Bir n pozitif tam sayısının farklı asal çarpanlarının çarpımı Ç(n), farklı asal çarpanları… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

Bir $n$ pozitif tam sayısının farklı asal çarpanlarının çarpımı $Ç(n)$ , farklı asal çarpanlarının toplamı ise $T(n)$ ile gösterilmektedir.

Buna göre,

Ç(n) + T(n) = 31

eşitliğini sağlayan iki basamaklı en küçük

n

doğal sayısının pozitif bölen sayısı kaçtır?

Cevap: 4

İstenen koşulu sağlayan iki basamaklı en küçük

n

doğal sayısı 21 olup, bu sayının pozitif bölen sayısı 4'tür.

Verilen denklem çözüldüğünde

n

sayısının asal çarpanlarının 3 ve 7 olduğu bulunur. Şartı sağlayan en küçük iki basamaklı sayı

n = 21

olup pozitif bölen sayısı 4'tür.

Asal çarpan sayısı durumlarını analiz etmek.

Asal çarpan sayısı 1 veya 3'ten büyük olamaz. Sadece 2 asal çarpanı olmalıdır.

Tek asal çarpan durumunda

2p=31

tamsayı vermez. Üç asal çarpan durumunda ise en küçük toplam

2\cdot3\cdot5 + 2+3+5 = 40 > 31

olur.

İki asal çarpan durumundaki denklemi çözmek.

Asal çarpanlar 3 ve 7 olarak bulunur.

pq + p + q = 31 \Rightarrow (p+1)(q+1) = 32

eşitliğinden

p+1=4

q+1=8

bulunur.

Koşulu sağlayan en küçük iki basamaklı

n

sayısını belirlemek.

n = 21

olarak bulunur.

n = 3^a \cdot 7^b

formunda olmalıdır (

a,b \ge 1

). En küçük iki basamaklı değer

a=1, b=1

için

21

olur.

21

sayısının pozitif bölen sayısını hesaplamak.

Pozitif bölen sayısı 4'tür.

21 = 3^1 \cdot 7^1

olduğundan pozitif bölen sayısı

(1+1)(1+1) = 4

şeklinde hesaplanır.

Asal Çarpanlara Ayırma ve Pozitif Bölen Sayısı

Soru