Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKüme Problemleri

Bir kahve dükkanında sipariş veren 4848 müşterinin tamamı; süt (SS), şurup (S\cŞ) ve buz (BB) ilavelerinden en az birini tercih etmiştir.

Bu müşterilerin tercihleriyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
* Bu ilavelerden yalnızca ikisini tercih eden müşteri sayısı, üçünü de tercih eden müşteri sayısının 33 katıdır.
* Yalnızca bir ilave tercih eden müşteri sayısı, en az iki ilave tercih eden müşteri sayısının 22 katıdır.
* Süt ilavesini tercih eden müşteri sayısı 2626, şurup ilavesini tercih eden müşteri sayısı 2424'tür.

Buna göre, bu müşterilerden kaç tanesi buz ilavesini tercih etmiştir?

  1. A
    14
  2. B
    16
  3. 18Cevap
  4. D
    20
  5. E
    22

Cevap

Buz ilavesini tercih eden müşteri sayısı 18'dir.
Verilen oranlar ve toplam müşteri sayısından yola çıkılarak bölge toplamları belirlenir. Süt ve şurup ilavesi tercih edenlerin denklemleri taraf tarafa toplandığında elde edilen cebirsel ifade ile yalnız bir ilave tercih edenlerin toplamı birleştirildiğinde buz ilavesi tercih edenlerin sayısı olan 18 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen oranları kullanarak küme bölgelerini temsil eden değişkenleri belirleyelim.
Üç ilaveyi de tercih edenlerin sayısı xx olsun. Yalnızca iki ilaveyi tercih edenlerin sayısı 3x3x olur. En az iki ilaveyi tercih edenlerin sayısı 3x+x=4x3x + x = 4x olur. Yalnızca bir ilaveyi tercih edenlerin sayısı ise 2×4x=8x2 \times 4x = 8x olur. Toplam müşteri sayısı 8x+3x+x=12x=488x + 3x + x = 12x = 48 olarak verildiğinden x=4x = 4 bulunur. Buradan; üçünü de tercih edenlerin sayısı 44, yalnızca ikisini tercih edenlerin sayısı 1212, yalnızca birini tercih edenlerin sayısı 3232 olarak elde edilir.
Mevcut verilerden yararlanarak kümenin temel bölge toplamlarını sayısal değerlere dönüştürmek gerekir.
2
Küme bölgelerini harflendirerek süt ve şurup kümelerinin eleman sayılarını veren denklemleri kuralım.
Yalnızca Süt alanlar aa, yalnızca Şurup alanlar bb, yalnızca Buz alanlar cc olsun (a+b+c=32a + b + c = 32). Sadece Süt ve Şurup alanlar dd, sadece Şurup ve Buz alanlar ee, sadece Süt ve Buz alanlar ff olsun (d+e+f=12d + e + f = 12). Üçünü de alanların sayısı g=4g = 4 olsun. Süt tercih edenler: a+d+f+4=26  ⟹  a+d+f=22a + d + f + 4 = 26 \implies a + d + f = 22 (Denklem 1). Şurup tercih edenler: b+d+e+4=24  ⟹  b+d+e=20b + d + e + 4 = 24 \implies b + d + e = 20 (Denklem 2).
Süt ve şurup tercih eden müşteri sayılarını bölgelerin harflendirilmiş ifadeleri cinsinden yazarak ortak çözüme zemin hazırlamak gerekir.
3
Elde edilen denklemleri taraf tarafa toplayıp bilinen toplamları yerine yazarak buz kümesinin eleman sayısını bulalım.
Denklem 1 ve Denklem 2 taraf tarafa toplanırsa: a+b+2d+e+f=42a + b + 2d + e + f = 42 elde edilir. Burada a+b=32−ca + b = 32 - c ve e+f=12−de + f = 12 - d değerleri yerine yazılırsa: (32−c)+2d+(12−d)=42  ⟹  44−c+d=42  ⟹  c−d=2(32 - c) + 2d + (12 - d) = 42 \implies 44 - c + d = 42 \implies c - d = 2 bulunur. Bizden istenen buz tercih edenlerin sayısı: s(B)=c+e+f+4=c+(12−d)+4=c−d+16s(B) = c + e + f + 4 = c + (12 - d) + 4 = c - d + 16 şeklindedir. Burada c−d=2c - d = 2 yazılırsa s(B)=2+16=18s(B) = 2 + 16 = 18 olarak hesaplanır.
Her bir bölgenin eleman sayısı tek tek bulunamasa da, cebirsel sadeleştirme ile buz kümesinin eleman sayısı doğrudan bulunabilir.

Anahtar Kavram

Küme Problemleri ve Denklem Kurma
Bu soruyu puanla

Konular

Küme Problemleri

Bu konudan daha fazla soru