a ve b pozitif tam sayılardır. (a-1)! \cdot 120 = b! olduğuna göre, a sayısının alabileceğ… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

a

b

pozitif tam sayılardır.

(a-1)! \cdot 120 = b!

olduğuna göre,

a

sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Verilen eşitliği sağlayan

a

sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı 127'dir.

Verilen denklem

\frac{b!}{(a-1)!} = 120

şeklinde düzenlendiğinde, 120 sayısı ardışık tam sayıların çarpımı olarak 4 farklı şekilde yazılabilir: 120,

6 \cdot 5 \cdot 4

5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2

5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1

. Buradan

a

değerleri 120, 4, 2 ve 1 bulunur. Bu değerlerin toplamı 127'dir.

Verilen denklemi düzenleyerek faktöriyellerin oranını elde etme.

\frac{b!}{(a-1)!} = 120

İki faktöriyelli ifade arasındaki ilişkiyi daha kolay analiz etmek ve ardışık çarpanları belirlemek için denklemi oran biçiminde yazarız.

Oranın sonucunun 120 olabilmesi için 120 sayısını ardışık pozitif tam sayıların çarpımı şeklinde yazma.

120 sayısı şu 4 farklı biçimde ardışık sayıların çarpımı olarak yazılabilir:
1.

120

(tek çarpan)
2.

6 \cdot 5 \cdot 4

5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2

5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1

Ardışık sayıların çarpımı biçimindeki her gösterim,

\frac{b!}{(a-1)!}

ifadesindeki sadeleşmeyen terimleri (yani

a

'dan

b

'ye kadar olan çarpanları) temsil eder.

Her durum için

a

b

pozitif tam sayı değerlerini hesaplama ve

a

değerlerini toplama.

1. Durum:

b = 120

a-1 = 119 \implies a = 120

2. Durum:

b = 6

a-1 = 3 \implies a = 4

3. Durum:

b = 5

a-1 = 1 \implies a = 2

4. Durum:

b = 5

a-1 = 0 \implies a = 1

a

değerlerinin toplamı:

120 + 4 + 2 + 1 = 127

olur.

Pozitif tam sayı koşulunu sağlayan tüm olası

a

değerlerini bularak soruda istenen toplamı elde ederiz.

Faktöriyel kavramı ve ardışık sayıların çarpımı olarak ifade edilmesi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru