Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKüme Problemleri

Bir sınıftaki öğrencilerin tamamı İngilizce ve Almanca kurslarından en az birine gitmektedir. Bu sınıftaki öğrencilerle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* İngilizce kursuna giden öğrenci sayısı, Almanca kursuna giden öğrenci sayısının 22 katıdır.
* Sadece Almanca kursuna giden öğrenci sayısı, her iki kursa da giden öğrenci sayısından fazladır.

Bu sınıfta toplam 3636 öğrenci olduğuna göre, her iki kursa da giden öğrenci sayısı en çok kaçtır?

  1. 6Cevap
  2. B
    7
  3. C
    9
  4. D
    12
  5. E
    15

Cevap

Her iki kursa da giden öğrenci sayısı en çok 6'dır.
Küme bölgeleri harflendirildiğinde elde edilen 3b+2x=363b + 2x = 36 denklemine göre, bb değerinin bir tam sayı olabilmesi için xx değeri 33'ün katı olmalıdır. Sadece Almanca kursuna giden öğrenci sayısı (bb), her iki kursa giden öğrenci sayısından (xx) fazla olduğuna göre b>xb > x eşitsizliği yazılır. Bu eşitsizlikte bb yerine 12−23x12 - \frac{2}{3}x yazıldığında x<7,2x < 7,2 elde edilir. 7,27,2 değerinden küçük ve 33'ün katı olan en büyük pozitif tam sayı 66 olduğundan, her iki kursa giden öğrenci sayısı en çok 6 olabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Küme bölgelerini harflendirerek temel denklemi yazın.
İngilizce ve Almanca kurslarına giden öğrencilerin kümesi sırasıyla I˙İ ve AA olsun. Sadece İngilizceye gidenler aa, sadece Almancaya gidenler bb ve her iki kursa birden gidenler xx olsun. Sınıfta kursa gitmeyen öğrenci bulunmadığından a+b+x=36a + b + x = 36 olur.
Soruda verilen toplam öğrenci sayısını cebirsel olarak ifade etmek için.
2
Kurslara katılan toplam öğrenci sayıları arasındaki kat ilişkisini kurun.
İngilizce kursuna giden toplam öğrenci sayısı s(I˙)=a+xs(İ) = a + x ve Almanca kursuna giden toplam öğrenci sayısı s(A)=b+xs(A) = b + x olur. Verilen bilgiye göre: a+x=2(b+x)  ⟹  a+x=2b+2x  ⟹  a=2b+xa + x = 2(b + x) \implies a + x = 2b + 2x \implies a = 2b + x elde edilir.
İngilizce kursuna gidenlerin Almanca kursuna gidenlerin 2 katı olduğunu denklem haline getirmek için.
3
Elde edilen ifadeleri toplam öğrenci sayısı denkleminde yerine yazın ve sadeleştirin.
a=2b+xa = 2b + x ifadesi a+b+x=36a + b + x = 36 denkleminde yerine yazılırsa: (2b+x)+b+x=36  ⟹  3b+2x=36(2b + x) + b + x = 36 \implies 3b + 2x = 36 bulunur. Buradan 3b=36−2x3b = 36 - 2x veya b=12−23xb = 12 - \frac{2}{3}x elde edilir. bb bir öğrenci sayısı (tam sayı) olmak zorunda olduğundan, xx değeri 33'ün katı olmalıdır.
İki bilinmeyenli tek bir denklem elde ederek değişkenler arasındaki bölünebilirlik ilişkisini belirlemek için.
4
Verilen eşitsizlik koşulunu uygulayarak sınır değerini bulun.
Sadece Almanca kursuna gidenlerin sayısı (bb), her iki kursa gidenlerin sayısından (xx) fazla olduğuna göre b>xb > x olmalıdır. bb yerine 12−23x12 - \frac{2}{3}x yazılırsa: 12−23x>x  ⟹  12>53x  ⟹  36>5x  ⟹  x<7,212 - \frac{2}{3}x > x \implies 12 > \frac{5}{3}x \implies 36 > 5x \implies x < 7,2 elde edilir.
Her iki kursa giden ö��renci sayısının üst sınırını belirlemek için.
5
Sınır değerine ve bölünebilirlik kuralına uygun en büyük de��eri seçin.
xx sayısı hem 7,27,2 değerinden küçük olmalı hem de 33'ün katı bir pozitif tam sayı olmalıdır. Bu koşulları sağlayan xx değerleri 33 veya 66 olabilir. En çok dendiği için x=6x = 6 seçilir.
Soruda istenen maksimum değeri bulmak için.

Anahtar Kavram

Küme problemlerinde sözel ifadelerin Venn şeması bölgelerine doğru yerleştirilmesi, elde edilen denklemlerde kişi sayılarının pozitif tam sayı olma koşulunun kullanılması ve eşitsizlik sınırlarının belirlenmesi.

Alternatif Yöntem

Soruyu çözerken formüller yerine doğrudan bir Venn şeması çizerek bölgelere sırasıyla xx, aa ve bb yazıp denklemleri şema üzerinde görselleştirmek, hata yapma riskini azaltır ve hangi bölgenin hangi koşulla sınırlı olduğunu net görmeyi sağlar.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Küme Problemleri

Bu konudan daha fazla soru