Examkin

Soru

Zorluk: ZorHız ve Hareket Problemleri

Bir dairesel pist üzerinde aynı noktadan, aynı anda ve aynı yöne doğru sabit hızlarla koşmaya başlayan Kerem ve Selim'in başlangıçtaki hızları sırasıyla VKV_K ve VSV_S dir. Kerem'in başlangıç hızı, Selim'in başlangıç hızının 83\frac{8}{3} katıdır.

Koşucuların pist üzerindeki hareketleri boyunca hız değişimleri ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
- Kerem, pist etrafında 2 tam tur tamamladığı anda hızını yarıya düşürmüştür.
- Selim ise pist etrafında 1 tam tur tamamladığı anda hızın�� 2 katına çıkarmıştır.

Kerem hızını değiştirdikten sonra Selim de hızını değiştirmiş ve bu değişimden bir süre sonra iki koşucu ilk kez yan yana gelmiştir.

Koşucuların ilk kez yan yana geldikleri ana kadar geçen sürede Kerem toplam 720 metre720\text{ metre} koştuğuna göre, dairesel pistin uzunluğu kaç metredir?

  1. A
    180
  2. B
    200
  3. 240Cevap
  4. D
    288
  5. E
    360

Cevap

Dairesel pistin uzunluğu 240 metredir.
Koşucuların hız değişim zamanları ve konumları adım adım izlendiğinde, Selim'in Kerem'i yakaladığı ana kadar Kerem'in pist uzunluğunun tam olarak 3 katı (3x3x) kadar mesafe koştuğu görülür. Koşulan toplam mesafe 720 metre olduğundan pist uzunluğu 240 metredir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin tanımlanması
Pistin uzunluğuna xx metre diyelim. Selim'in başlangıç hızını 3v3v, Kerem'in başlangıç hızını ise 8v8v olarak belirleyelim.
Hızlar arasındaki 83\frac{8}{3} oranını kolayca modellemek için ortak bir vv değişkeni kullanılır.
2
Kerem'in hızını değiştirdiği ana kadar geçen sürenin ve Selim'in konumunun belirlenmesi
Kerem'in 2 tam turu tamamlaması için geçen süre t1=2x8v=x4vt_1 = \frac{2x}{8v} = \frac{x}{4v} olur. Bu sürede Selim dS(t1)=3v⋅x4v=34xd_S(t_1) = 3v \cdot \frac{x}{4v} = \frac{3}{4}x kadar yol alır. Selim henüz 1. turunu tamamlamamıştır. Kerem'in yeni hızı ise 4v4v olur.
Kerem'in hızını değiştirdiği ilk kırılma anında Selim'in nerede olduğunu bulmak için gereklidir.
3
Selim'in hızını değiştirdiği ana kadar geçen sürenin ve Kerem'in konumunun belirlenmesi
Selim'in 1 tam turunu tamamlaması için geçen toplam süre t2=x3vt_2 = \frac{x}{3v} olur. t1t_1 ile t2t_2 arasındaki zaman farkı Δt=x3v−x4v=x12v\Delta t = \frac{x}{3v} - \frac{x}{4v} = \frac{x}{12v} kadardır. Bu sürede Kerem 4v⋅x12v=x34v \cdot \frac{x}{12v} = \frac{x}{3} kadar daha yol alır. t2t_2 anında Selim başlangıç noktasındadır (hızı 6v6v olur) ve Kerem x3\frac{x}{3} konumundadır.
İkinci hız değişiminin gerçekleştiği anda koşucuların bağıl konumlarını belirlemek için gereklidir.
4
Karşılaşma anına kadar geçen sürenin ve Kerem'in aldığı yolun hesaplanması
Selim'in Kerem'i yakalaması için gereken süre t3=x/36v−4v=x6vt_3 = \frac{x/3}{6v - 4v} = \frac{x}{6v} olur. Bu sürede Kerem 4v⋅x6v=23x4v \cdot \frac{x}{6v} = \frac{2}{3}x kadar yol alır.
Bağıl hız kullanılarak karşılaşma anına kadar geçen sürede Kerem'in katettiği son mesafeyi bulmak için gereklidir.
5
Pistin uzunluğunun bulunması
Kerem'in toplam yolu 2x+x3+23x=3x2x + \frac{x}{3} + \frac{2}{3}x = 3x olur. 3x=720  ⟹  x=2403x = 720 \implies x = 240 metre olarak bulunur.
Kerem'in toplam koştuğu mesafe bilindiğinden, elde edilen denklem çözülerek pist uzunluğuna ulaşılır.

Anahtar Kavram

Hız ve hareket problemlerinde bağıl hız, karşılaşma ve yakalama sürelerinin dairesel pist üzerinde modellenmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Hız ve Hareket Problemleri

Bu konudan daha fazla soru