Examkin

Soru

Zorluk: ZorKoşullu ve İki Yönlü Koşullu Önermeler

xx, yy ve zz birbirinden farklı gerçel sayılar olmak üzere,

p:x<yp: x < y
q:y<zq: y < z
r:x<zr: x < z

önermeleri veriliyor.

(p⇒q)⇒(q⇔r)(p \Rightarrow q) \Rightarrow (q \Leftrightarrow r)

bileşik önermesi yanlış olduğuna göre; xx, yy ve zz sayılarının doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    x<y<zx < y < z
  2. B
    y<x<zy < x < z
  3. y<z<xy < z < xCevap
  4. D
    x<z<yx < z < y
  5. E
    z<x<yz < x < y

Cevap

Sayıların doğru sıralanışı y<z<xy < z < x şeklindedir.
Bileşik önermenin yanlış (0) olabilmesi için p⇒qp \Rightarrow q önermesinin doğru (1), q⇔rq \Leftrightarrow r önermesinin ise yanlış (0) olması gerekir. q⇔r≡0q \Leftrightarrow r \equiv 0 olduğundan qq ile rr önermelerinin doğruluk değerleri farklı olmalıdır. Eğer q≡1q \equiv 1 (y<zy < z) ve r≡0r \equiv 0 (x>zx > z) kabul edersek y<z<xy < z < x sıralaması elde edilir. Bu sıralamada p:x<yp: x < y önermesi yanlış (0) olur. Bu durumda p⇒q≡0⇒1≡1p \Rightarrow q \equiv 0 \Rightarrow 1 \equiv 1 koşulu da sağlanmış olur. Dolayısıyla y<z<xy < z < x sıralaması tüm koşulları sağlayan tek sıralamadır.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşik önermenin doğruluk değerinin 0 (yanlış) olmasını sağlayan koşulları belirlemek.
p⇒q≡1p \Rightarrow q \equiv 1 ve q⇔r≡0q \Leftrightarrow r \equiv 0 olmalıdır.
Bir koşullu önermenin (A⇒BA \Rightarrow B) yanlış (0) olabilmesi için ancak ve ancak ön bileşenin doğru (A≡1A \equiv 1), art bileşenin ise yanlış (B≡0B \equiv 0) olması gerekir.
2
q⇔r≡0q \Leftrightarrow r \equiv 0 koşulundan yola çıkarak olası durumları belirlemek.
Ya (q≡1q \equiv 1 ve r≡0r \equiv 0) ya da (q≡0q \equiv 0 ve r≡1r \equiv 1) olmalıdır.
İki yönlü koşullu önerme (q⇔rq \Leftrightarrow r), bileşenlerinin doğruluk değerleri farklı olduğunda yanlış (0) değerini alır.
3
Birinci olasılığı (q≡0q \equiv 0 ve r≡1r \equiv 1) test ederek çelişki durumunu kontrol etmek.
q≡0  ⟹  y≥zq \equiv 0 \implies y \ge z ve r≡1  ⟹  x<zr \equiv 1 \implies x < z olur. Sayılar birbirinden farklı olduğundan x<z<yx < z < y sıralaması oluşur. Bu sıralamaya göre x<yx < y olacağından p≡1p \equiv 1 bulunur. Bu durumda p⇒q≡1⇒0≡0p \Rightarrow q \equiv 1 \Rightarrow 0 \equiv 0 olur ki bu durum birinci adımda bulduğumuz p⇒q≡1p \Rightarrow q \equiv 1 koşuluyla çeli��ir.
Olası durumların tüm önermelerle tutarlılığını sınamak gerekir.
4
İkinci olasılığı (q≡1q \equiv 1 ve r≡0r \equiv 0) test etmek ve sayıları sıralamak.
q≡1  ⟹  y<zq \equiv 1 \implies y < z ve r≡0  ⟹  x≥zr \equiv 0 \implies x \ge z (sayılar farklı olduğu için x>zx > z) olur. Bu iki bilgi birleştirildiğinde y<z<xy < z < x sıralaması elde edilir. Bu sıralamada x>yx > y olduğundan p≡0p \equiv 0 olur. Dolayısıyla p⇒q≡0⇒1≡1p \Rightarrow q \equiv 0 \Rightarrow 1 \equiv 1 koşulu da başarıyla sağlanır.
Çelişki yaratmayan tek tutarlı durumu belirleyip sıralamayı netleştirmek gerekir.

Anahtar Kavram

Koşullu önermenin (⇒ \Rightarrow ) ve iki yönlü koşullu önermenin (⇔ \Leftrightarrow ) doğruluk değerleri kuralları.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Koşullu ve İki Yönlü Koşullu Önermeler

Bu konudan daha fazla soru