Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorKüme Problemleri

Bir sınıftaki öğrenciler İngilizce, Almanca ve Fransızca dillerinden en az birini bilmektedir. Bu sınıftaki öğrencilerin dilleri bilme durumlarıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* İngilizce bilenlerin sayısı, Almanca bilenlerin sayısının 33 katıdır.
* Sadece bir dil bilenlerin sayısı, en az iki dil bilenlerin sayısına eşittir.
* Almanca ve Fransızca dillerinin her ikisini de bilen öğrenci bulunmamaktadır.

Sınıf mevcudu 4040'tan az olduğuna göre, Fransızca bilen öğrenci sayısı en çok kaçtır?

  1. A
    28
  2. B
    29
  3. 30Cevap
  4. D
    32
  5. E
    33

Cevap

Fransızca bilen öğrenci sayısı en çok 30 olabilir.
Doğru cevap 30'dur. Küme probleminin koşulları cebirsel olarak ifade edilip b=0b = 0 seçildiğinde Fransızca bilenlerin sayısı 3z−x3z - x olur. 2x≥z2x \ge z sınır koşulu ve sınıf mevcudunun en çok 38 (x+z≤19x+z \le 19) olabileceği dikkate alındığında, x+z=18x+z = 18 ve z=12,x=6z = 12, x = 6 değerleri için tüm bölgeler pozitif tam sayı kalırken Fransızca bilen sayısı en fazla 30 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Almanca ve Fransızca dillerini birlikte bilen öğrenci bulunmadığından A∩F=∅A \cap F = \emptyset olarak belirlenir. Venn şemasındaki bölgeler harflendirilir: Sadece İngilizce bilenler aa, sadece Almanca bilenler bb, sadece Fransızca bilenler cc, İngilizce ve Almanca bilenler xx, İngilizce ve Fransızca bilenler zz olsun.
s(I)=a+x+zs(I) = a + x + z, s(A)=b+xs(A) = b + x ve s(F)=c+zs(F) = c + z olarak tanımlanır.
Sorudaki sözel ifadeleri matematiksel değişkenlere dönüştürmek için.
2
Verilen koşullara göre denklemler kurulur. İngilizce bilenlerin sayısı Almanca bilenlerin 3 katıdır: a+x+z=3(b+x)  ⟹  a=3b+2x−za + x + z = 3(b + x) \implies a = 3b + 2x - z. Sadece bir dil bilenlerin sayısı en az iki dil bilenlere eşittir: a+b+c=x+za + b + c = x + z (çünkü A∩F=∅A \cap F = \emptyset olduğundan başka kesişim bölgesi yoktur).
c=x+z−a−bc = x + z - a - b ifadesinde aa yerine yazıldığında c=2z−x−4bc = 2z - x - 4b bulunur.
Bilinmeyen sayısını azaltıp Fransızca bilenlerin sayısını (s(F)=c+zs(F) = c + z) tek bir cebirsel ifadeye indirgemek için.
3
Sınıf mevcudu (NN) ifadesi düzenlenir ve eşitsizlik sınırları belirlenir. N=a+b+c+x+z=2(x+z)<40  ⟹  x+z≤19N = a + b + c + x + z = 2(x + z) < 40 \implies x + z \le 19 (sınıf mevcudu tam sayı olmak zorunda olduğundan).
x+z≤19x + z \le 19 sınır koşulu elde edilir.
Sınıf mevcudunun üst sınırını kullanarak değişkenlerin aralığını daraltmak için.
4
s(F)=c+z=3z−x−4bs(F) = c + z = 3z - x - 4b ifadesinin en büyük değeri için b=0b = 0 seçilir. Bölgelerdeki eleman sayılarının negatif olamayacağı sınır durumları (a≥0  ⟹  2x≥za \ge 0 \implies 2x \ge z ve c≥0  ⟹  2z≥xc \ge 0 \implies 2z \ge x) altında maksimum değer aranır.
x+z=18x+z=18 için en büyük z=12,x=6z=12, x=6 seçildiğinde s(F)=3(12)−6−0=30s(F) = 3(12) - 6 - 0 = 30 bulunur. x+z=19x+z=19 için en büyük z=12,x=7z=12, x=7 seçildiğinde s(F)=29s(F) = 29 bulunur.
Tam sayı sınır koşullarını sağlayan en büyük değeri bulmak için.

Anahtar Kavram

Cebirsel Modelleme ve Eşitsizlik Sınırları Yardımıyla Küme Problemlerinin Çözümü

Alternatif Yöntem

Cebirsel denklemleri yazdıktan sonra Venn şemasında bölgeleri doğrudan sayısal olarak deneyerek de sınırlar görülebilir; ancak en büyük değeri garantilemek için 2x≥z2x \ge z eşitsizliğini kurmak en güvenli yoldur.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Küme Problemleri

Bu konudan daha fazla soru