Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKüme Problemleri

Bir iş yerindeki 3535 çalışanın tamamı çay, kahve veya meyve suyu ikramlarından en az birini almıştır. Bu çalışanların ikramları alma durumlarıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Sadece çay, sadece kahve ve sadece meyve suyu alanların sayıları birbirine eşittir.
* Çay ve kahve alanların sayısı, çay ve meyve suyu alanların sayısına eşittir.
* Sadece çay ve kahve alanların sayısı, sadece kahve ve meyve suyu alanların sayısının 22 katıdır.
* En az iki ikram alanların sayısı, üç ikramı da alanların sayısının 22 katıdır.

Buna göre, bu iş yerinde çay ikramı alan çalışan sayısı kaçtır?

  1. A
    13
  2. B
    15
  3. C
    19
  4. 23Cevap
  5. E
    25

Cevap

Çay ikramı alan çalışan sayısı 23'tür.
Çay ikramı alanların sayısı, çay kümesini oluşturan tüm alt bölgelerin toplamıdır. Kurulan denklem sisteminden elde edilen tek tam sayı çözümü x=5,f=2x=5, f=2 olup bu değerler yerlerine yazıldığında çay içenlerin sayısı 5+4+4+10=235 + 4 + 4 + 10 = 23 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Küme bölgelerini değişkenlerle tanımlama
Çay (C\cÇ), Kahve (KK) ve Meyve Suyu (MM) kümeleri tanımlanır. Sadece bir içecek alanlar: s(Sadece C\c)=s(Sadece K)=s(Sadece M)=xs(\text{Sadece } Ç) = s(\text{Sadece } K) = s(\text{Sadece } M) = x olsun. Sadece iki içecek alanlar: dd (sadece çay ve kahve), ee (sadece çay ve meyve suyu), ff (sadece kahve ve meyve suyu) olsun. Üçünü de alanlar ise gg olarak adlandırılır.
Soruda verilen sözel ifadeleri cebirsel denklemlere dönüştürmek için her bölgeye bir değişken atanır.
2
Koşullara göre denklemleri kurma
1. Çay ve kahve alanlar ile çay ve meyve suyu alanlar eşit olduğundan: d+g=e+g⇒d=ed + g = e + g \Rightarrow d = e.
2. Sadece çay ve kahve alanlar, sadece kahve ve meyve suyu alanların 2 katı olduğundan: d=2fd = 2f (dolayısıyla e=2fe = 2f).
3. En az iki ikram alanlar, üçünü de alanların 2 katı olduğundan: d+e+f+g=2g⇒d+e+f=gd + e + f + g = 2g \Rightarrow d + e + f = g elde edilir.
Verilen tüm ipuçlarını matematiksel eşitlikler haline getirerek değişkenler arası geçiş sağlamak.
3
Değişkenleri tek bir bilinmeyen cinsinden yazma
d=2fd = 2f, e=2fe = 2f ve g=2f+2f+f=5fg = 2f + 2f + f = 5f olarak bulunur.
Denklemleri çözebilmek için bilinmeyen sayısını en aza indirmek gerekir.
4
Toplam çalışan sayısından Diophantine denklemini kurma ve çözme
Toplam = 3x+d+e+f+g=35⇒3x+2f+2f+f+5f=35⇒3x+10f=353x + d + e + f + g = 35 \Rightarrow 3x + 2f + 2f + f + 5f = 35 \Rightarrow 3x + 10f = 35 elde edilir. xx ve ff kişi sayısı temsil ettiğinden pozitif tam sayı olmalıdır. Bu eşitliği sağlayan tek pozitif tam sayı ikilisi f=2f = 2 ve x=5x = 5 değerleridir. Buna göre bölgeler: x=5x = 5, d=4d = 4, e=4e = 4, f=2f = 2, g=10g = 10 olarak belirlenir.
Toplam çalışan sayısını kullanarak bilinmeyenlerin değerlerini tam sayı analizine göre saptamak.
5
Çay alan çalışan sayısını hesaplama
s(C\c)=x+d+e+g=5+4+4+10=23s(Ç) = x + d + e + g = 5 + 4 + 4 + 10 = 23 bulunur.
Çay kümesinin tamamına ait olan tüm bölgelerin eleman sayıları toplanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Üçlü küme problemlerinde Venn şeması bölgelerini harflendirerek denklem kurma ve tam sayı kısıtlarına göre çözümleme yapma.
Bu soruyu puanla

Konular

Küme Problemleri

Bu konudan daha fazla soru