Hız ve Hareket Problemleri Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

Soru 1Soru →

Bir rüzgar sörfü sporcusu, antrenmanında deniz üzerindeki A noktasından B noktasına doğru rüzgara karşı saatte $v\text{ km}$ sabit hızla hareket etmiştir. Sporcu, dönüşte rüzgarı arkasına alarak hızını saatte $10\text{ km}$ artırmış ve aynı rota üzerinden A noktasına geri dönmüştür.

Sporcunun tüm gidiş-dönüş boyunca ortalama hızı saatte $24\text{ km}$ olduğuna göre, $v$ kaçtır?

15

18

19

20

22

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $20$

Cevap

Rüzgar sörfü sporcusunun gidiş hızı olan

v

değeri

20\text{ km/sa}

olarak bulunur.

Gidiş ve dönüş mesafeleri eşit olduğunda, gidiş-dönüş boyunca ortalama hız formülü kullanılarak

v

hızı

20\text{ km/sa}

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Gidiş ve d��nüş yollarının eşit olduğunu belirleyerek süreleri

v

cinsinden ifade edin.

A ile B noktaları arasındaki mesafe

x

olsun. Gidiş süresi

t_1 = \frac{x}{v}

ve dönüş hızı

v + 10

olduğundan dönüş süresi

t_2 = \frac{x}{v+10}

olur.

Ortalama hız formülü toplam yolun toplam süreye oranına dayandığından, toplam süreyi elde etmek gerekir.

2

Ortalama hız formülünü oluşturun ve verilen ortalama hız değerine eşitleyin.

v_{ort} = \frac{2x}{t_1 + t_2} = \frac{2x}{\frac{x}{v} + \frac{x}{v+10}} = \frac{2}{\frac{1}{v} + \frac{1}{v+10}} = \frac{2v(v+10)}{2v+10} = \frac{v(v+10)}{v+5} = 24

denklemi elde edilir.

Gidiş-dönüş yolları eşit olduğundan ortalama hız, hızların harmonik ortalamasına eşittir.

3

Elde edilen rasyonel denklemi düzenleyerek ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem haline getirin.

v(v+10) = 24(v+5) \implies v^2 + 10v = 24v + 120 \implies v^2 - 14v - 120 = 0

denklemi elde edilir.

Bilinmeyen

v

değerini bulabilmek için denklemi standart biçime dönüştürmek gerekir.

4

İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak pozitif kökü bulun.

(v-20)(v+6) = 0

ifadesinden

v = 20

veya

v = -6

bulunur. Hız negatif olamayacağından

v = 20

olarak belirlenir.

Hız fiziksel olarak pozitif bir büyüklük olmak zorundadır.

Anahtar Kavram

Gidiş-dönüş problemlerinde ortalama hız, geçen toplam sürelere göre belirlenir ve yollar eşit olduğunda hızların harmonik ortalaması alınarak hesaplanır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2Soru →

Bir kurye, teslimat yapmak için A kentinden B kentine gidecektir. A ile B kentleri arasındaki yolun bir kısmı toprak, kalan kısmı ise asfalt yoldur. Toprak yolun uzunluğu, asfalt yolun uzunluğunun iki katıdır. Kurye toprak yolda $v$ sabit hızıyla, asfalt yolda ise $3v$ sabit hızıyla hareket etmektedir.

Aşağıda sol sütunda kuryenin farklı seyahat senaryoları, sağ sütunda ise bu seyahatlerin tamamı boyunca elde edilen ortalama hızların $v$ cinsinden değerleri verilmiştir.

Buna göre, sol sütundaki seyahat senaryolarını sağ sütundaki doğru ortalama hız değerleriyle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Eşleşmeler şu şekildedir: Gidiş seyahati boyunca ortalama hız

\frac{9}{7}v

değerine; asfalt yoldaki hızı iki katına çıkarılan dönüş seyahati boyunca ortalama hız

\frac{18}{13}v

değerine; dönüşü

3v

sabit hızıyla yapılan tüm gidiş-dönüş seyahati boyunca ortalama hız ise

\frac{9}{5}v

değerine eşittir.

Seyahatlerin her biri için harcanan süreler mesafelerin hızlara bölünmesiyle ayrı ayrı hesaplanmıştır. Toplam kat edilen yollar bu toplam sürelere bölünerek her durum için doğru ortalama hız bağıntısı (

v_{ort} = \frac{x_{toplam}}{t_{toplam}}

) kullanılmış ve doğru eşleşmeler elde edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

Toprak yol ve asfalt yol uzunluklarını belirleme

Toprak yolun uzunluğu

2x

, asfalt yolun uzunluğu

x

ve tek yönlü toplam yol

3x

olur.

Toprak yolun uzunluğunun asfalt yolun uzunluğunun iki katı olduğu belirtilmiştir.

2

Gidiş seyahati için harcanan süreyi ve ortalama hızı hesaplama

Toprak yoldaki süre

\frac{2x}{v}

, asfalt yoldaki süre

\frac{x}{3v}

olmak üzere toplam gidiş süresi

\frac{7x}{3v}

olur. Ortalama hız ise

\frac{3x}{\frac{7x}{3v}} = \frac{9}{7}v

olarak bulunur.

Ortalama hız, toplam yolun toplam süreye bölünmesiyle elde edilir.

3

Dönüş seyahati için hızı değişen kuryenin süresini ve ortalama hızını hesaplama

Dönüşte asfalt yoldaki hız

6v

olup bu yoldaki süre

\frac{x}{6v}

, toprak yoldaki süre ise

\frac{2x}{v}

'dir. Toplam dönüş süresi

\frac{13x}{6v}

ve dönüş ortalama hızı

\frac{18}{13}v

olur.

Kuryenin dönüşte asfalt yoldaki hızı iki katına çıkarılmış, toprak yoldaki hızı ise sabit tutulmuştur.

4

Gidiş ve dönüş seyahatlerinin birleşimi olan tüm yolculuğun ortalama hızını hesaplama

Gidiş süresi

\frac{7x}{3v}

, dönüş süresi

\frac{3x}{3v}

olup toplam süre

\frac{10x}{3v}

'dir. Toplam yol

6x

olduğundan tüm yolculuğun ortalama hızı

\frac{9}{5}v

olur.

Tüm gidiş-dönüş boyunca kat edilen toplam mesafe

6x

olup, toplam süre gidiş ve dönüş sürelerinin toplamıdır.

Anahtar Kavram

Ortalama Hız ve Hareket Problemleri

Alternatif Yöntem

Değişkenlerle uğraşmak yerine yol ve hız değerlerine uygun sayılar verilebilir. Örneğin, asfalt yolun uzunluğuna

30

km denilirse toprak yol

60

km olur. Kuryenin hızı

v = 10

km/sa seçilirse toprak yoldaki hızı

10

km/sa, asfalt yoldaki hızı

30

km/sa olur. Buradan süreler ve ortalama hızlar sayısal olarak hesaplanıp daha sonra

v

cinsine dönüştürülebilir.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 3Soru →

Aşağıda farklı koşullarda hareket eden araçların durumları verilmiştir. Bu araçların tüm hareketleri boyunca ulaştıkları ortalama hızları (km/sa), sağda verilen değerlerle doğru şekilde eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

I. durum 48 km/sa, II. durum 96 km/sa ve III. durum 60 km/sa değerleriyle eşleşmelidir.

Doğru eşleştirmede; I. durum için toplam yolun toplam süreye bölünmesiyle

48\text{ km/sa}

, II. durum için eşit yollarda ortalama hız formülüyle

96\text{ km/sa}

ve III. durum için eşit sürelerde hızların aritmetik ortalamasıyla

60\text{ km/sa}

değerleri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

I. durum için toplam yol ve toplam süreyi hesaplama

Toplam yol:

60 \times 2 + 40 \times 3 = 240\text{ km}

, toplam süre:

2 + 3 = 5\text{ saat}

.

Ortalama hızı bulmak için toplam alınan yolun toplam geçen süreye oranlanması gerekir.

2

I. durum için ortalama hızı bulma

v_{\text{ort}} = \frac{240\text{ km}}{5\text{ saat}} = 48\text{ km/sa}

.

Toplam yol toplam süreye bölünerek ortalama hız elde edilir.

3

II. durum için ortalama hızı hesaplama

v_{\text{ort}} = \frac{2 \cdot v_1 \cdot v_2}{v_1 + v_2} = \frac{2 \cdot 80 \cdot 120}{80 + 120} = 96\text{ km/sa}

.

Yolun iki yarısı eşit mesafede olduğundan harmonik ortalama formülü kullanılır.

4

III. durum için ortalama hızı hesaplama

v_{\text{ort}} = \frac{90 + 30}{2} = 60\text{ km/sa}

.

Süreler eşit olduğunda ortalama hız, hızların aritmetik ortalamasına eşit olur.

Anahtar Kavram

Ortalama Hız

Alternatif Yöntem

Ortalama hız her zaman

v_{\text{ort}} = \frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Toplam Süre}}

temel tanımı kullanılarak, özel formüllere ihtiyaç duyulmadan tüm durumlar için doğrudan bulunabilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 4Soru →

Bir sporcu, dairesel bir koşu pistinde antrenman yapmaktadır. Bu pistin bir kısmı asfalt, kalan kısmı ise toprak zeminlidir.

* Sporcunun asfalt yoldaki sabit hızı, toprak yoldaki sabit hızının 2 katıdır.
* Sporcu, pistin asfalt kısmını 12 dakikada, toprak kısmını ise 18 dakikada koşarak bir tam turu tamamlamaktadır.

Buna göre, sporcunun bu pistteki bir tam tur boyunca ortalama hızı, toprak pistteki hızının kaç katıdır?

1{}2

1{}3

1{}4

1{}5

1{}6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $1{}4$

Cevap

Ortalama hız, toprak pistteki hızın 1,4 katıdır.

Sporcunun toprak zemin üzerindeki hızı

v

ve asfalttaki hızı

2v

olarak belirlendiğinde; 12 dakikalık asfalt koşusunda

24v

mesafe, 18 dakikalık toprak koşusunda

18v

mesafe kat edilir. Toplam mesafe olan

42v

, toplam süre olan 30 dakikaya bölündüğünde ortalama hız

1{}4v

olarak bulunur. Bu da toprak yoldaki hızın tam

1{}4

katıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Hız değişkenlerini tan��mlama

Toprak pistteki hız

v

ise asfalt pistteki hız

2v

olur.

Soruda asfalt pistteki hızın, toprak pisttekinin 2 katı olduğu belirtilmiştir.

2

Yol formülünü uygulayarak pist bölümlerinin uzunluklarını bulma

Asfalt kısmın uzunluğu

2v \times 12 = 24v

birim, toprak kısmın uzunluğu

v \times 18 = 18v

birimdir.

Yol = Hız

\times

Zaman bağıntısı kullanılarak her bir bölümün uzunluğu hesaplanır.

3

Toplam yol ve toplam süreyi hesaplama

Toplam yol

24v + 18v = 42v

birim, toplam süre ise

12 + 18 = 30

dakikadır.

Ortalama hızı bulmak için toplam kat edilen mesafenin ve toplam geçen sürenin bilinmesi gerekir.

4

Ortalama hızı hesaplama ve oranı bulma

Ortalama hız

V_{\text{ort}} = \frac{42v}{30} = 1{}4v

olarak bulunur. Ortalama hızın, toprak pistteki hıza (

v

) oranı

1{}4

olur.

Ortalama hız, toplam yolun toplam süreye bölünmesiyle elde edilir.

Anahtar Kavram

Ortalama Hız

Soru 5Soru →

Aşağıda sol sütunda verilen hareket durumlarını, sağ sütundaki doğru sayısal değerlerle (süre veya hız) eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Birinci durum 48 değeriyle, ikinci durum 2 değeriyle, üçüncü durum ise 6 değeriyle doğru şekilde eşleşmektedir.

Verilen hareket durumlarındaki ortalama hız, doğrusal karşılaşma süresi ve dairesel karşılaşma süresi bağıntıları doğru uygulandığında sırasıyla 48, 2 ve 6 değerleri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Gidiş-dönüş ortalama hızını bulmak için harmonik ortalama formülünü uygulayın.

Ortalama hız

48\text{ km/sa}

olarak bulunur.

Gidiş ve dönüş mesafeleri eşit olduğunda ortalama hız

V_{ort} = \frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}

formülü ile hesaplanır.

2

Birbirlerine doğru hareket eden iki aracın karşılaşma süresini hesaplayın.

Karşılaşma süresi

2\text{ saat}

olarak hesaplanır.

Aynı anda birbirlerine doğru hareket eden araçların karşılaşma süresi, toplam yolun hızlar toplamına bölünmesiyle bulunur (

t = \frac{x}{v_1+v_2}

).

3

Zıt yönlü dairesel hareket yapan koşucuların karşılaşma süresini hesaplayın.

İlk karşılaşma süresi

6\text{ dakika}

olarak hesaplanır.

Zıt yönlü dairesel hareketlerde karşılaşma süresi, toplam pist çevresinin hızlar toplamına bölünmesiyle bulunur (

t = \frac{\text{Çevre}}{v_1+v_2}

).

Anahtar Kavram

Hız, zaman ve mesafe arasındaki doğrusal ve dairesel hareket bağıntıları ile ortalama hız hesabı.

Soru 6Soru →

Aşağıda farklı güzergahlarda hareket eden dört aracın aldıkları yollar ve bu yolları tamamlama süreleri verilmiştir. Buna göre; araçların durumlarını belirten ifadeler ile bu araçların saatteki ortalama hızlarını doğru şekilde eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Motosikletin hızı

80\text{ km/sa}

, otomobilin hızı

90\text{ km/sa}

, kamyonetin hızı

60\text{ km/sa}

ve otobüsün hızı

70\text{ km/sa}

olacak şekilde eşleştirilmelidir.

Her bir aracın aldığı yol, hareket süresine bölünerek ortalama hızı elde edilir. Bu doğrultuda yapılan hesaplamalar sonucu motosiklet

80\text{ km/sa}

, otomobil

90\text{ km/sa}

, kamyonet

60\text{ km/sa}

ve otobüs

70\text{ km/sa}

hız değerleriyle eşleşir.

Adım Adım Çözüm

1

Motosikletin hızını hesaplama

v_1 = \frac{240}{3} = 80\text{ km/sa}

Hız, alınan yolun zamana bölünmesiyle bulunur (

v = \frac{x}{t}

).

2

Otomobilin hızını hesaplama

v_2 = \frac{450}{5} = 90\text{ km/sa}

Hız, alınan yolun zamana bölünmesiyle bulunur (

v = \frac{x}{t}

).

3

Kamyonetin hızını hesaplama

v_3 = \frac{120}{2} = 60\text{ km/sa}

Hız, alınan yolun zamana bölünmesiyle bulunur (

v = \frac{x}{t}

).

4

Otobüsün hızını hesaplama

v_4 = \frac{350}{5} = 70\text{ km/sa}

Hız, alınan yolun zamana bölünmesiyle bulunur (

v = \frac{x}{t}

).

Anahtar Kavram

Temel hız, yol ve zaman ilişkisi (

x = v \cdot t

veya

v = \frac{x}{t}

).

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 7Soru →

Bir havalimanında A kapısından B kapısına doğru sabit hızla hareket eden bir yürüyen bant bulunmaktadır. Alper, A kapısından B kapısına gitmek için bu yürüyen banta binmiş ve bant üzerinde bantla aynı yönde sabit yürüme hızıyla yürüyerek B kapısına $30\text{ saniyede}$ ulaşmıştır. Alper, B kapısına ulaştığında bir eşyasını A kapısında unuttuğunu fark etmiş ve hiç vakit kaybetmeden aynı yürüyen bant üzerinden, bandın hareket yönünün tersine doğru aynı yürüme hızıyla geri yürümeye başlamış ve A kapıs��na $90\text{ saniyede}$ varmıştır. Buna göre, Alper bandın dışındaki normal zeminde aynı yürüme hızıyla A kapısından B kapısına yürürse bu yürüyüşü kaç saniye sürer?

40

45

50

60

75

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 45

Cevap

Alper'in normal zemindeki yürüme hızıyla A kapısından B kapısına ulaşma süresi 45 saniyedir.

Alper'in bant yönündeki hızı ile zıt yönündeki hızının toplamı, bandın hızını sadeleştirerek Alper'in normal yürüme hızının iki katını (

2v_a

) verir. Bu toplam, yol cinsinden

\frac{x}{30} + \frac{x}{90} = \frac{4x}{90}

ifadesine eşittir. Buradan Alper'in normal hızı

v_a = \frac{x}{45}

bulunur. Yolun bu hıza oranı ise normal zemindeki yürüyüş süresini

45\text{ saniye}

olarak verir.

Adım Adım Çözüm

1

Alper'in normal zemindeki hızını, bandın hızını ve mesafeyi değişkenlerle tanımlama.

Alper'in normal zemindeki hızı

v_a

, yürüyen bandın hızı

v_b

ve A ile B kapıları arasındaki mesafe

x

olsun.

Bağıl hareket denklemlerini kurabilmek için hız ve yol değişkenlerini belirlememiz gerekir.

2

Bantla aynı yönde hareket durumu için denklem kurma.

v_a + v_b = \frac{x}{30}

Alper bantla aynı yönde yürüdüğünde hızı bandın hızı ile toplanır ve bu süreç 30 saniye sürer.

3

Banda ters yönde hareket durumu için denklem kurma.

v_a - v_b = \frac{x}{90}

Alper bandın hareket yönüne zıt yönde yürüdüğünde net hızı yürüme hızından bandın hızının çıkarılmasıyla bulunur ve bu süreç 90 saniye sürer.

4

Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini taraf tarafa toplayarak bandın hızını yok etme.

(v_a + v_b) + (v_a - v_b) = \frac{x}{30} + \frac{x}{90} \Rightarrow 2v_a = x \left( \frac{3}{90} + \frac{1}{90} \right) \Rightarrow 2v_a = \frac{4x}{90} \Rightarrow v_a = \frac{x}{45}

Alper'in normal zemindeki yürüme süresini bulabilmek için kendi hızını yol cinsinden çekmemiz gerekir.

5

Alper'in normal zemindeki yürüme süresini yol formülünden hesaplama.

t = \frac{x}{v_a} = \frac{x}{x/45} = 45\text{ saniye}

Yolun Alper'in kendi hızına oranı bize normal zeminde tek başına yürüyeceği süreyi verir.

Anahtar Kavram

Hız ve Hareket Problemlerinde Bağıl Hız ve Bileşke Hareket

Soru 8Soru →

Bir kurye, motosikletiyle $A$ kentindeki restorandan $B$ kentindeki adrese paket teslim etmek için yola çıkmıştır. Kurye, gidişte yolun ilk yarısını saatte $30\text{ km}$ sabit hızla, kalan yarısını ise saatte $60\text{ km}$ sabit hızla gitmiştir. Siparişi teslim ettikten sonra hiç beklemeden aynı yol üzerinden saatte $v\text{ km}$ sabit hızla restorana geri dönmüştür.

Kuryenin gidiş-dönüş tüm yolculuktaki ortalama hızı saatte $48\text{ km}$ olduğuna göre, dönüş hızı olan $v$ kaçtır?

51

54

56

60

64

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Dönüş hızı olan

v

değeri 60 olmalıdır.

Kuryenin gidiş yolunda eşit iki parçayı

30\text{ km/sa}

ve

60\text{ km/sa}

hızlarla gitmesi nedeniyle gidiş ortalama hızı harmonik ortalamadan

40\text{ km/sa}

bulunur. Tüm yolculuktaki gidiş ve dönüş yolları da eşit (

2x

) olduğundan, toplam ortalama hız olan

48\text{ km/sa}

gidiş ve dönüş hızlarının harmonik ortalamasıdır. Buradan kurulan

\frac{2 \cdot 40 \cdot v}{40 + v} = 48

denklemi çözüldüğünde dönüş hızı

60\text{ km/sa}

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Yolun tamamına

2x

diyerek gidiş yolculuğunun ilk yarısı (

x

) ve ikinci yarısı (

x

) için geçen süreleri bulma.

İlk yarı için geçen süre

t_1 = \frac{x}{30}

saat, ikinci yarı için geçen süre

t_2 = \frac{x}{60}

saattir. Gidişteki toplam süre ise

t_{\text{gidiş}} = \frac{x}{30} + \frac{x}{60} = \frac{3x}{60} = \frac{x}{20}

saattir.

Süreyi bulmak için alınan yolu hıza bölmek gerekir (

t = \frac{\text{Yol}}{\text{Hız}}

).

2

Gidiş yolculuğundaki ortalama hızı hesaplama.

V_{\text{gidiş}} = \frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Toplam Süre}} = \frac{2x}{\frac{x}{20}} = 40\text{ km/sa}

olarak bulunur.

Dönüş süreciyle birleştirerek tüm yolun ortalama hızını hesaplamak amacıyla gidişin kendi içindeki ortalama hızını belirlememiz gerekir.

3

Dönüş yolculuğu için geçen süreyi

v

cinsinden ifade etme.

Dönüşte alınan yol

2x

ve hız

v

olduğundan, dönüş süresi

t_{\text{dönüş}} = \frac{2x}{v}

saattir.

Tüm gidiş-dönüş yolculuğunun toplam süresini bulmak için dönüş süresini

v

cinsinden yazmalıyız.

4

Gidiş-dönüş tüm yolculuğun ortalama hızı

48\text{ km/sa}

bilgisini kullanarak

v

değerini bulma.

Toplam yol

2x + 2x = 4x

km, toplam süre ise

t_{\text{toplam}} = \frac{x}{20} + \frac{2x}{v}

saat olur. Ortalama hız formülünden:

48 = \frac{4x}{\frac{x}{20} + \frac{2x}{v}} \Rightarrow 48 = \frac{4}{\frac{1}{20} + \frac{2}{v}} \Rightarrow \frac{1}{20} + \frac{2}{v} = \frac{1}{12}

Denklemi çözdüğümüzde:

\frac{2}{v} = \frac{1}{12} - \frac{1}{20} = \frac{5 - 3}{60} = \frac{2}{60} = \frac{1}{30} \Rightarrow v = 60\text{ km/sa}

Tüm hareket boyunca ortalama hız, toplam yolun toplam süreye oranına eşittir.

Anahtar Kavram

Ortalama hız, toplam yolun toplam süreye bölünmesiyle bulunur. Eşit mesafelerdeki hızların ortalaması hesaplanırken aritmetik ortalama değil, harmonik ortalama formülü kullanılmalıdır.

Soru 9Soru →

Bir araç, yolun bir kısmını saatte $60$ km sabit hızla $2$ saat, kalan kısmını ise saatte $80$ km sabit hızla $3$ saat giderek tamamlamıştır. Buna göre, bu aracın tüm yolculuk boyunca ortalama hızı saatte kaç kilometredir?

70

68

72

180

75

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 72

Cevap

Ortalama hız saatte 72 kilometredir.

Ortalama hız, toplam alınan yolun toplam geçen süreye bölünmesiyle bulunur. Yolun her bir kısmı için geçen süreler belirlenip toplam yola oranlandığında ortalama hız 72 km/sa olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Aracın saatte

60

km hızla

2

saat boyunca aldığı ilk yolu (

x_1

) hesaplayalım.

x_1 = 60 \times 2 = 120

km

Alınan yol, hız ile zamanın çarpımına eşittir.

2

Aracın saatte

80

km hızla

3

saat boyunca aldığı ikinci yolu (

x_2

) hesaplayalım.

x_2 = 80 \times 3 = 240

km

Yolun kalan kısmında alınan mesafeyi bulmak gerekir.

3

Aracın aldığı toplam yolu (

x_{\text{toplam}}

) ve yolculuk boyunca geçen toplam süreyi (

t_{\text{toplam}}

) bulalım.

x_{\text{toplam}} = 120 + 240 = 360

km ve

t_{\text{toplam}} = 2 + 3 = 5

saat

Ortalama hızı hesaplamak için toplam mesafe ve toplam zaman değerlerine ihtiyaç vardır.

4

Toplam yolu, toplam süreye bölerek ortalama hızı (

V_{\text{ort}}

) hesaplayalım.

V_{\text{ort}} = \frac{360}{5} = 72

km/sa

Ortalama hız, toplam yolun toplam süreye bölünmesiyle elde edilir.

Anahtar Kavram

Ortalama hız, toplam alınan yolun toplam geçen süreye oranıdır (

V_{\text{ort}} = \frac{x_{\text{toplam}}}{t_{\text{toplam}}}

).

Soru 10Soru →

Bir kurye, A kentindeki merkezden B kentindeki bir adrese paket teslim etmek üzere yola çıkmıştır. Kuryenin A kenti ile B kenti arasındaki yolculuğuyla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* A ile B kentleri arasındaki yolun ilk yarısı toprak yol, ikinci yarısı ise asfalt yoldur.
* Kurye, giderken toprak yolda $v$ sabit hızıyla, asfalt yolda ise $2v$ sabit hızıyla hareket etmiştir.
* Kurye, paketi teslim ettikten sonra hiç zaman kaybetmeden aynı yol üzerinden A kentine geri dönmüştür. Dönüş yolunun tamamında asfalt yola paralel alternatif bir otobanı kullanmış ve tüm dönüşü $3v$ sabit hızıyla tamamlamıştır.

Buna göre, kuryenin tüm gidiş-dönüş yolculuğu boyunca ortalama hızı kaç $v$ 'dir?

\frac{12}{13}

\frac{24}{13}

2

\frac{13}{6}

\frac{9}{4}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{24}{13}$

Cevap

Ortalama hız

\frac{24}{13}v

olarak bulunur.

Kuryenin tüm yolculuk boyunca aldığı toplam yolun, bu yolculukta geçen toplam süreye oranı doğru ortalama hızı verir. Toplam yol

4x

, toplam süre ise

\frac{13x}{6v}

olduğundan ortalama hız

\frac{24}{13}v

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Yolun tamamını ve bölümlerini harflendirerek tanımlama.

A ile B kentleri arasındaki yolun tamamı

2x

olsun. Bu durumda gidişteki toprak yol bölümü

x

ve asfalt yol bölümü

x

olur. Dönüş yolu ise tek parça halinde

2x

olur.

Hız, yol ve zaman arasındaki ilişkileri kurabilmek için mesafeleri belirlemek gerekir.

2

Gidiş yolculuğunda geçen süreyi hesaplama.

Toprak yolda geçen süre

t_1 = \frac{x}{v}

, asfalt yolda geçen süre

t_2 = \frac{x}{2v}

olur. Toplam gidiş süresi

t_{\text{gidiş}} = \frac{x}{v} + \frac{x}{2v} = \frac{3x}{2v}

olarak bulunur.

Gidiş hareketinin toplam süresini bulmak için farklı hızlarla gidilen bölümlerin süreleri ayrı ayrı toplanır.

3

Dönüş yolculuğunda geçen süreyi hesaplama.

Dönüş yolunun tamamı (

2x

)

3v

hızıyla alındığı için dönüş süresi

t_{\text{dönüş}} = \frac{2x}{3v}

olur.

Dönüş hareketinin toplam süresini bulmak için dönüş mesafesi dönüş hızına bölünür.

4

Tüm gidiş-dönüş yolculuğu boyunca geçen toplam s��reyi bulma.

t_{\text{toplam}} = t_{\text{gidiş}} + t_{\text{dönüş}} = \frac{3x}{2v} + \frac{2x}{3v} = \frac{9x + 4x}{6v} = \frac{13x}{6v}

olarak bulunur.

Ortalama hızı hesaplamak için toplam hareket süresine ihtiyaç duyulur.

5

Ortalama hız formülünü uygulayarak sonucu bulma.

V_{\text{ort}} = \frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Toplam Zaman}} = \frac{4x}{\frac{13x}{6v}} = 4x \cdot \frac{6v}{13x} = \frac{24}{13}v

elde edilir.

Ortalama hız, alınan toplam yolun geçen toplam süreye bölünmesiyle hesaplanır.

Anahtar Kavram

Ortalama Hız, Toplam Yolun Toplam Zamana Oranıdır.

Alternatif Yöntem

Ortalama hız, harmonik ortalama mantığıyla da çözülebilir. Gidiş yolunun yarısı

v

, yarısı

2v

hızla alındığından, gidişteki ortalama hız

v_g = \frac{2}{\frac{1}{v} + \frac{1}{2v}} = \frac{4}{3}v

olur. Gidiş ve dönüş mesafeleri eşit (

2x

) olduğundan, tüm yolun ortalama hızı gidiş ve dönüş hızlarının harmonik ortalamasıdır:

V_{\text{ort}} = \frac{2}{\frac{1}{v_g} + \frac{1}{v_d}} = \frac{2}{\frac{3}{4v} + \frac{1}{3v}} = \frac{2}{\frac{13}{12v}} = \frac{24}{13}v

.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 11Soru →

Bir otomobil $A$ kentinden $B$ kentine giderken yolun ilk yarısını saatte $120$ km, ikinci yarısını ise saatte $80$ km hızla gitmiştir. Otomobil $B$ kentinden $A$ kentine dönerken ise tüm dönüş süresinin ilk yarısında saatte $120$ km, ikinci yarısında ise saatte $80$ km hızla gitmiştir.

Otomobilin gidiş süresi, dönüş süresinden $15$ dakika daha uzun sürdüğüne göre, otomobilin dönüş yolculuğunda saatte $120$ km hızla gittiği mesafe, gidiş yolculuğunda saatte $120$ km hızla gittiği mesafeden kaç km fazladır?

0

36

60

75

90

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Dönüş yolunda saatte 120 km hızla gidilen mesafe, gidiş yolunda saatte 120 km hızla gidilen mesafeden 60 km fazladır.

Doğru cevap 60 km'dir. Gidiş yolculuğunda yol iki eşit mesafeye ayrıldığı için saatte 120 km hızla gidilen kısım yolun yarısı olan 300 km'dir. Dönüş yolculuğunda ise süre iki eşit parçaya ayrıldığı için, toplam 6 saatlik dönüş süresinin 3 saatinde saatte 120 km hızla gidilmiş ve

120 \cdot 3 = 360

km yol alınmıştır. Aradaki fark

360 - 300 = 60

km'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Gidiş yolculuğunun süresini yolun toplam uzunluğu olan

d

cinsinden hesaplamak.

Gidiş yolunda mesafe iki eşit parçaya (

d/2

km) bölünmüştür. Toplam gidiş süresi:

t_{\text{gidiş}} = \frac{d/2}{120} + \frac{d/2}{80} = \frac{d}{240} + \frac{d}{160} = \frac{5d}{480} = \frac{d}{96}

saat.

Gidiş yolundaki sürelerin toplamını bulmak ve gidişin ortalama hızının harmonik ortalama olduğunu görmek için.

2

Dönüş yolculu��unun süresini

d

cinsinden hesaplamak.

Dönüş yolunda toplam süre

t_{\text{dönüş}}

olmak üzere, süre iki eşit parçaya (

t_{\text{dönüş}}/2

) bölünmüştür. Toplam mesafe:

d = 120 \cdot \frac{t_{\text{dönüş}}}{2} + 80 \cdot \frac{t_{\text{dönüş}}}{2} = 100 \cdot t_{\text{dönüş}}

km. Buradan

t_{\text{dönüş}} = \frac{d}{100}

saat bulunur.

Dönüş yolundaki zaman paylaşımını kullanarak dönüş süresini toplam mesafe cinsinden ifade etmek için.

3

Süre farkını kullanarak

A

ve

B

kentleri arasındaki

d

mesafesini bulmak.

15 dakika

\frac{15}{60} = \frac{1}{4}

saattir.

t_{\text{gidiş}} - t_{\text{dönüş}} = \frac{d}{96} - \frac{d}{100} = \frac{1}{4} \implies \frac{4d}{9600} = \frac{1}{4} \implies d = 600

km.

Verilen zaman farkı denklemini çözerek gerçek mesafeyi belirlemek için.

4

Gidiş ve dönüş seyahatlerinde saatte 120 km hızla gidilen mesafeleri hesaplayıp farkını bulmak.

Gidişte saatte 120 km hızla gidilen mesafe:

d/2 = 300

km. Dönüş süresi:

t_{\text{dönüş}} = 6

saat, bunun yarısı olan 3 saatte 120 km hızla gidilmiştir:

120 \cdot 3 = 360

km. Fark:

360 - 300 = 60

km.

İstenen iki mesafeyi bulup aralarındaki farkı belirlemek için.

Anahtar Kavram

Hız ve hareket problemlerinde, yolun eşit mesafeli bölümleri ile eşit süreli bölümlerinde ortalama hız hesaplama yöntemlerinin (harmonik ve aritmetik ortalama) farkı.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 12Soru →

Aşağıda sol sütunda verilen hareket durumlarını, sağ sütunda verilen uygun sürelerle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Birinci hareket durumu 3 saat seçeneğiyle, ikinci hareket durumu 4 saat seçeneğiyle, üçüncü hareket durumu ise 5 saat seçeneğiyle eşleşmektedir.

Sol sütundaki hareket durumları için temel hareket formülü olan

x = v \cdot t

kullanılarak süreler hesaplanır. İlk durumda

240 = 80 \cdot t \implies t = 3

saat bulunur. İkinci durumda araçlar birbirine doğru hareket ettiği için hızları toplanır:

400 = (45 + 55) \cdot t \implies t = 4

saat bulunur. Üçüncü durumda hız saatte 20 km artırılarak 80 km/sa olur:

400 = 80 \cdot t \implies t = 5

saat bulunur. Bu sonuçlar sağ sütundaki doğru sürelerle eşleşir.

Adım Adım Çözüm

1

İlk hareketlinin süresini bulmak için yolun hıza bölünmesi

t_1 = 240 / 80 = 3

saat

Yol formülü

x = v \cdot t

gereğince zaman

t = x / v

olarak hesaplanır.

2

Birbirine doğru gelen araçların karşılaşma süresini bulmak için aralarındaki mesafenin hızlar toplamına bölünmesi

t_2 = 400 / (45 + 55) = 400 / 100 = 4

saat

Zıt yönlü hareketlerde araçların birbirine göre bağıl hızı, hızlarının toplamına eşittir.

3

Üçüncü durumdaki yeni hızın belirlenmesi ve sürenin hesaplanması

v_{\text{yeni}} = 60 + 20 = 80

km/sa ve

t_3 = 400 / 80 = 5

saat

Hız saatte 20 km artırıldığından yeni hız 80 km/sa olur ve bu hızla 400 km yol 5 saatte tamamlanır.

Anahtar Kavram

Hız, zaman ve yol arasındaki temel ilişki (

x = v \cdot t

) ve karşılaşma problemlerindeki bağıl hız kavramı.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 13Soru →

Aşağıda sol sütunda hız ve hareket problemlerine dair ü�� farklı senaryo, sağ sütunda ise bu hareketlerin gerçekleşme süreleri veya hız değerleri verilmiştir.

Buna göre, sol sütundaki hareket senaryolarını sağ sütundaki doğru değerlerle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

İlk senaryo saatte 48 kilometre ortalama hız değeriyle, ikinci senaryo 4 saat yakalama süresiyle ve üçüncü senaryo 4 dakika karşılaşma süresiyle eşleşir.

Doğru eşleştirmeler yapıldığında, ortalama hız ifadesi saatte 48 kilometre ile, yakalama süresi 4 saat ile ve dairesel pistteki karşılaşma süresi 4 dakika ile eşleşmektedir. Bu eşleştirmeler hız ve hareket problemlerinin temel formülleri olan harmonik ortalama, hız farkı ve hız toplamı bağıntılarına dayanmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Yolun yarısını farklı hızlarla giden aracın ortalama hızını harmonik ortalama formülüyle (

V_{\text{ort}} = \frac{2 \cdot V_1 \cdot V_2}{V_1 + V_2}

) hesaplamak.

V_{\text{ort}} = \frac{2 \cdot 40 \cdot 60}{40 + 60} = 48\text{ km/sa}

Yol eşit iki parçaya bölündüğünde ortalama hız, hızların harmonik ortalamasına eşittir.

2

Aynı yönde hareket eden araçlar arasındaki mesafenin kapanma süresini

t = \frac{x}{V_1 - V_2}

formülüyle hesaplamak.

t = \frac{120}{80 - 50} = 4\text{ saat}

Arkadaki aracın öndekini yakalama süresi, aralarındaki mesafenin hız farkına bölünmesiyle bulunur.

3

Dairesel pistte zıt yönlere hareket eden bisikletlilerin karşılaşma süresini

t = \frac{\text{Çevre}}{V_1 + V_2}

formülüyle hesaplamak.

t = \frac{360}{40 + 50} = 4\text{ dakika}

Zıt yönlü dairesel harekette ilk karşılaşma süresi, pist çevresinin hızlar toplamına bölünmesiyle bulunur.

Anahtar Kavram

Hız ve hareket problemlerinde karşılaşma süresi, yakalama süresi ve ortalama hız formüllerinin uygulanması.

Soru 14Soru →

Aşağıda hız ve hareket problemleriyle ilgili ��ç farklı senaryo ve bu senaryolarda bilinmeyen değerler verilmiştir. Sol sütundaki senaryoları, sağ sütunda verilen doğru sayısal değerlerle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Birinci senaryo 15, ikinci senaryo 60 ve üçüncü senaryo 12 değerleriyle eşleşmektedir.

Yapılan hesaplamalar sonucunda birinci senaryodaki koşucunun hızı

15\text{ m/sn}

, ikinci senaryodaki aracın dönüş hızı

60\text{ km/sa}

ve üçüncü senaryodaki trenin hızı

12\text{ m/sn}

olarak bulunmuştur. Bu değerler sırasıyla

15

,

60

ve

12

sayısal değerleriyle birebir eşleşmektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci senaryo için dairesel pistteki hareket denklemlerini kurup koşucunun hızını hesaplamak.

Koşucunun hızı

15\text{ m/sn}

olarak bulunur.

Karşılaşma süresi

t

saniye ve koşucunun hızı

v

m/sn olsun. Zıt yönlü harekette pist çevresi hızlar toplamı ile karşılaşma süresinin çarpımıdır:

(v+15) \cdot t = 360

. Karşılaşmadan sonra koşucu, bisikletlinin geldiği

15 \cdot t

metrelik yolu

v

hızıyla

12

saniyede tamamlar:

15t = 12v \implies t = 0{}8v

. Bu ifadeyi ilk denklemde yerine koyarak

0{}8v(v+15) = 360 \implies v(v+15) = 450

denklemini elde ederiz. Buradan pozitif kök

v = 15

olarak hesaplanır.

2

İkinci senaryo için iki kent arasındaki mesafenin sabitliğini kullanarak dönüş hızını hesaplamak.

Dönüş hızı

60\text{ km/sa}

olarak bulunur.

Gidiş hızı

v

, dönüş hızı ise

v+20

km/sa'tir. Alınan yollar eşit olduğundan

6v = 4(v+20) \implies 6v = 4v + 80 \implies 2v = 80 \implies v = 40

km/sa olur. Bizden dönüş hızı istendiği için

v+20 = 40+20 = 60

değeri elde edilir.

3

Üçüncü senaryo için trenin tünel ve direk geçiş sürelerine göre hızını hesaplamak.

Trenin hızı

12\text{ m/sn}

olarak bulunur.

Trenin boyu

L

metre, hızı

v

m/sn olsun. Tünelden tamamen geçmesi için alması gereken yol

L + 120

metredir:

L+120=15v

. Direği geçmesi için ise kendi boyu kadar yol almalıdır:

L=5v

. Bu iki denklem birleştirilerek

5v + 120 = 15v \implies 10v = 120 \implies v = 12

elde edilir.

Anahtar Kavram

Hız, zaman ve mesafe arasındaki doğrusal ilişkilerin farklı senaryolar (dairesel pist, gidiş-dönüş ve tünel geçişi) üzerinde uygulanması.

Alternatif Yöntem

Üçüncü senaryoda, trenin tüneli geçerken aldığı yol (

L+120

) ile direği geçerken aldığı yol (

L

) arasındaki fark tünelin boyu olan

120

metredir. Süreler arasındaki fark ise

15 - 5 = 10

saniyedir. Tren sabit hızla hareket ettiği için bu

120

metrelik farkı

10

saniyede almıştır. Buradan trenin hızı doğrudan

v = \frac{120}{10} = 12\text{ m/sn}

olarak bulunabilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 15Soru →

Bir kargo firması, $A$ ve $B$ depoları arasındaki paket gönderimini otonom bir teslimat dronu ile gerçekleştirmektedir. Bu drone, rüzgarsız bir havada $A$ deposundan $B$ deposuna sabit bir hızla gitmekte ve hiç beklemeden aynı hızla geri dönmektedir.

Rüzgarın $A$ 'dan $B$ 'ye doğru saatte $20$ km sabit hızla estiği bir günde drone, $A$ 'dan $B$ 'ye gitmiş ve hiç beklemeden geri dönmüştür. Dronun bu rüzgarlı gündeki gidiş-dönüş s��resi, rüzgarsız bir gündeki gidiş-dönüş süresinden $18$ dakika daha uzun sürmüştür.

Dronun rüzgarsız havadaki hızı saatte $80$ km olduğuna göre, $A$ ve $B$ depoları arasındaki mesafe kaç kilometredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 180

Cevap

A ve B depoları arasındaki mesafe 180 kilometredir.

Dronun rüzgarlı havada gidiş (

100

km/sa) ve dönüş (

60

km/sa) hızları üzerinden geçen süreler yazılmış, rüzgarsız havaya göre oluşan

\frac{d}{600}

saatlik fark,

\frac{18}{60} = \frac{3}{10}

saate eşitlenerek yol

180

km olarak elde edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

Rüzgarsız havada geçen sürenin yol cinsinden ifadesini yazın.

t_{\text{rüzgarsız}} = \frac{d}{40}

saat

Drone her iki yönde de

80

km/sa hızla hareket eder ve toplam yol

2d

kilometredir.

2

Rüzgarlı havada gidiş ve dönüş hızlarını belirleyin.

Gidiş hızı:

100

km/sa, Dönüş hızı:

60

km/sa

Rüzgar gidişte hareketi desteklerken (

80 + 20

), dönüşte hareketi zorlaştırır (

80 - 20

).

3

Rüzgarlı havada geçen sürenin yol cinsinden ifadesini bulun.

t_{\text{rüzgarlı}} = \frac{2d}{75}

saat

Gidiş süresi

\frac{d}{100}

saat, dönüş süresi ise

\frac{d}{60}

saattir. Bu iki süre toplanarak payda eşitlenir.

4

Verilen zaman farkını saat birimine çevirin.

18

dakika =

\frac{3}{10}

saat

Hızlar saatteki mesafe (km/sa) cinsinden verildiği için zaman birimini saate çevirmek gerekir.

5

Süreler arasındaki farkı yazarak bilinmeyen mesafeyi (

d

) bulun.

d = 180

km

\frac{2d}{75} - \frac{d}{40} = \frac{d}{600}

olup,

\frac{d}{600} = \frac{3}{10}

eşitliğinden

d

çekilir.

Anahtar Kavram

Rüzgar, akıntı veya yürüyen merdiven gibi hareketli ortamlarda cismin yere göre hızı; kendi hızı ile ortamın hızının vektörel toplamıdır. Aynı doğrultuda zıt yönlü hareketlerde hızlar çıkarılırken, aynı yönlü hareketlerde hızlar toplanır. Ayrıca birimlerin (dakika ve saat) birbiriyle uyumlu olması son derece önemlidir.

Alternatif Yöntem

Ortalama hız formülü kullanılarak da çözülebilir. Rüzgarlı havada gidiş-dönüş için ortalama hız

V_{\text{ort}} = \frac{2 \cdot V_1 \cdot V_2}{V_1 + V_2} = \frac{2 \cdot 100 \cdot 60}{100 + 60} = 75

km/sa olur. Toplam yol

2d

olduğundan rüzgarlı havada geçen süre

t_{\text{rüzgarlı}} = \frac{2d}{75}

saattir. Rüzgarsız havada ortalama hız

80

km/sa olup geçen süre

t_{\text{rüzgarsız}} = \frac{2d}{80}

saattir. İki sürenin farkı

\frac{2d}{75} - \frac{2d}{80} = \frac{3}{10}

saat eşitliğinden yine

d = 180

km olarak bulunur.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 16Soru →

Bir belediye, çevresi $1200$ metre olan dairesel bir koşu parkuru inşa etmiştir. Bu parkurun aynı noktasından, aynı anda zıt yönlere doğru koşmaya başlayan iki sporcudan Ayhan'ın hızı dakikada $v_1$ metre, Burak'ın hızı ise dakikada $v_2$ metredir.

Bu iki sporcu koşmaya başladıktan bir süre sonra karşılaşıyorlar. Karşılaşma anından sonra Ayhan koşusuna devam ederek $4$ dakika sonra, Burak ise koşusuna devam ederek $9$ dakika sonra başlangıç noktasına ulaşıyor.

Buna göre, bu sporculardan hızı daha fazla olanın hızı dakikada kaç metredir?

80

100

120

144

150

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 120

Cevap

Hızlı olan koşucunun hızı dakikada 120 metredir.

Karşılaşma süresi hareket denklemleri taraf tarafa çarpılarak

t = 6

dakika olarak bulunur. Buradan hızlar arasında

v_1 = 1.5 v_2

oranı elde edilir. Toplam yol

1200

metre olduğundan, hızlar toplamı dakikada

200

metredir. Bu durumda hızlı olan sporcunun hızı dakikada

120

metre, yavaş olanınki ise dakikada

80

metredir.

Adım Adım Çözüm

1

Karşılaşma s��resini

t

dakika olarak belirleyip, sporcuların karşılaşana kadar aldıkları yolları hızları cinsinden yazalım.

Ayhan'ın aldığı yol

x_1 = v_1 \cdot t

, Burak'ın aldığı yol ise

x_2 = v_2 \cdot t

olur. Yolun tamamı olan

1200

metre ise

x_1 + x_2

toplamına eşittir.

Sporcular zıt yönlerde hareket ettikleri için karşılaşana kadar aldıkları yolların toplamı dairesel pistin çevresini verir.

2

Karşılaşma anından sonra sporcuların yollarına devam ederek başlangıç noktasına ulaşma sürelerini denkleme dökelim.

Ayhan kalan yolu (

x_2

) kendi hızıyla

4

dakikada tamamladığı için

x_2 = 4 \cdot v_1

olur. Burak ise kalan yolu (

x_1

) kendi hızıyla

9

dakikada tamamladığı için

x_1 = 9 \cdot v_2

olur.

Karşılaşma noktasından başlangıç noktasına kadar olan mesafeler, diğer sporcunun karşılaşma öncesinde katettiği mesafelerdir.

3

Elde edilen

v_2 \cdot t = 4 v_1

ve

v_1 \cdot t = 9 v_2

denklemlerini taraf tarafa çarpalım.

(v_1 \cdot t) \cdot (v_2 \cdot t) = 4 v_1 \cdot 9 v_2 \implies v_1 v_2 t^2 = 36 v_1 v_2 \implies t^2 = 36 \implies t = 6

dakika bulunur.

Hızlar pozitif değerler olduğundan sadeleştirme yapılarak doğrudan karşılaşma süresi

t

hesaplanabilir.

4

Bulduğumuz

t = 6

değerini denklemlerden birinde yerine yazarak hızlar arasındaki oranı belirleyelim.

6 v_2 = 4 v_1 \implies 3 v_2 = 2 v_1 \implies v_1 = 1.5 v_2

elde edilir.

Hızlar arasındaki oranı bulmak, toplam hızı paylaştırmamızı sağlayacaktır.

5

Pistin çevresi

1200

metre olduğuna göre karşılaşma s��resi yardımıyla hızları hesaplayalım.

(v_1 + v_2) \cdot 6 = 1200 \implies v_1 + v_2 = 200

olur.

v_1 = 1.5 v_2

eşitliği kullanıldığında

1.5 v_2 + v_2 = 200 \implies 2.5 v_2 = 200 \implies v_2 = 80

m/dk ve buradan

v_1 = 120

m/dk bulunur.

Karşılaşma süresi ile hızlar toplamının çarpımı toplam pist çevresini vermelidir. Bu denklemden her iki hız değeri net olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Dairesel pistte zıt yönlü hareketlilerin karşılaşma süresi ve karşılaştıktan sonra yollarına devam etme durumlarının oranlanarak çözülmesi.

Alternatif Yöntem

Pratik bir kural olarak, iki hareketlinin karşılaştıktan sonra başlangıç noktalarına ulaşma süreleri sırasıyla

t_1

ve

t_2

ise, karşılaşma süresi

t = \sqrt{t_1 \cdot t_2}

formülü ile bulunabilir. Buradan

t = \sqrt{4 \cdot 9} = 6

dakika bulunur. Daha sonra

v_1 \cdot 6 = 9 v_2 \implies 2v_1 = 3v_2

şeklinde hızlar oranı doğrudan yazılabilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 17Soru →

Aralarında $450$ kilometre mesafe bulunan iki şehirden, hızları saatte $70$ km ve $80$ km olan iki araç aynı anda birbirine doğru harekete başlamıştır. Buna göre, bu iki araç kaç saat sonra karşılaşır?

5

6

3

30

45

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

3 saat sonra karşılaşırlar.

Karşılaşma süresi, toplam mesafenin araçların hızları toplamına bölünmesiyle hesaplanır. İki aracın hızları toplamı

70 + 80 = 150

km/s olup,

450

km yol bu hızla

3

saatte tamamlanır. Dolayısıyla doğru cevap 3 saat değerini veren seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1

Araçların birbirlerine doğru hareket ettiklerini belirleyerek birbirlerine yaklaşma hızlarını (bağıl hız) bulun.

Yaklaşma hızı =

70 + 80 = 150

km/s

Zıt yönlerde birbirlerine doğru hareket eden iki aracın aralarındaki mesafeyi kapatma hızı, hızlarının toplamına eşittir.

2

Aralarındaki toplam mesafeyi yaklaşma hızına bölerek karşılaşma süresini hesaplayın.

Süre =

450 / 150 = 3

saat

Yol = Hız x Zaman formülünden, Zaman = Yol / Hız bağıntısı kullanılır.

Anahtar Kavram

Birbirine doğru hareket eden iki aracın karşılaşma süresi, aralarındaki mesafenin hızları toplamına bölünmesiyle bulunur.

Alternatif Yöntem

Orantı kurarak da çözülebilir: Araçlar 1 saatte toplam

70 + 80 = 150

km yol alıyorsa,

450

km yolu

450 / 150 = 3

saatte alırlar.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 18Soru →

Çevre uzunluğu $720$ metre olan dairesel bir koşu pisti, eşit uzunlukta iki bölüme ayrılmıştır. Bu pistin $X$ noktasından $Y$ noktasına saat yönünde giden yarısı asfalt, $Y$ noktasından $X$ noktasına saat yönünde giden diğer yarısı ise kum zemindir.

İki koşucu aynı anda $X$ noktasından zıt yönlerde koşmaya başlıyor.
* Saat yönünde koşan birinci koşucunun asfalt zemindeki hızı saniyede $6$ metre, kum zemindeki hızı ise saniyede $3$ metredir.
* Saat yönünün tersine koşan ikinci koşucunun kum zemindeki hızı saniyede $2$ metre, asfalt zemindeki hızı ise saniyede $4$ metredir.

Buna göre, bu iki koşucu harekete başladıktan kaç saniye sonra ilk kez karşılaşırlar?

72

84

108

96

144

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 108

Cevap

Koşucular harekete başladıktan 108 saniye sonra karşılaşırlar.

Koşucuların hareketleri zemin geçişlerine göre iki aşamada incelenir. İlk 60 saniyede birinci koşucu asfalt zemini tamamlayıp kum zeminin başlangıcı olan dikey eksendeki diğer noktaya ulaşır. Bu sırada kum zeminde saat yönünün tersine koşan ikinci koşucu 120 metre ilerlemiştir ve birinci koşucuya doğru 240 metre mesafesi kalmıştır. İkinci aşamada her ikisi de kum zeminde birbirlerine doğru sırasıyla 3 m/s ve 2 m/s hızlarla hareket ederler. Kalan 240 metrelik mesafeyi kapatmaları 48 saniye sürer. Başlangıçtan itibaren geçen toplam süre 60 + 48 = 108 saniyedir.

Adım Adım Çözüm

1

Pist bölümlerinin uzunluklarını belirleme

Pistin toplam çevresi

720

metre olduğuna göre, asfalt ve kum bölümlerinin her birinin uzunluğu

\frac{720}{2} = 360

metredir.

Koşucuların hangi zeminlerde ne kadar süre geçireceğini hesaplamak için zeminlerin uzunluklarını bilmemiz gerekir.

2

Birinci koşucunun ilk bölümü tamamlama süresini hesaplama

Saat yönünde giden birinci koşucu ilk olarak asfalt zeminle başlar. Hızı

6

m/s olduğundan asfalt bölümü

t_1 = \frac{360}{6} = 60

saniyede bitirip

Y

noktasına ulaşır.

Birinci koşucunun kum zemine ne zaman giriş yapacağını belirlemek amacıyla ilk bölümü tamamlama süresi bulunur.

3

İlk 60 saniyede ikinci koşucunun aldığı yolu ve konumunu bulma

Saat yönünün tersine giden ikinci koşucu ilk olarak kum zeminde ilerler. Hızı

2

m/s olduğundan

60

saniyede aldığı yol

60 \times 2 = 120

metredir. İkinci koşucunun

Y

noktasına kalan mesafesi

360 - 120 = 240

metredir.

Birinci koşucu kum zemine ulaştığında ikinci koşucunun nerede olduğunu belirlemek için konumu hesaplanır.

4

Koşucuların kum zemin üzerindeki karşılaşma süresini hesaplama

t = 60

saniye anında aralarındaki mesafe

240

metredir. İkisi de kum zeminde olup birbirlerine doğru hareket etmektedirler. Birincinin kumdaki hızı

3

m/s, ikincinin kumdaki hızı

2

m/s'dir. Bağıl hızla karşılaşma süresi

t_2 = \frac{240}{3 + 2} = \frac{240}{5} = 48

saniyedir.

Her iki hareketlinin de aynı zeminde birbirlerine doğru hareket ederken karşılaşacakları ek süreyi bulmak için bağıl hız formülü uygulanır.

5

Toplam süreyi toplama

Toplam geçen süre

t_{toplam} = t_1 + t_2 = 60 + 48 = 108

saniyedir.

Hareketin başlangıcından karşılaşma anına kadar geçen toplam süreyi bulmak için iki aşamadaki süreler toplanır.

Anahtar Kavram

Farklı zeminlerde farklı sabit hızlarla hareket eden cisimlerin dairesel pist üzerindeki hareket analizi ve bağıl hız yardımıyla karşılaşma süresinin bulunması.

Soru 19Soru →

Saatteki ortalama hızı $60\text{ km}$ olan bir motosikletli, $A$ kentinden $B$ kentine $4$ saatte gitmiştir.

Bu motosikletli dönüşte hızını saatte $20\text{ km}$ artırırsa, $B$ kentinden $A$ kentine kaç saatte döner?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Motosikletli dönüş yolculuğunu 3 saatte tamamlar.

Yolun tamamı

240\text{ km}

olup dönüş hızı saatte

80\text{ km}

'ye çıkarıldığında yolculuk süresi

3

saat olacaktır.

Adım Adım Çözüm

1

A ve B kentleri arasındaki mesafeyi hesaplama

240\text{ km}

Motosikletli saatte

60\text{ km}

hızla giderek yolu

4

saatte tamamladığı için toplam mesafe

60 \times 4 = 240\text{ km}

olur.

2

Dönüş hızını hesaplama

80\text{ km/sa}

Motosikletli dönüş yolunda hızını saatte

20\text{ km}

artırdığı için yeni hızı

60 + 20 = 80\text{ km/sa}

olur.

3

D��nüş süresini hesaplama

3\text{ saat}

240\text{ km}

uzunluğundaki yol, saatte

80\text{ km}

sabit hızla gidildiğinde

\frac{240}{80} = 3

saat sürer.

Anahtar Kavram

Hız, zaman ve alınan yol arasındaki temel ilişki (

Yol = Hız \times Zaman

)

Soru 20Soru →

Bir alışveriş merkezinde aşağıya doğru sabit hızla hareket eden bir yürüyen merdiven bulunmaktadır. Alper, bu yürüyen merdiven hareket hâlindeyken merdivenden aşağıya doğru sabit hızla yürüyerek indiğinde toplam $40$ basamak atmaktadır. Beren ise aynı yürüyen merdiven hareket hâlindeyken merdivenden yukarıya doğru (merdivenin hareket yönünün tersine) Alper ile aynı sabit hızla yürüyerek çıktığında toplam $120$ basamak atmaktadır. Buna göre, bu yürüyen merdiven durdurulduğunda dışarıdan görünen toplam basamak sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Yürüyen merdiven durdurulduğunda dışarıdan görünen toplam basamak sayısı 60'tır.

Alper ve Beren'in hareket denklemlerinin ortak çözümünden elde edilen hız oranı kullanılarak toplam basamak sayısı 60 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenleri tanımlama

Toplam basamak sayısı

N

, merdiven hızı

v_m

ve yürüme hızı

v

olsun.

Soruda verilen durumları matematiksel olarak modelleyebilmek için değişkenler atanır.

2

Alper'in hareket denklemini kurma

N = 40 \left(1 + \frac{v_m}{v}\right)

Alper merdiven ile aynı yönde hareket ettiğinden, merdivenin hızı onun hareketini destekler.

3

Beren'in hareket denklemini kurma

N = 120 \left(1 - \frac{v_m}{v}\right)

Beren merdivenin tersi yönünde hareket ettiğinden, merdivenin hızı onun hareketini zorlaştırır.

4

Hızlar arasındaki oranı bulma

\frac{v_m}{v} = 0,5

İki durumda da toplam basamak sayısı (

N

) sabit olduğundan denklemler birbirine eşitlenir.

5

Toplam basamak sayısını hesaplama

N = 60

Bulunan hız oranı denklemlerden birinde yerine yazılarak merdivenin toplam basamak sayısı bulunur.

Anahtar Kavram

Bağıl hız yardımıyla hareket süresi ve atılan adım sayısı arasındaki ilişkinin kurulması.

Tahmini Süre:2m 0s

Hız ve Hareket Problemleri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar