Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÖnermeler ve Bağlaçlar
aa ve bb pozitif tam sayılar olmak üzere,
p:a+b toplamı bir asal sayıdır.q:a⋅b c¸arpımı bir c¸ift sayıdır.r:ab bir tek sayıdır.\begin{aligned} p&: a + b \text{ toplamı bir asal sayıdır.} \\ q&: a \cdot b \text{ çarpımı bir çift sayıdır.} \\ r&: a^b \text{ bir tek sayıdır.} \end{aligned}
önermeleri veriliyor.
(p∧r)⇒q(p \wedge r) \Rightarrow q
önermesi yanlış olduğuna göre;
I. a+ba + b toplamı bir çift sayıdır.
II. a−b=0a - b = 0 dır.
III. a⋅ba \cdot b çarpımı bir asal sayıdır.
ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?
  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız II
  3. I ve IICevap
  4. D
    I ve III
  5. E
    I, II ve III

Cevap

I ve II
Verilen bileşik önermenin yanlış olabilmesi için ise bağlacının sol tarafının doğru, sağ tarafının yanlış olması gerekir. Buradan p ve r önermelerinin doğru, q önermesinin ise yanlış olduğu bulunur. Çarpımları tek olan iki pozitif tam sayı tek olmak zorundadır. Dolayısıyla hem a hem de b tek sayıdır. İki tek sayının toplamı çift sayı olacağından, asal sayı olduğu bilinen a + b toplamı ancak en küçük ve tek çift asal sayı olan 2 olabilir. Buradan a = 1 ve b = 1 bulunur. Bu değerler yerine yazıldığında toplamları 2 (çift) ve farkları 0 (çift) olduğundan birinci ve ikinci ifadeler her zaman doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşik önermenin doğruluk değerini çözümleme
p∧r≡1p \wedge r \equiv 1 ve q≡0q \equiv 0
İse (⇒\Rightarrow) bağlacının sonucunun yanlış (0) olması için, birinci kısmın doğru (1) ve ikinci kısmın yanlış (0) olması gerekir.
2
Bileşen önermelerin doğruluk değerlerini belirleme
p≡1p \equiv 1, r≡1r \equiv 1 ve q≡0q \equiv 0
Ve (∧\wedge) bağlacının sonucunun 1 olması için her iki bileşenin de 1 olması gerekir.
3
Sayıların teklik ve çiftlik durumlarını belirleme
aa ve bb sayılarının ikisi de tek sayıdır.
q≡0q \equiv 0 olduğundan çarpımları çift değildir, yani tektir. İki pozitif tam sayının çarpımının tek olması için her ikisinin de tek olması gerekir.
4
Toplamın alabileceği değeri bulma ve sayıları belirleme
a=1a = 1 ve b=1b = 1
aa ve bb tek sayılar olduğundan toplamları a+ba+b çifttir. p≡1p \equiv 1 olduğundan a+ba+b bir asal sayıdır. Çift olan tek asal sayı 2 olduğundan a+b=2a+b=2 olmalıdır. Pozitif tam sayılarda bu durumu sağlayan tek ikili a=1,b=1a=1, b=1 durumudur.
5
Öncülleri elde edilen değerlere göre sınama
I ve II doğru, III yanlıştır.
a=1a=1 ve b=1b=1 için a+b=2a+b=2 (çift), a−b=0a-b=0 (çift) olur. a⋅b=1a \cdot b = 1 olup 1 asal sayı değildir.

Anahtar Kavram

Önermelerin Doğruluk Değerleri ve Bileşik Önermeler
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Önermeler ve Bağlaçlar

Bu konudan daha fazla soru