Examkin

Soru

Zorluk: OrtaPermütasyon ve Tekrarlı Permütasyon

Bir mimarlık firması, tasarladığı bir binanın ön cephesindeki yan yana bulunan 66 özdeş pencereyi renklendirmek istemektedir. Bu pencerelerin 33'ü maviye, 22'si sarıya ve 11'i kırmızıya boyanacaktır.

Maviye boyanacak pencerelerin hiçbirinin yan yana olmaması istendiğine göre, bu pencereler kaç farklı desen oluşturacak şekilde boyanabilir?

  1. A
    6060
  2. B
    4848
  3. 1212Cevap
  4. D
    2424
  5. E
    120120

Cevap

Mavi pencerelerin hiçbirinin yan yana gelmediği boyama durum sayısı 1212'dir.
Doğru cevap 1212'dir. Mavi olmayan pencerelerin (2 sarı, 1 kırmızı) kendi aralarındaki tekrarlı permütasyon sıralaması 3!2!⋅1!=3\frac{3!}{2! \cdot 1!} = 3 farklı durum oluşturur. Mavi pencerelerin yan yana gelmesini önlemek için, bu pencereler mavi olmayan pencerelerin soluna, sağına veya aralarına yerleştirilmelidir. Bu yerleşim için belirlenen 44 boşluktan 33 tanesi (43)=4\binom{4}{3} = 4 farklı şekilde seçilir. Mavi pencereler özdeş olduğundan yerleştirilmeleri tek bir durumdur. Dolayısıyla toplam durum sayısı 3×4=123 \times 4 = 12 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Mavi olmayan pencerelerin kendi aralarındaki dizilim sayısını hesaplama
33
Mavi olmayan pencereler 22 sarı ve 11 kırmızı penceredir. Sarı pencereler özdeş olduğundan tekrarlı permütasyon uygulanır: 3!2!⋅1!=3\frac{3!}{2! \cdot 1!} = 3 farklı dizilim elde edilir.
2
Mavi pencerelerin yerleştirilebileceği boşlukların sayısını ve yerleştirme biçimini belirleme
44 boşluktan 33'ünün seçilmesi
Mavi pencerelerin hiçbirinin yan yana gelmemesi için, mavi olmayan pencerelerin oluşturduğu boşluklara yerleştirilmeleri gerekir. _ X _ Y _ Z _ şeklinde temsil edilen bu dizilimde 44 adet boşluk (başlar ve aralar) bulunur. Özdeş 33 mavi pencere bu 44 boşluktan 33'üne yerleştirilecektir. Bu seçim (43)=4\binom{4}{3} = 4 farklı şekilde yapılır.
3
Toplam geçerli boyama durumunu çarpma yoluyla hesaplama
3×4=123 \times 4 = 12
Mavi olmayanların her bir dizilimi için mavi pencereler 44 farklı biçimde yerleştirilebilir. Çarpma prensibine göre toplam durum sayısı 3×4=123 \times 4 = 12 olur.

Anahtar Kavram

Tekrarlı permütasyon ve belirli elemanların yan yana gelmeme koşulunun (boşluk yöntemi) birlikte uygulanması
Bu soruyu puanla

Konular

Permütasyon ve Tekrarlı Permütasyon

Bu konudan daha fazla soru