Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÖnermeler ve Bağlaçlar
aa ve bb pozitif tam sayılar olmak üzere,
p:a asal sayıdır.q:a+b toplamı bir c¸ift sayıdır.r:b sayısı 3 ile tam bo¨lu¨nu¨r.\begin{aligned} p&: a \text{ asal sayıdır.} \\ q&: a + b \text{ toplamı bir çift sayıdır.} \\ r&: b \text{ sayısı 3 ile tam bölünür.} \end{aligned}
önermeleri veriliyor.

(p⇒q)∨r′(p \Rightarrow q) \lor r' önermesi yanlış olduğuna göre, a⋅ba \cdot b çarpımının alabileceği en küçük değer kaçtır?

  1. A
    9
  2. 6Cevap
  3. C
    12
  4. D
    15
  5. E
    18

Cevap

Çarpımın alabileceği en küçük değer 6'dır.
Verilen (p⇒q)∨r′≡0(p \Rightarrow q) \lor r' \equiv 0 bileşik önermesinden hareketle veya bağlacı kuralı gereği hem p⇒q≡0p \Rightarrow q \equiv 0 hem de r′≡0r' \equiv 0 olmalıdır. Buradan r≡1r \equiv 1 bulunur. İse bağlacının kuralı gereği p⇒q≡0p \Rightarrow q \equiv 0 olması için p≡1p \equiv 1 ve q≡0q \equiv 0 olmalıdır. Bu bulgulara göre aa asal sayı, a+ba+b toplamı tek sayı (yani aa ve bb'den biri tek, diğeri çift) ve bb sayısı 3 ile tam bölünen pozitif bir tam sayıdır. a⋅ba \cdot b çarpımını minimize etmek için bb sayısı 3'ün katı olan en küçük tek sayı (3) olarak seçildiğinde, aa sayısı çift asal sayı olan 2 olur ve çarpım 6 değerini alır. Eğer bb sayısı çift seçilirse (b=6b=6), aa tek asal sayı (33) olur ve çarpım 18 olur. Dolayısıyla minimum değer 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen bileşik önermenin doğruluk değerlerinin çözümlenmesi
p≡1p \equiv 1, q≡0q \equiv 0 ve r≡1r \equiv 1
(p⇒q)∨r′≡0(p \Rightarrow q) \lor r' \equiv 0 önermesinin yanlış olması için veya (∨\lor) bağlacının her iki yanındaki ifadelerin yanlış olması gerekir. Buradan p⇒q≡0p \Rightarrow q \equiv 0 ve r′≡0r' \equiv 0 elde edilir. İse (⇒\Rightarrow) bağlacının yanlış olması için önermenin birinci kısmının doğru (p≡1p \equiv 1), ikinci kısmının yanlış (q≡0q \equiv 0) olması gerekir. r′≡0r' \equiv 0 olduğundan r≡1r \equiv 1 olur.
2
Doğruluk değerlerinin matematiksel ifadelere dönüştürülmesi
aa asal sayıdır, a+ba+b toplamı tektir (çift değildir) ve bb sayısı 3'ün katıdır.
p≡1p \equiv 1 olması aa'nın asal sayı olduğunu, q≡0q \equiv 0 olması a+ba+b toplamının çift olmadığını (yani tek olduğunu), r≡1r \equiv 1 olması ise bb sayısının 3'ün katı olduğunu gösterir.
3
Matematiksel koşulları sağlayan en küçük pozitif tam sayı değerlerinin belirlenmesi
a=2a=2 ve b=3b=3 için a⋅b=6a \cdot b = 6 bulunur.
a+ba+b toplamı tek sayı olduğundan, aa ve bb sayılarından biri tek, diğeri çift olmalıdır. bb pozitif tam sayısı 3'ün katı olduğuna göre b∈{3,6,9,12,… }b \in \{3, 6, 9, 12, \dots\} olabilir. Eğer bb tek sayı olarak en küçük b=3b=3 seçilirse, aa çift olmak zorundadır. aa çift bir asal sayı olduğundan sadece a=2a=2 olabilir. Bu durumda a⋅b=2⋅3=6a \cdot b = 2 \cdot 3 = 6 elde edilir. Eğer bb çift sayı olarak en küçük b=6b=6 seçilirse, aa tek olmak zorundadır. En küçük tek asal sayı a=3a=3 olduğundan a⋅b=3⋅6=18a \cdot b = 3 \cdot 6 = 18 elde edilir. Bu iki durum karşılaştırıldığında en küçük çarpım değeri 6 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Bileşik önermelerin doğruluk değerleri ve temel sayı özellikleri ile ilişkilendirilmesi
Bu soruyu puanla

Konular

Önermeler ve Bağlaçlar

Bu konudan daha fazla soru