Examkin

Soru

Zorluk: ZorMutlak Değer Kavramı ve Özellikleri

Sayı doğrusu üzerinde sıfırdan farklı aa, bb ve cc gerçel sayıları ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmektedir:

* aa sayısının başlangıç noktasına olan uzaklığı, bb sayısının başlangıç noktasına olan uzaklığından büyüktür.
* aa ve bb sayıları arasındaki uzaklık, bu iki sayının başlangıç noktasına olan uzaklıklarının toplamına eşittir.
* bb ve cc sayıları arasındaki uzaklık, bb sayısının başlangıç noktasına olan uzaklığından cc sayısının başlangıç noktasına olan uzaklığı çıkarılarak elde edilen değere eşittir.
* a+b>0a + b > 0

Buna göre,
∣b−a∣+∣c−b∣−∣a−c∣|b - a| + |c - b| - |a - c|

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 2(c - b)Cevap
  2. B
    0
  3. C
    2(b - c)
  4. D
    2(c - a)
  5. E
    2(a - b)

Cevap

İki katı kadar olan c ve b farkı
Doğru olan iki katı kadar olan c ve b farkı seçeneği, b<c<0<ab < c < 0 < a sıralaması baz alınarak her bir mutlak değerli ifadenin içinin işaretinin doğru belirlenmesiyle elde edilir. Bu sıralamaya göre b−ab - a negatif olduğundan önüne eksi alarak a−ba - b olarak çıkar. c−bc - b pozitif olduğundan aynen c−bc - b olarak çıkar. a−ca - c pozitif olduğundan aynen a−ca - c olarak çıkar. İfadeler cebirsel olarak birleştirildiğinde doğru sadeleşme sağlanır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sözel ifadeleri mutlak değerli eşitliklere dönüştürmek ve ilk çıkarımları yapmak.
a sayısının başlangıç noktasına uzaklığı b'den büyük olduğundan ∣a∣>∣b∣|a| > |b| olur. a ve b sayıları arasındaki uzaklık ∣a−b∣|a - b| olup, bu uzaklık ∣a∣+∣b∣|a| + |b| değerine eşit olduğundan a ve b zıt işaretlidir (a⋅b<0a \cdot b < 0). b ve c sayıları arasındaki uzaklık ∣b−c∣|b - c| olup, bu uzaklık ∣b∣−∣c∣|b| - |c| değerine eşit olduğundan b ile c aynı işaretlidir (b⋅c>0b \cdot c > 0) ve ∣b∣>∣c∣|b| > |c| olmalıdır.
Sayı doğrusu üzerindeki geometrik uzaklık tanımlarını cebirsel mutlak değer özelliklerine dökerek değişkenlerin işaret ve büyüklük analizini gerçekleştirmek için.
2
Değişkenlerin işaret durumlarını ve sayı doğrusundaki kesin konumlarını belirlemek.
a ve b zıt işaretli olduğundan iki olasılık vardır. Eğer a<0a < 0 ve b>0b > 0 olsaydı, ∣a∣>∣b∣  ⟹  −a>b  ⟹  a+b<0|a| > |b| \implies -a > b \implies a + b < 0 çelişkisi doğardı. Dolayısıyla a>0a > 0 ve b<0b < 0 olmalıdır. Buradan a+b>0a + b > 0 koşulu da sağlanır. b ile c aynı işaretli olduğundan c<0c < 0 olur. ∣b∣>∣c∣|b| > |c| ve her ikisi de negatif olduğundan, sayı doğrusu üzerindeki sıralama b<c<0<ab < c < 0 < a şeklinde gerçekleşir.
Mutlak değer sembollerini kaldırabilmek için her bir mutlak değerin içinin pozitif veya negatif olduğunu kesin olarak tayin etmek amacıyla.
3
Mutlak değerli ifadeleri dışarı çıkararak sadeleştirme işlemini yapmak.
b<a  ⟹  b−a<0  ⟹  ∣b−a∣=−(b−a)=a−bb < a \implies b - a < 0 \implies |b - a| = -(b - a) = a - b olur. b<c  ⟹  c−b>0  ⟹  ∣c−b∣=c−bb < c \implies c - b > 0 \implies |c - b| = c - b olur. c<a  ⟹  a−c>0  ⟹  ∣a−c∣=a−cc < a \implies a - c > 0 \implies |a - c| = a - c olur. Bu ifadeler soruda yerine yazılırsa: (a−b)+(c−b)−(a−c)=a−b+c−b−a+c=2c−2b=2(c−b)(a - b) + (c - b) - (a - c) = a - b + c - b - a + c = 2c - 2b = 2(c - b) elde edilir.
Belirlenen işaret kuralları çerçevesinde cebirsel sadeleştirmeyi tamamlayıp doğru seçeneğe ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Mutlak değerin geometrik anlamı, iki sayı arasındaki uzaklık ve zıt/aynı işaretli olma durumlarında mutlak değer dışına çıkarma kuralları.

Alternatif Yöntem

Sayıların kesin değerleri bilinmediği için bulunan b<c<0<ab < c < 0 < a ve ∣a∣>∣b∣>∣c∣|a| > |b| > |c| koşullarına uygun temsili değerler seçilebilir. Örneğin; a=5a = 5, b=−3b = -3, c=−2c = -2 değerleri seçildiğinde tüm öncüller ve eşitsizlikler sağlanır. Bu değerler ∣b−a∣+∣c−b∣−∣a−c∣|b - a| + |c - b| - |a - c| ifadesinde yerine yazılırsa: ∣−3−5∣+∣−2−(−3)∣−∣5−(−2)∣=∣−8∣+∣1∣−∣7∣=8+1−7=2|-3 - 5| + |-2 - (-3)| - |5 - (-2)| = |-8| + |1| - |7| = 8 + 1 - 7 = 2 bulunur. Seçeneklerde bu değerler yerine konduğunda sadece doğru olan ifade 2(c−b)=2(−2−(−3))=2(1)=22(c - b) = 2(-2 - (-3)) = 2(1) = 2 sonucunu vermektedir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Mutlak Değer Kavramı ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru