Examkin

Soru

Zorluk: OrtaMutlak Değer Kavramı ve Özellikleri
a, b ve c sıfırdan farklı gerçel sayıları için,
∣a∣<b|a| < b
∣b∣<−c|b| < -c
eşitsizlikleri sağlanmaktadır.
Buna göre,
∣a+c∣−∣b+c∣a−b\frac{|a + c| - |b + c|}{a - b}
ifadesinin değeri kaçtır?
  1. A
    -2
  2. -1Cevap
  3. C
    0
  4. D
    1
  5. E
    2

Cevap

-1 değeri
Doğru cevap olan -1 değerine ulaşmak için değişkenlerin işaret analizi doğru yapılmalıdır. ∣a∣<b|a| < b ifadesinden b>0b > 0 ve ∣b∣<−c|b| < -c ifadesinden c<0c < 0 olduğu bulunur. b<−cb < -c eşitsizliğinden b+c<0b + c < 0 ve a<ba < b ile c<−bc < -b eşitsizliklerinin toplamından a+c<0a + c < 0 elde edilir. Negatif olan bu ifadeler mutlak değer dışına önüne eksi alarak çıkarıldığında pay kısmı b - a olur. Payda ise a - b olduğundan oran -1 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ilk eşitsizlikten yola çıkarak b sayısının işaretini ve sınırlarını belirleme.
∣a∣<b|a| < b eşitsizliğinde mutlak değerli bir ifade negatif olamayacağından b>0b > 0 olmalıdır. Buradan −b<a<b-b < a < b elde edilir.
Mutlak değerin tanımı gere��i, bir mutlak değerden büyük olan herhangi bir sayı pozitif olmak zorundadır.
2
İkinci eşitsizlikten yola çıkarak c sayısının işaretini ve b ile c arasındaki ilişkiyi belirleme.
∣b∣<−c|b| < -c eşitsizliğinden −c>0-c > 0 yani c<0c < 0 elde edilir. Bu eşitsizlik açıldığında −(−c)<b<−c-(-c) < b < -c yani c<b<−cc < b < -c elde edilir.
Mutlak değerin tanımı ve eşitsizlik özellikleri kullanılarak c'nin işareti ve sınırları bulunur.
3
Mutlak değerlerin içerisindeki ifadelerin işaretlerini analiz etme.
a<ba < b olduğundan a−b<0a - b < 0 olur. b<−cb < -c olduğundan b+c<0b + c < 0 olur. a<ba < b ve c<−bc < -b eşitsizlikleri taraf tarafa toplanırsa a+c<0a + c < 0 elde edilir.
Mutlak değerlerin dışına çıkarma kurallarını uygulayabilmek için mutlak değer içindeki ifadelerin işaretlerini belirlemek gerekir.
4
Mutlak değerli ifadeleri dışarı çıkarma ve rasyonel ifadeyi sadeleştirme.
a+c<0a+c < 0 olduğundan ∣a+c∣=−(a+c)=−a−c|a + c| = -(a + c) = -a - c olur. b+c<0b+c < 0 olduğundan ∣b+c∣=−(b+c)=−b−c|b + c| = -(b + c) = -b - c olur. İfadeleri yerine yazarsak:
(−a−c)−(−b−c)a−b=−a−c+b+ca−b=b−aa−b=−1\frac{(-a - c) - (-b - c)}{a - b} = \frac{-a - c + b + c}{a - b} = \frac{b - a}{a - b} = -1
elde edilir.
İşaretlerine göre mutlak değer dışına çıkarılan ifadeler pay kısmında yerine yazılarak cebirsel sadeleştirme tamamlanır.

Anahtar Kavram

Mutlak değerin özellikleri, mutlak değerli eşitsizliklerin çözümü ve mutlak değer içerisindeki ifadelerin işaretlerine göre dışarı çıkarılması.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Mutlak Değer Kavramı ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru