Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKüme Problemleri

Bir seyahat acentesinin düzenlediği tura katılan 7070 turistin her biri Efes (EE), Kapadokya (KK) ve Pamukkale (PP) ören yerlerinden en az birini ziyaret etmiştir.

Bu turistlerin ziyaret ettikleri yerlerle ilgili aşağıdaki bilgiler bilinmektedir:
* Sadece Kapadokya'yı ziyaret edenlerin sayısı, sadece Efes'i ziyaret edenlerin sayısının 22 katıdır.
* Sadece Pamukkale'yi ziyaret edenlerin sayısı, Efes ve Kapadokya'yı ziyaret edip Pamukkale'yi ziyaret etmeyenlerin sayısına eşittir.
* Efes ve Pamukkale'yi ziyaret edip Kapadokya'yı ziyaret etmeyenlerin sayısı, Kapadokya ve Pamukkale'yi ziyaret edip Efes'i ziyaret etmeyenlerin sayısına eşittir.
* Efes ve Kapadokya'yı ziyaret edenlerin sayısı 2626'dır.
* Sadece bir ören yerini ziyaret eden toplam turist sayısı 3636'dır.
* Her üç ören yerini de ziyaret eden turist sayısı 88'dir.

Buna göre, bu grupta Kapadokya'yı ziyaret eden toplam turist sayısı kaçtır?

  1. A
    30
  2. B
    34
  3. 42Cevap
  4. D
    36
  5. E
    38

Cevap

Kapadokya'yı ziyaret eden toplam turist sayısı 42'dir.
Kapadokya'yı ziyaret eden turistlerin toplam sayısı, Kapadokya kümesinin alt bölgelerindeki tüm elemanların (sadece Kapadokya'yı ziyaret edenler, sadece Efes ve Kapadokya'yı ziyaret edenler, sadece Kapadokya ve Pamukkale'yi ziyaret edenler ve her üçünü de ziyaret edenler) toplamı olan 12+18+4+8=4212 + 18 + 4 + 8 = 42 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Venn şemasındaki bölgeleri değişkenlerle ifade edelim. Sadece Efes'i ziyaret edenlere aa, sadece Kapadokya'yı ziyaret edenlere bb, sadece Pamukkale'yi ziyaret edenlere cc diyelim. Sadece Efes ve Kapadokya'yı ziyaret edenlere xx, sadece Efes ve Pamukkale'yi ziyaret edenlere yy, sadece Kapadokya ve Pamukkale'yi ziyaret edenlere zz diyelim. Her üçünü ziyaret edenler t=8t = 8 olarak verilmiştir.
Değişkenler: a,b,c,x,y,za, b, c, x, y, z ve t=8t = 8.
Problemdeki sözel ifadeleri matematiksel modelleme için değişkenlere aktarmak.
2
Soruda verilen bilgileri bu değişkenler cinsinden denklem haline getirelim:
1. b=2ab = 2a
2. c=xc = x
3. y=zy = z
4. Efes ve Kapadokya'yı ziyaret edenlerin toplamı: x+t=26  ⟹  x+8=26  ⟹  x=18x + t = 26 \implies x + 8 = 26 \implies x = 18
5. Sadece bir yeri ziyaret edenler: a+b+c=36a + b + c = 36
6. Toplam turist sayısı: a+b+c+x+y+z+t=70a + b + c + x + y + z + t = 70
x=18x = 18 denklemi ve diğer ilişkiler elde edildi.
Verilen kısıtları matematiksel denklemlere dönüştürmek.
3
x=18x = 18 ve c=xc = x olduğundan c=18c = 18 bulunur. Bu değeri sadece bir yeri ziyaret edenler denkleminde yerine yazalım: a+b+18=36  ⟹  a+b=18a + b + 18 = 36 \implies a + b = 18. b=2ab = 2a yazarak a+2a=18  ⟹  3a=18  ⟹  a=6a + 2a = 18 \implies 3a = 18 \implies a = 6 ve b=12b = 12 bulunur.
a=6a = 6, b=12b = 12, c=18c = 18, x=18x = 18.
Elde edilen verilerle tek değişkenli denklemleri çözmek.
4
Bulduğumuz değerleri toplam turist sayısı denkleminde yerine yerleştirerek yy ve zz değerlerini bulalım: 6+12+18+18+y+z+8=70  ⟹  62+y+z=70  ⟹  y+z=86 + 12 + 18 + 18 + y + z + 8 = 70 \implies 62 + y + z = 70 \implies y + z = 8. y=zy = z olduğundan 2y=8  ⟹  y=42y = 8 \implies y = 4 ve z=4z = 4 elde edilir.
y=4y = 4 ve z=4z = 4.
Kesişim bölgelerindeki eksik eleman sayılarını tamamlamak.
5
Kapadokya'yı ziyaret eden toplam turist sayısını bulmak için Kapadokya kümesinin (KK) elemanlarını toplayalım: s(K)=b+x+z+t=12+18+4+8=42s(K) = b + x + z + t = 12 + 18 + 4 + 8 = 42 olarak bulunur.
s(K)=42s(K) = 42.
İstenen kümenin eleman sayısını hesaplamak.

Anahtar Kavram

Üçlü küme problemlerinde Venn şeması bölgelerini harflendirerek denklem kurma ve küme eleman sayılarını bulma.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Küme Problemleri

Bu konudan daha fazla soru