Examkin

Soru

Zorluk: ZorFaktöriyel Kavramı
aa, bb ve cc pozitif tam sayılardır.
a!+b!=2c⋅32a! + b! = 2^c \cdot 3^2
olduğuna göre, a+b+ca + b + c toplam�� kaçtır?
  1. A
    11
  2. B
    12
  3. 13Cevap
  4. D
    14
  5. E
    15

Cevap

a + b + c toplamının değeri 13'tür.
Denklemi sağlayan pozitif tam sayı ikilileri incelendiğinde, a!+b!a! + b! toplamının asal çarpanlarının yalnızca 2 ve 3 olabileceği görülür. Bu durum en az bir değişkenin 5'ten küçük olmasını gerektirir. Yapılan analiz sonucunda tek çözümün {a, b} = {4, 5} ve c = 4 olduğu bulunur. Bu değerlerin toplamı 13'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin sağ tarafındaki ifadenin asal çarpanlarının belirlenmesi
2c⋅32=9⋅2c2^c \cdot 3^2 = 9 \cdot 2^c ifadesinin asal çarpanları yalnızca 2 ve 3'tür. Dolayısıyla, sol taraftaki a!+b!a! + b! ifadesinin 5 veya daha büyük bir asal böleni olamaz.
Eşitliğin her iki tarafının asal çarpanlarının aynı olması gerekmektedir.
2
a ve b değerlerinin aralığının analiz edilmesi
Eğer a≥5a \ge 5 ve b≥5b \ge 5 olsaydı, her iki faktöriyel terimi de 5 ile tam bölüneceğinden toplamları da 5 ile tam bölünürdü. Bu durumda en az bir terim 5'ten küçük olmalıdır. Genelliği bozmadan a≤ba \le b alırsak, a<5a < 5 olmalıdır.
Sol tarafta 5 asal çarpanının bulunmasını engellemek için.
3
a'nın 5'ten küçük değerleri için durum analizi yapılması
a=4a = 4 için 4!+b!=24+b!=9⋅2c4! + b! = 24 + b! = 9 \cdot 2^c elde edilir. Burada b=5b = 5 seçildiğinde 24+120=14424 + 120 = 144 olur. 144=9⋅16=32⋅24144 = 9 \cdot 16 = 3^2 \cdot 2^4 eşitliği sağlar. Diğer a değerleri için uygun tam sayı çözümü bulunmaz.
Denklemin sol tarafını sağlayan uygun b ve c değerlerini bulmak için.
4
Bulunan değerler yardımıyla istenen toplamın hesaplanması
a=4a = 4, b=5b = 5 (veya a=5a = 5, b=4b = 4) ve c=4c = 4 elde edilir. Toplamları 4+5+4=134 + 5 + 4 = 13 olarak bulunur.
İstenen a + b + c toplamına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Faktöriyel Kavramı ve Asal Çarpan Analizi
Bu soruyu puanla

Konular

Faktöriyel Kavramı

Bu konudan daha fazla soru