Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

AA ve BB kümeleri aynı EE evrensel kümesinin alt kümeleridir.

* s(E)=34s(E) = 34
* s(A′∖B′)=2⋅s(B′∖A′)s(A' \setminus B') = 2 \cdot s(B' \setminus A')
* s(A∩B)=6s(A \cap B) = 6
* s(A′∩B′)=4s(A' \cap B') = 4

Buna göre, AA kümesinin tümleyeninin eleman sayısı olan s(A′)s(A') kaçtır?

Cevap: 20

Cevap

A kümesinin tümleyeninin eleman sayısı 20'dir.
Kümeler arasındaki fark ve tümleme dönüşümleri yapıldığında, evrensel kümenin eleman sayısı denklemi kurulup çözülerek A kümesinin tümleyeninin eleman sayısı 20 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kümelerdeki fark ve tümleme özelliklerini kullanarak alt kümeleri basitleştirme
A′∖B′=B∖AA' \setminus B' = B \setminus A ve B′∖A′=A∖BB' \setminus A' = A \setminus B eşitlikleri elde edilir.
Tümleyen fark işlemlerini temel küme farkı işlemlerine dönüştürerek değişken ataması yapabilmek için.
2
Değişken tanımlayarak eleman sayılarını ifade etme
s(A∖B)=xs(A \setminus B) = x ve s(B∖A)=2xs(B \setminus A) = 2x olarak belirlenir.
Verilen s(A′∖B′)=2⋅s(B′∖A′)s(A' \setminus B') = 2 \cdot s(B' \setminus A') oranını denklemde kullanabilmek için.
3
Evrensel kümenin eleman sayısı denklemini kurma
34=x+2x+6+434 = x + 2x + 6 + 4 denklemi elde edilir.
Evrensel kümenin, birbirini dışlayan dört alt bölgenin eleman sayılarının toplamına eşit olması kuralını uygulamak için.
4
Denklemi çözerek x değerini bulma
3x=24  ⟹  x=83x = 24 \implies x = 8 bulunur.
Bölgelerin eleman sayılarını netleştirmek için.
5
s(A′)s(A') değerini hesaplama
s(A′)=s(B∖A)+s(A′∩B′)=16+4=20s(A') = s(B \setminus A) + s(A' \cap B') = 16 + 4 = 20 bulunur.
A kümesinin dışında kalan bölgelerin eleman sayıları toplamını bulmak için.

Anahtar Kavram

Kümelerde fark işleminin tümleme işlemiyle olan ilişkisi ve evrensel kümenin eleman sayısı dağılımı.
Bu soruyu puanla

Konular

Kümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

Bu konudan daha fazla soru