci kısımdan

q \equiv 0

ve

r' \equiv 0 \Rightarrow r \equiv 1

bulunur. Birinci kısımda ise

p' \Rightarrow q \equiv 1

olur.

q \equiv 0

olduğundan,

p' \Rightarrow 0 \equiv 1

ifadesinin doğru olması için

p' \equiv 0

yani

p \equiv 1

olmalıdır. Bulunan doğruluk değerlerine göre,

p

önermesi doğru olduğundan

a

ve

b

zıt işaretlidir.

q

önermesi yanlış olduğundan

b

ve

c

aynı işaretli değildir, yani zıt işaretlidir. Bu durumda

a

ve

c

aynı işaretli olur.

r

önermesi doğru olduğundan

a + c > 0

dır. Aynı işaretli iki sayının toplamı pozitif olduğundan hem

a

hem de

c

pozitif olmak zorundadır.

a

pozitif ve

b

ile zıt işaretli olduğundan

b

negatif olmalıdır. Dolayısıyla işaretler sırasıyla +, -, + şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1

Bileşik önermenin doğruluk değerini bileşenlerine ayırmak.

((p' \Rightarrow q)' \lor (q \lor r')) \equiv 0

ise veya (

\lor

) bağlacının kuralı gereği hem

(p' \Rightarrow q)' \equiv 0

hem de

q \lor r' \equiv 0

olmalıdır.

Veya bağlacıyla bağlanmış iki ifadenin sonucu ancak her iki bileşen de yanlış (0) olduğunda yanlış olur.

2

q

ve

r

önermelerinin doğruluk değerlerini bulmak.

q \lor r' \equiv 0

ifadesinden

q \equiv 0

ve

r' \equiv 0 \Rightarrow r \equiv 1

bulunur.

Veya bağlacının özelliğinden dolayı

q

ve

r'

sıfıra eşit olmalıdır, dolayısıyla

r

önermesi 1 olur.

3

p

önermesinin doğruluk değerini bulmak.

(p' \Rightarrow q)' \equiv 0 \Rightarrow p' \Rightarrow q \equiv 1

olur.

q \equiv 0

değerini yerine yazarsak

p' \Rightarrow 0 \equiv 1

elde edilir. İse bağlacının kuralına göre sonucun 1 olması için önermenin birinci kısmının 0 olması gerekir, yani

p' \equiv 0 \Rightarrow p \equiv 1

bulunur.

İse (

\Rightarrow

) bağlacında sonucun 1, ikinci bileşenin 0 olduğu tek durum, birinci bileşenin de 0 olması durumudur.

4

Önermelerin doğruluk değerlerini sayılarla ilişkilendirmek.

p \equiv 1

olduğundan

a

ve

b

zıt işaretlidir.

q \equiv 0

olduğundan

b

ve

c

aynı işaretli değildir, yani zıt işaretlidir. Bu durumda

a

ve

c

aynı işaretli olur.

Bulunan doğruluk değerleri (

p \equiv 1

,

q \equiv 0

) önermelerin sözel ifadeleriyle karşılaştırılarak sayıların işaret ilişkileri belirlenir.

5

a

,

b

ve

c

tam sayılarının kesin işaretlerini belirlemek.

r \equiv 1

olduğundan

a + c > 0

dır.

a

ve

c

aynı işaretli olduğundan ve toplamları pozitif olduğundan her ikisi de pozitif (

a > 0

,

c > 0

) olmalıdır.

a

pozitif ve

b

ile zıt işaretli olduğundan

b

negatif (

b < 0

) olur. Dolayısıyla işaretler sırasıyla +, -, + şeklindedir.

Aynı işaretli iki sayının toplamının pozitif olması, her iki sayının da pozitif olmasını gerektirir. Buradan hareketle tüm değişkenlerin işaretleri kesinleşir.

Anahtar Kavram

Bileşik önermelerin doğruluk değerlerinin çözümlenmesi ve bu değerlerin reel/tam sayı özellikleri ve eşitsizlikler ile ilişkilendirilmesi.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 11Soru →

$p$ : " $3 - 2 \cdot 5 = 5$ "
$q$ : " $-5$ sayısı bir tam sayıdır."
$r$ : "Her asal sayı bir tek sayıdır."

önermeleri veriliyor.

Buna göre;

I. $p \lor q$
II. $q \Rightarrow r$
III. $p \Leftrightarrow r$

bileşik önermelerinden hangilerinin doğruluk değeri 1'dir?

Yalnız I

I ve II

II ve III

I ve III

I, II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

I ve III

Doğruluk değeri 1 olan ifadeler I ve III'tür.

p

önermesi yanlış (

0

),

q

önermesi doğru (

1

) ve

r

önermesi yanlıştır (

0

). Bu değerler yerine yazıldığında, veya bağlacı içeren birinci ifade ile ancak ve ancak bağlacı içeren üçüncü ifade doğru çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen temel önermelerin doğruluk değerlerini belirleme

p \equiv 0

,

q \equiv 1

ve

r \equiv 0

olarak bulunur.

p

önermesinde işlem önceliğine göre önce çarpma yapılır:

3 - 10 = -7 \neq 5

olduğundan yanlıştır.

-5

bir tam sayı olduğundan

q

önermesi doğrudur. En küçük asal sayı olan

2

çift olduğundan

r

önermesi yanlıştır.

2

Bileşik önermelerin doğruluk değerlerini hesaplama

I. ifade 1, II. ifade 0, III. ifade 1 olarak bulunur.

I.

p \lor q \equiv 0 \lor 1 \equiv 1

olur. II.

q \Rightarrow r \equiv 1 \Rightarrow 0 \equiv 0

olur. III.

p \Leftrightarrow r \equiv 0 \Leftrightarrow 0 \equiv 1

olur.

3

Doğruluk değeri 1 olan ifadeleri seçme

I ve III numaralı ifadelerin doğruluk değerleri 1'dir.

Yapılan hesaplamalar sonucunda sadece I. ve III. önermelerin doğru olduğu görülür.

Anahtar Kavram

Temel önermelerin doğruluk değerlerini belirleme ve mantıksal bağlaçların kurallarını uygulama.

Tahmini Süre:1m 15s

Soru 12Soru →

Sıfırdan farklı $x, y$ ve $z$ gerçel sayıları için,

$p: x \cdot y > 0$
$q: x + z < 0$
$r: y \cdot z > 0$

önermeleri veriliyor.

(p \lor q) \Rightarrow (q \lor r)

önermesi yanlış olduğuna göre;

I. $x \cdot z < 0$
II. $x \cdot y > 0$
III. $x + z > 0$

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

I ve III

I, II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II

Bileşik önermenin yanlış olması için hipotezin doğru, hükmün yanlış olması gerekir. Buradan

p \lor q \equiv 1

ve

q \lor r \equiv 0

çıkar.

q \lor r \equiv 0

durumundan hem

q \equiv 0

hem de

r \equiv 0

bulunur. Bu değer

p \lor q \equiv 1

içinde yerine yazıldığında

p \equiv 1

elde edilir. Bu durumda

x \cdot y > 0

(yani

x

ve

y

aynı işaretli) ve

y \cdot z < 0

(yani

y

ve

z

zıt işaretli) olur. Dolayısıyla

x

ve

z

zıt işaretli olmalıdır, yani

x \cdot z < 0

her zaman doğrudur. Ayrıca

p \equiv 1

olduğundan

x \cdot y > 0

ifadesi her zaman doğrudur. Ancak

q \equiv 0

durumundan sadece

x + z \geq 0

sonucuna varılır;

x + z = 0

olabileceği için üçüncü ifade her zaman doğru değildir.

Adım Adım Çözüm

1

Bileşik önermenin doğruluk değerini çözümleyin.

(p \lor q) \Rightarrow (q \lor r) \equiv 0

olduğundan, ise bağlacının kuralı gereği

p \lor q \equiv 1

ve

q \lor r \equiv 0

olmalıdır.

Bir koşullu önermenin yanlış olması yalnızca ilk kısmın doğru ve ikinci kısmın yanlış olması durumunda mümkündür.

2

Bileşen önermelerin doğruluk değerlerini belirleyin.

q \lor r \equiv 0

olduğundan hem

q \equiv 0

hem de

r \equiv 0

olmalıdır.

q \equiv 0

değeri

p \lor q \equiv 1

ifadesinde yerine yazılırsa,

p \lor 0 \equiv 1

ve buradan

p \equiv 1

elde edilir.

Veya bağlacının sonucunun 0 olması için tüm bileşenlerinin 0 olması gerekir.

3

Önermelerin doğruluk değerlerini gerçel sayılar üzerindeki ifadelere uygulayın.

p \equiv 1 \Rightarrow x \cdot y > 0

(yani

x

ve

y

aynı işaretlidir).

r \equiv 0 \Rightarrow y \cdot z > 0

ifadesi yanlıştır. Sayılar sıfırdan farklı olduğu için

y \cdot z < 0

olmalıdır (yani

y

ve

z

zıt işaretlidir).

q \equiv 0 \Rightarrow x + z < 0

ifadesi yanlıştır, dolayısıyla

x + z \geq 0

olmalıdır.

Doğru önermelerin kendileri, yanlış önermelerin ise olumsuzları (negasyonları) matematiksel olarak sağlanmalıdır.

4

Öncülleri tek tek değerlendirin.

I.

x

ve

y

aynı işaretli,

y

ve

z

zıt işaretli olduğundan,

x

ve

z

zıt işaretli olmak zorundadır. Dolayısıyla

x \cdot z < 0

her zaman doğrudur.
II.

p \equiv 1

olduğundan

x \cdot y > 0

ifadesi doğrudan doğrudur.
III.

q \equiv 0

olduğundan

x + z \geq 0

elde edilir. Ancak

x + z = 0

durumu da mümkündür (örneğin

x = 2, y = 2, z = -2

için tüm koşullar sağlanır ve

x+z=0

olur). Bu nedenle

x + z > 0

ifadesi her zaman doğru değildir.

Elde edilen işaret ve eşitsizlik ilişkilerini kullanarak her bir yargının kesinliğini kontrol etmek gerekir.

Anahtar Kavram

Koşullu önermelerin ve veya bağlacının doğruluk değerlerinin analizi ile eşitsizliklerin olumsuzunun gerçel sayılarda yorumlanması.

Soru 13Soru →

$a, b$ ve $c$ pozitif tam sayıları için

$p: a + b$ toplamı tektir.
$q: b \cdot c$ çarpımı çifttir.
$r: a \cdot c$ çarpımı tektir.

önermeleri veriliyor.

(p \land q) \Rightarrow r

bileşik önermesi yanlış olduğuna göre;

I. $a + b + c$ toplamı tektir.
II. $a \cdot b$ çarpımı çifttir.
III. $b + c$ toplamı çifttir.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

Yalnız I

Yaln��z II

I ve II

I ve III

II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II

I ve II ifadelerinin yer aldığı seçenek doğrudur. Çünkü her iki olası teklik-çiftlik durumunda da

a+b+c

toplamı tek ve

a \cdot b

çarpımı çift olmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Bileşik önermenin doğruluk değerini ��özümlemek.

(p \land q) \Rightarrow r \equiv 0

olduğundan, ise (

\Rightarrow

) bağlacının özelliğine göre ön bileşen

p \land q \equiv 1

ve art bileşen

r \equiv 0

olmalıdır. Buradan

p \equiv 1

,

q \equiv 1

ve

r \equiv 0

elde edilir.

Verilen bileşik önermenin yanlış olduğu bilgisi kullanılarak temel önermelerin (

p, q, r

) doğruluk de��erlerini belirlemek.

2

Doğruluk değerlerini sayısal özelliklere (teklik-çiftlik durumlarına) tercüme etmek.

-

p \equiv 1 \Rightarrow a + b

toplamı tektir. Bu durum

a

ve

b

sayılarından birinin tek, diğerinin çift olmasını gerektirir.
-

q \equiv 1 \Rightarrow b \cdot c

çarpımı çifttir. Bu durum

b

veya

c

sayılarından en az birinin çift olmasını gerektirir.
-

r \equiv 0 \Rightarrow a \cdot c

çarpımı çifttir (çünkü

a \cdot c

tektir önermesi yanlıştır). Bu durum

a

veya

c

sayılarından en az birinin çift olmasını gerektirir.

Mantıksal sonuçları matematiksel teklik ve çiftlik koşullarına dönüştürmek.

3

Elde edilen teklik-çiftlik koşullarını sağlayan durum analizini yapmak.

İki olası durum vardır:
1. Durum:

a

tek ve

b

çift olsun.

b

çift olduğundan

b \cdot c

çarpımı çifttir (

q \equiv 1

sağlanır).

a \cdot c

çarpımının çift olması (

r \equiv 0

) için

a

tek olduğundan

c

çift olmalıdır. Buradan

(a, b, c) = (\text{Tek}, \text{Çift}, \text{Çift})

bulunur.
2. Durum:

a

çift ve

b

tek olsun.

b \cdot c

çarpımının çift olması (

q \equiv 1

) için

b

tek olduğundan

c

çift olmalıdır.

a

çift olduğundan

a \cdot c

çarpımı otomatikman çift olur (

r \equiv 0

sağlanır). Buradan

(a, b, c) = (\text{Çift}, \text{Tek}, \text{Çift})

bulunur. Her iki durumda da

c

çift sayıdır ve

a

ile

b

sayılarından biri tek, diğeri çifttir.

Değişkenlerin alabileceği tüm teklik-çiftlik kombinasyonlarını belirlemek.

4

Öncülleri (I, II ve III) her iki durum için test etmek.

- I.

a + b + c

toplamı: Bir tek ve iki çift sayının toplamı her zaman tektir. (Her zaman doğru)
- II.

a \cdot b

çarpımı:

a

ve

b

sayılarından biri çift olduğundan çarpımları her zaman çifttir. (Her zaman doğru)
- III.

b + c

toplamı: 1. durumda

\text{Çift} + \text{Çift} = \text{Çift}

iken 2. durumda

\text{Tek} + \text{Çift} = \text{Tek}

olur. (Her zaman doğru değil)

Hangi ifadelerin her iki durumda da her zaman doğru olduğunu saptamak.

Anahtar Kavram

Bileşik önermelerin doğruluk değerleri ile tam sayıların teklik-çiftlik özelliklerinin birlikte analiz edilmesi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 14Soru →

$x, y$ ve $z$ pozitif tam sayılar olmak üzere,

$p: x \cdot y + z$ sayısı tektir.

$q: x + y$ sayısı çifttir.

$r: y \cdot z$ sayısı çifttir.

önermeleri veriliyor.

(p \land q') \lor r

bileşik önermesi yanlış olduğuna göre; I, II ve III ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

I. $x + y + z$ toplamı tektir.
II. $x \cdot y \cdot z$ çarpımı çifttir.
III. $x^y + z$ toplamı çifttir.

Yalnız I

Yalnız III

I ve II

I ve III

II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

I ve III ifadeleri her zaman doğrudur.

Verilen bileşik önermenin yanlış olması için

r \equiv 0

ve

p \land q' \equiv 0

olmalıdır.

r \equiv 0

olmasından

y

ve

z

sayılarının tek olduğu bulunur.

p \land q' \equiv 0

durumunda

x

çift olsaydı çelişki oluşacağından

x

sayısının da tek olduğu belirlenir.

x

,

y

ve

z

tek sayılar olduğuna göre, üçünün toplamı tek (I. ifade doğru), çarpımları tek (II. ifade yanlış) ve

x^y + z

toplamı çift (III. ifade doğru) olur. Bu durumda doğru yanıt birinci ve üçüncü ifadeleri içeren seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1

Bileşik önermenin doğruluk değerini çözümleme

r \equiv 0

ve

p \land q' \equiv 0

elde edilir.

Veya (

\lor

) bağlacı ile bağlanan iki ifadenin sonucu yanlış (

0

) ise, her iki bileşenin de yanlış olması gerekir. Dolayısıyla,

r \equiv 0

ve

p \land q' \equiv 0

olmalıdır.

2

y

ve

z

sayılarının teklik-çiftlik durumunu belirleme

y

ve

z

sayılarının her ikisi de tek sayıdır.

r: y \cdot z

çifttir önermesi yanlış olduğuna göre (

r \equiv 0

),

y \cdot z

çarpımı tek sayı olmalıdır. İki tam sayının çarpımının tek olması için her ikisinin de tek sayı olması gerekir.

3

x

sayısının teklik-çiftlik durumunu belirleme

x

sayısı tek sayıdır.

p \land q' \equiv 0

olmalıdır. Eğer

x

çift olsaydı:

q: x + y

toplamı çift + tek = tek olacağından

q \equiv 0

ve

q' \equiv 1

olurdu. Bu durumda

p: x \cdot y + z

ifadesi çift

\cdot

tek + tek = çift + tek = tek olacağından

p \equiv 1

olurdu. Buradan

p \land q' \equiv 1 \land 1 \equiv 1

çelişkisi doğardı. Dolayısıyla

x

tek olmalıdır.

x

tek olduğunda,

q: tek + tek = çift \implies q \equiv 1 \implies q' \equiv 0

olur ve

p \land q' \equiv 0

koşulu sağlanır.

4

Öncülleri tek tek değerlendirme

I ve III. öncüller doğru, II. öncül yanlıştır.

x

,

y

ve

z

sayılarının tamamı tek sayıdır. Buna göre:
I.

x + y + z = tek + tek + tek = tek

(Doğru)
II.

x \cdot y \cdot z = tek \cdot tek \cdot tek = tek

(Çift değildir, Yanlış)
III.

x

tek ve

y

pozitif tam sayı olduğundan

x^y

tektir.

x^y + z = tek + tek = çift

(Doğru)

Anahtar Kavram

Bileşik önermelerin doğruluk değerleri ve sayıların teklik-çiftlik özellikleri arasındaki mantıksal ilişki

Soru 15Soru →

Her biri sıfırdan farklı olan

x

ve

y

gerçel sayıları için

\begin{aligned} p&: x \cdot y < 0 \\ q&: x + y > 0 \\ r&: |x| > |y| \end{aligned}

önermeleri tanımlanıyor.

$(p \wedge r) \Rightarrow q$ önermesi yanlış olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman pozitiftir?

y - x

x - y

x + y

y^2 - x^2

x \cdot (y - x)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $y - x$

Cevap

y - x ifadesi her zaman pozitiftir.

Doğru seçenek olan 'y - x' ifadesidir. Koşullu önermenin yanlış olmasından yola çıkılarak

x < 0

ve

y > 0

elde edilir. Pozitif bir sayıdan negatif bir sayı çıkarıldığında sonuç daima pozitif olur.

Adım Adım Çözüm

1

Koşullu önermenin doğruluk değerini analiz etme

p \wedge r \equiv 1

ve

q \equiv 0

olmalıdır.

A \Rightarrow B

önermesinin yanlış (

0

) olması için tek durum hipotezin doğru (

1

) ve hükmün yanlış (

0

) olmasıdır.

2

p

ve

r

önermelerinin doğruluk değerlerinden çıkarım yapma

x \cdot y < 0

ve

|x| > |y|

'dir.

Ve (

\wedge

) bağlacıyla bağlı

p \wedge r

bileşik önermesi doğru ise bileşenlerin her ikisi de doğru olmak zorundadır.

3

q

önermesinin yanlış olmasını ve sayıların işaretlerini değerlendirme

x + y < 0

olmalıdır.

q

önermesi yanlış olduğundan

x + y \leq 0

olur. Sayıların mutlak değerleri farklı (

|x| > |y|

) olduğundan toplamları sıfır olamaz.

4

x

ve

y

'nin işaretlerini belirleyip seçenekleri test etme

x < 0

ve

y > 0

bulunur. Bu durumda

y - x

daima pozitiftir.

Zıt işaretli iki sayının toplamı negatif ise mutlak değerce büyük olan sayı negatiftir. Buradan

x < 0

ve

y > 0

bulunur.

Anahtar Kavram

Koşullu önermenin doğruluk değeri, bileşik önermeler ve bağlaçların özellikleri.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 16Soru →

$a$ , $b$ ve $c$ sıfırdan farklı gerçel sayıları için,

$p: a \cdot b > 0$
$q: b \cdot c < 0$
$r: a + c = 0$

önermeleri veriliyor.

Buna göre, $(p \Rightarrow q) \vee r$ önermesi yanlış olduğuna göre; $a$ , $b$ ve $c$ sayılarının işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisi olabilir?

+, +, -

-, +, -

+, -, +

-, -, -

+, -, -

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -, -, -

Cevap

a, b ve c sayılarının işaretleri sırasıyla -, -, - olmalıdır.

Verilen bileşik önermenin yanlış olabilmesi için veya bağlacı ile bağlanan her iki ifadenin de yanlış olması gerekir. Buradan

p \Rightarrow q

önermesinin yanlış ve

r

önermesinin yanlış olduğu görülür. Bir ise bağlacının yanlış olabilmesi için ilk önermenin doğru, ikinci önermenin ise yanlış olması gerekir. Bu durumda

p

doğru,

q

ise yanlış olur. Önermelerin tanımlarına göre

a \cdot b > 0

doğru olduğundan a ile b aynı işaretli,

b \cdot c < 0

yanlış olduğundan b ile c aynı işaretlidir. Dolayısıyla a, b ve c sayılarının üçünün de işareti aynı olmalıdır. Seçeneklerde üç sayının da aynı işaretli olduğu tek durum olan tüm sayıların negatif olduğu seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Bileşik önermenin doğruluk değerini analiz etme

(p \Rightarrow q) \vee r \equiv 0

olduğundan, veya bağlacının özelliğinden

p \Rightarrow q \equiv 0

ve

r \equiv 0

olmalıdır.

Veya bağlacı içeren bir bileşik önermenin yanlış olabilmesi için her iki bileşenin de yanlış olması gerekir.

2

Koşullu önermenin bileşenlerini belirleme

p \Rightarrow q \equiv 0

olduğundan, ise bağlacının özelliğinden

p \equiv 1

ve

q \equiv 0

olmalıdır.

İse bağlacının sonucunun yanlış olduğu tek durum, ilk önermenin doğru ve ikinci önermenin yanlış olması durumudur.

3

Temel önermelerin doğruluk değerlerine göre işaret analizi yapma

p \equiv 1 \Rightarrow a \cdot b > 0

(a ve b aynı işaretli)

q \equiv 0 \Rightarrow b \cdot c \ge 0

, sayılar sıfırdan farklı olduğu için

b \cdot c > 0

(b ve c aynı işaretli)

r \equiv 0 \Rightarrow a + c \neq 0

Önermelerin doğruluk değerleri gerçel sayıların işaret kuralları ile eşleştirilir.

4

Bulunan işaret ilişkilerini birleştirme

a ile b aynı işaretli ve b ile c aynı işaretli olduğundan; a, b ve c sayılarının üçü de aynı işaretli olmalıdır. Yani işaretler ya (+, +, +) ya da (-, -, -) olmalıdır. Üç sayı da sıfırdan farklı ve aynı işaretli olduğundan, toplamları sıfıra eşit olamaz (

a + c \neq 0

koşulu sağlanır). Seçeneklerde bu duruma uygun olan tek üçlü (-, -, -) şeklindedir.

Tüm koşulları aynı anda sağlayan ortak işaret durumları belirlenir.

Anahtar Kavram

Koşullu ve veya bağlaçlarının doğruluk değerleri ile gerçel sayıların işaret özellikleri arasındaki ilişki

Soru 17Soru →

a, b

ve

c

birer tam sayı olmak üzere,

\begin{aligned} p&: a \cdot b \text{ çift sayıdır.} \\ q&: b + c \text{ tek sayıdır.} \\\ r&: a + c \text{ tek sayıdır.} \end{aligned}

önermeleri veriliyor.

(p \Rightarrow q) \lor r

bileşik önermesinin doğruluk değeri

0

olduğuna göre;

I. $a + b$ çift sayıdır.
II. $a \cdot c$ tek sayıdır.
III. $b - c$ çift sayıdır.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

I ve III

I, II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

I ve III ifadeleri her zaman doğrudur.

Verilen bileşik önerme ancak ve ancak bileşenlerinin her ikisi de yanlış olduğunda 0 değerini alan bir veya bağlacı içerir. Buradan

p \Rightarrow q

ifadesinin 0 ve

r

ifadesinin 0 olduğu görülür. İse bağlacının 0 olması için ise ilk önermenin doğru, ikincinin yanlış olması gerekir. Bu durumda

p

doğru (1),

q

yanlış (0) ve

r

yanlış (0) olur. Buna göre

b+c

ve

a+c

toplamları çift,

a \cdot b

çarpımı ise çifttir. Toplamlarının çift olması

a

,

b

ve

c

sayılarının aynı türden (hepsi tek ya da hepsi çift) olduğunu gösterir. Çarpımları çift olduğuna göre bu sayıların tamamı çift olmalıdır. Buradan hareketle çift sayıların toplamı ve farkı çift olduğundan birinci ve üçüncü ifadelerin doğru, çarpımları çift olacağından ikinci ifadenin yanlış olduğu belirlenir.

Adım Adım Çözüm

1

Bileşik önermenin doğruluk değerinden bileşenlerin doğruluk değerlerini belirlemek.

p \Rightarrow q \equiv 0

ve

r \equiv 0

bulunur. Buradan da

p \equiv 1

,

q \equiv 0

ve

r \equiv 0

elde edilir.

Veya bağlacının sonucu 0 ise her iki bileşen de 0 olmalıdır. İse bağlacının sonucu 0 ise birinci bileşen 1, ikinci bileşen 0 olmalıdır.

2

p

,

q

ve

r

önermelerinin doğruluk değerlerine göre değişkenlerin teklik-çiftlik durumlarını incelemek.

q \equiv 0

olduğundan

b+c

çift,

r \equiv 0

olduğundan

a+c

çifttir. Bu durum

a

,

b

ve

c

sayılarının üçünün de aynı teklik-çiftlik karakterine sahip olduğunu gösterir.

p \equiv 1

olduğundan

a \cdot b

çift olmalıdır. Dolayısıyla

a

,

b

ve

c

sayılarının tamamı çift sayıdır.

Üç sayı da tek olsaydı çarpımları tek olurdu ve bu durum

p \equiv 1

ile çelişirdi. Bu sebeple tüm değişkenler çift olmak zorundadır.

3

Elde edilen sonuçlara göre verilen ifadelerin doğruluk durumlarını denetlemek.

a

ve

b

çift olduğundan

a+b

çifttir (I doğru).

a

ve

c

çift olduğundan

a \cdot c

çifttir, tek değildir (II yanlış).

b

ve

c

çift olduğundan

b-c

çifttir (III doğru).

Çift sayıların toplamı ve farkı her zaman çift sayıdır.

Anahtar Kavram

Bileşik önermelerin doğruluk değerlerinin mantıksal bağlaçlar yardımıyla bulunması ve bu değerlerin temel matematiksel özelliklerle ilişkilendirilmesi.

Soru 18Soru →

x ve y gerçel sayıları için

* $p: x < y$
* $q: x \\cdot y < 0$
* $r: x + y > 0$

önermeleri veriliyor.

$(p \\land q) \\Rightarrow r$ önermesi yanlış olduğuna göre, a��ağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?

x^2 > y^2

x + y < 0

x^2 \\ge y^2

x - y > 0

y^2 > x^2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $x^2 \\ge y^2$

Cevap

Karesel ilişkide

x^2 \\ge y^2

eşitsizliği her zaman doğrudur.

Mantıksal çözümlemeden elde edilen

x < 0

,

y > 0

ve

x + y \\le 0

koşulları

y \\le -x

eşitsizliğini gerektirir. Her iki tarafın karesi alındığında karesel ilişkideki büyük veya eşit olma durumu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Bileşik önermenin doğruluk değerini çözümleme

p \\land q \\equiv 1

ve

r \\equiv 0

elde edilir.

İse bağlacının yanlış (0) çıkması için hipotezin doğru, hükmün yanlış olması gerekir.

2

Bileşen önermelerin doğruluk değerlerini belirleme

x < 0

ve

y > 0

bulunur.

p \\land q \\equiv 1

olduğundan

p \\equiv 1

ve

q \\equiv 1

olmalıdır. Buradan

x < y

ve

x \\cdot y < 0

elde edilir, bu da zıt işaretli olmalarını gerektirir.

3

Bulunan koşulları birleştirerek eşitsizliği çözme

x^2 \\ge y^2

eşitsizliğine ulaşılır.

r \\equiv 0

olduğundan

x + y \\le 0 \\implies y \\le -x

olur.

y > 0

ve

-x > 0

olduğundan her iki tarafın karesi alındığında

y^2 \\le x^2

yani

x^2 \\ge y^2

elde edilir.

Anahtar Kavram

Bileşik önermelerin doğruluk değerleri ve mantıksal bağlaçların gerçel sayı eşitsizlikleriyle ilişkisi

Soru 19Soru →

a, b

ve

c

birer tam sayı olmak üzere,

\begin{aligned} p&: a + b \text{ toplamı çift sayıdır.} \\ q&: b + c \text{ toplamı tek sayıdır.} \\ r&: a \cdot c \text{ çarpımı tek sayıdır.} \end{aligned}

önermeleri veriliyor.

$(p \land q) \Rightarrow r$ önermesi yanlış olduğuna göre,

I. $a + c$ toplamı tek sayıdır.
II. $b \cdot c$ çarpımı çift sayıdır.
III. $a + b + c$ toplamı çift sayıdır.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

I ve III

I, II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II

Verilen koşullu önermenin yanlış olması için ön bileşenin doğru, art bileşenin ise yanlış olması gerekir. Buradan

p \equiv 1

,

q \equiv 1

ve

r \equiv 0

elde edilir.

a+b

çift olduğundan

a

ve

b

aynı karakterdedir.

b+c

tek olduğundan

b

ve

c

zıt karakterdedir. Dolayısıyla

a

ve

c

de zıt karakterde olur. Bu durumda, zıt karakterdeki iki tam sayının toplamı her zaman tek, biri çift olmak zorunda olduğundan çarpımları her zaman çift olur. Dolayısıyla birinci ve ikinci ifadeler her zaman doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Koşullu önermenin doğruluk değerini analiz etme

p \equiv 1

,

q \equiv 1

ve

r \equiv 0

(p \land q) \Rightarrow r \equiv 0

ise ise bağlacının özelliğinden dolayı hipotez doğru (

p \land q \equiv 1

), hüküm yanlı�� (

r \equiv 0

) olmalıdır.

p \land q \equiv 1

ise hem

p \equiv 1

hem de

q \equiv 1

olmalıdır.

2

Önermelerin doğruluk değerlerine g��re sayıların teklik-çiftlik durumlarını belirleme

a

ile

b

aynı teklik-çiftlik karakterine sahip,

c

ise bunlardan farklı karakterdedir.

p \equiv 1

olduğundan

a+b

çifttir, yani

a

ve

b

aynı karakterdedir (ikisi de çift veya ikisi de tek).

q \equiv 1

olduğundan

b+c

tektir, yani

b

ve

c

zıt karakterdedir. Bu durumda

a

ile

c

de zıt karakterde olur.

r \equiv 0

olduğundan

a \cdot c

çift sayıdır, bu da

a

ve

c

'den en az birinin çift olduğunu gösterir ki zıt karakterde oldukları için bu durum her zaman sağlanır.

3

Öncülleri teker teker değerlendirme

I. ve II. ifadeler her zaman doğrudur, III. ifade ise her zaman doğru değildir.

I.

a

ve

c

zıt karakterde olduğundan toplamları (

a+c

) her zaman tektir (Doğru). II.

b

ve

c

zıt karakterde olduğundan biri kesinlikle çift sayıdır, dolayısıyla çarpımları (

b \cdot c

) her zaman çifttir (Doğru). III.

a

ve

b

çift,

c

tek ise toplam tek olur;

a

ve

b

tek,

c

çift ise toplam çift olur, dolayısıyla her zaman doğru değildir.

Anahtar Kavram

Koşullu önermenin doğruluk değeri ve tam sayıların teklik-çiftlik durumları ile ilişkilendirilmesi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 20Soru →

a, b

ve

c

sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,

\begin{aligned} p&: a \cdot b < 0 \\ q&: a \cdot c > 0 \\ r&: b + c < 0 \end{aligned}

önermeleri veriliyor.

(p \Rightarrow q) \lor (q' \Rightarrow r)

önermesi yanlış olduğuna göre;

a, b

ve

c

sayılarının işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

+, -, +

-, +, +

-, +, -

+, -, -

-, -, +

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -, +, +

Cevap

Sırasıyla negatif, pozitif, pozitif

Bileşik önermenin doğruluk değerinin 0 olmasından hareketle

p \equiv 1

,

q \equiv 0

ve

r \equiv 0

olarak bulunur. Bu değerler

a

,

b

ve

c

sayılarının çarpım ve toplam özellikleri ile eşleştirildiğinde sırasıyla negatif, pozitif, pozitif işaretleri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Bileşik önermenin doğruluk değerini analiz etmek.

(p \Rightarrow q) \lor (q' \Rightarrow r) \equiv 0

olduğuna göre, veya bağlacının özelliğinden hem

p \Rightarrow q \equiv 0

hem de

q' \Rightarrow r \equiv 0

olmalıdır.

Veya (\lor) bağlacıyla bağlanan iki ifadenin sonucu yalnızca her iki bileşen de yanlış (0) olduğunda yanlış olur.

2

Bileşenlerden hareketle p, q ve r önermelerinin doğruluk değerlerini bulmak.

p \Rightarrow q \equiv 0

olduğundan ise (\Rightarrow) bağlacının kuralı gereği

p \equiv 1

ve

q \equiv 0

olmalıdır. Benzer şekilde,

q' \Rightarrow r \equiv 0

ifadesinden

q' \equiv 1

ve

r \equiv 0

bulunur (

q' \equiv 1

olması

q \equiv 0

olmasıyla tutarlıdır). Sonuç olarak

p \equiv 1

,

q \equiv 0

ve

r \equiv 0

doğruluk değerleri elde edilir.

İse (\Rightarrow) bağlacının sonucunun 0 olması, yalnızca birinci önermenin 1, ikinci önermenin 0 olması durumunda gerçekleşir.

3

Belirlenen doğruluk değerlerine göre a, b ve c sayılarının işaretlerini tespit etmek.

p \equiv 1

olduğundan

a \cdot b < 0

ifadesi doğrudur, yani

a

ve

b

zıt işaretlidir.

q \equiv 0

olduğundan

a \cdot c > 0

ifadesi yanlıştır; sayılar sıfırdan farklı olduğu için

a \cdot c < 0

olmalıdır, yani

a

ve

c

zıt işaretlidir.

a

sayısı hem

b

hem de

c

ile zıt işaretli olduğundan,

b

ve

c

aynı işaretli olmak zorundadır. Son olarak,

r \equiv 0

olduğundan

b + c < 0

ifadesi yanlıştır, yani

b + c \ge 0

olmalıdır.

b

ve

c

aynı işaretli ve sıfırdan farklı olduklarından toplamlarının negatif olmaması ancak her ikisinin de pozitif olmasıyla mümkündür (

b > 0, c > 0

).

b

pozitif olduğuna göre zıt işaretli olan

a

negatif olmalıdır (

a < 0

). Buradan işaretler sırasıyla

-, +, +

olarak bulunur.

Basit önermelerin doğruluk değerleri ve gerçel sayıların temel çarpma ve toplama özellikleri kullanılarak işaretler kesinleşir.

Anahtar Kavram

Koşullu önerme (ise bağlacı) ve veya bağlacının doğruluk değerlerinin gerçel sayılardaki işaret incelemesi ile ilişkilendirilmesi

Önermeler ve Bağlaçlar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm