Bir okuldaki 54 öğrencinin tamamı İngilizce (I), Almanca (A) ve Fransızca (F) dil kursları… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

Bir okuldaki 54 öğrencinin tamamı İngilizce ( $I$ ), Almanca ( $A$ ) ve Fransızca ( $F$ ) dil kurslarından istediklerine katılabilmektedir. Bu okulda bu üç dil kursundan hiçbirine katılmayan öğrenciler de bulunmaktadır. Kurslara katılan öğrencilerle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Yalnızca bir dil kursuna katılan öğrenci sayısı 24'tür.
* En az iki dil kursuna katılan öğrenci sayısı 18'dir.
* Yalnızca iki dil kursuna katılan öğrenci sayısı, üç dil kursuna da katılan öğrenci sayısının iki katıdır.

Buna göre, bu okuldaki öğrencilerden oluşturulan

(I \setminus A)' \cap (A \setminus F)' \cap (F \setminus I)'

kümesinin eleman sayısı kaçtır?

A
6
B
12
18Cevap
D
30
E
48

Cevap

Doğru cevap 18'dir. Bu değer, hiçbir dil kursuna katılmayan 12 öğrenci ile her üç dil kursuna da katılan 6 öğrencinin toplamıdır.

İstenen

(I \setminus A)' \cap (A \setminus F)' \cap (F \setminus I)'

kümesi mantıksal olarak analiz edildiğinde, bu kümenin elemanlarının ya hiçbir dil kursuna katılmayan öğrenciler (evrensel kümenin bu üç küme dışındaki kısmı) ya da her üç dil kursuna da katılan öğrenciler olduğu görülür. Sayısal verilerden hiçbir kursa katılmayan öğrenci sayısı 12, her üç kursa katılan öğrenci sayısı ise 6 olarak bulunur. Bu iki grup ayrık olduğundan, toplam eleman sayısı 12 + 6 = 18 olur.

Adım Adım Çözüm

İstenen küme ifadesindeki fark işlemlerini kesişim ve tümleyen cinsinden yazarak sadeleştirelim.

I \setminus A = I \cap A'

kuralından hareketle;

(I \setminus A)' = I' \cup A

(A \setminus F)' = A' \cup F

(F \setminus I)' = F' \cup I

ifadeleri elde edilir.

Tümleme ve fark işlemlerini daha kolay analiz edebilmek için kümeyi birleşim ve kesişim formuna dönüştürmek gerekir.

Elde edilen bu üç tümleyen kümesinin kesişim kümesini (

T

) mantıksal olarak analiz edelim.

T = (I' \cup A) \cap (A' \cup F) \cap (F' \cup I)

kümesindeki bir

x

elemanı için:

x

herhangi bir kümeye ait değilse (

x \in I', A', F'

) bu kesişimin elemanıdır. Eğer

x \in I

ise sırasıyla

x \in A

x \in F

olmalıdır. Dolayısıyla

T = (I \cup A \cup F)' \cup (I \cap A \cap F)

olur.

Kesişim kümesinin hangi bölgeleri kapsadığını belirlemek için elemanların aitlik durumlarını tek tek incelemek gerekir.

Verilen sayısal verilerden yararlanarak gerekli alt kümelerin eleman sayılarını bulalım.

Kursa katılan toplam öğrenci sayısı

24 + 18 = 42

'dir. Hiçbir kursa katılmayanlar

s((I \cup A \cup F)') = 54 - 42 = 12

olur. Üç kursa katılanlar için;

2x + x = 18 \implies 3x = 18 \implies x = 6

bulunur.

Evrensel kümedeki eleman dağılımlarını kullanarak hedef kümenin bileşenlerinin büyüklüklerini hesaplamak gerekir.

Bulunan değerleri birleştirerek nihai kümenin eleman sayısını hesaplayalım.

s(T) = s((I \cup A \cup F)') + s(I \cap A \cap F) = 12 + 6 = 18

bulunur.

Birleşim işleminin eleman sayısını bulmak için ayrık iki kümenin eleman sayıları toplanır.

Anahtar Kavram

Kümelerde fark ve tümleme işlemlerinin mantıksal analizle sadeleştirilmesi ve eleman sayısının Venn şeması bölgelerine göre hesaplanması.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru