Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

Bir kahvecide bulunan tüm müşterilerin oluşturduğu küme evrensel küme EE'dir. Bu müşterilerden;
* Kahvesine süt ekletenlerin kümesi SS,
* Kahvesine şurup ekletenlerin kümesi S\cŞ

olarak tanımlanıyor.

Kahvesine süt ve şurup ekletmeyen müşterilerin sayısı, sadece şurup ekletenlerin sayısının 2 katına, sadece süt ekletenlerin sayısının ise 3 katına eşittir.

Kahvesine hem süt hem de şurup ekleten müşteri sayısı 4'tür.

Bu kahvecide süt veya şurup ekleten toplam müşteri sayısı 34 olduğuna göre, kahvecideki toplam müşteri sayısı kaçtır?

Cevap: 70

Cevap

Kahvecideki toplam müşteri sayısı 70'tir.
Süt veya şurup ekletenlerin kümesi S∪S\cS \cup Ş olup eleman sayısı s(S∖S\c)+s(S\c∖S)+s(S∩S\c)s(S \setminus Ş) + s(Ş \setminus S) + s(S \cap Ş) toplamına eşittir. Verilen oranlar kullanılarak bu bölgelerin eleman sayıları sırasıyla 12, 18 ve kesişim 4 olarak bulunur. Tümleyen bölge olan süt ve şurup ekletmeyenlerin sayısı 36'dır. Evrensel kümenin eleman sayısı bu iki grubun toplamı olan 70'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Kümelerdeki bölgeleri değişkenlerle tanımlama ve oranları belirleme
s(S∖S\c)=xs(S \setminus Ş) = x, s(S\c∖S)=ys(Ş \setminus S) = y ve s((S∪S\c)′)=zs((S \cup Ş)') = z olsun. z=2y=3xz = 2y = 3x olduğundan y=1,5xy = 1,5x ve z=3xz = 3x olur.
Soruda verilen oranları tek bir değişken cinsinden ifade etmek için.
2
Birleşim kümesinin eleman sayısı denkleminden x değerini bulma
s(S∪S\c)=s(S∖S\c)+s(S\c∖S)+s(S∩S\c)=x+y+4=34s(S \cup Ş) = s(S \setminus Ş) + s(Ş \setminus S) + s(S \cap Ş) = x + y + 4 = 34 ise x+1,5x=30  ⟹  2,5x=30  ⟹  x=12x + 1,5x = 30 \implies 2,5x = 30 \implies x = 12 bulunur.
Süt veya şurup ekletenlerin toplam sayısını kullanarak değişkenin değerini hesaplamak için.
3
Diğer bölgelerin eleman sayılarını hesaplama
y=1,5×12=18y = 1,5 \times 12 = 18 ve z=3×12=36z = 3 \times 12 = 36 olarak bulunur.
Tüm alt bölgelerin eleman sayılarını belirlemek için.
4
Toplam müşteri sayısını hesaplama
s(E)=s(S∪S\c)+s((S∪S\c)′)=34+36=70s(E) = s(S \cup Ş) + s((S \cup Ş)') = 34 + 36 = 70 bulunur.
Evrensel kümenin toplam eleman sayısına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Kümelerde fark ve tümleme işlemlerinin eleman sayıları arasındaki ilişkileri cebirsel olarak modelleme.
Bu soruyu puanla

Konular

Kümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

Bu konudan daha fazla soru