Examkin

Asal Sayılar ve Asal Çarpanlara Ayırma

35 soru

Tüm türler35Çoktan seçmeli16Sayısal19
Soru 1Soru →

Bir pozitif tam sayının farklı asal çarpanlarının toplamı, bu sayının kendisi dışındaki en büyük pozitif tam sayı bölenine eşit ise bu sayıya toplamsal-asal sayı denir.

Buna göre, iki basamaklı tüm toplamsal-asal sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 74

Cevap

İki basamaklı tüm toplamsal-asal sayıların toplamı 74'tür.
Toplamsal-asal sayı tanımına uyan iki basamaklı sayılar yalnızca asal sayıların kareleri olan 25 ve 49 sayılarıdır. Bu iki sayının toplamı 74 olduğundan doğru cevaba ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Toplamsal-asal sayı tanımını analiz etme
nn sayısının farklı asal çarpanlarının toplamı S(n)S(n) ve kendisi dışındaki en büyük pozitif böleni M(n)M(n) olsun. Tanıma göre S(n)=M(n)S(n) = M(n) olmalıdır.
Soruda verilen kural�� matematiksel bir denkleme dönüştürmek için.
2
Farklı asal çarpan sayısına göre olası durumları inceleme
nn sayısının sadece tek bir asal çarpanı varsa (n=pan = p^a), farklı asal çarpanlarının toplamı S(n)=pS(n) = p olur. Kendisi dışındaki en büyük pozitif böleni ise M(n)=pa−1M(n) = p^{a-1} olur. Buradan S(n)=M(n)  ⟹  p=pa−1  ⟹  a−1=1  ⟹  a=2S(n) = M(n) \implies p = p^{a-1} \implies a-1 = 1 \implies a = 2 bulunur. Dolayısıyla n=p2n = p^2 formundaki sayılar bu şartı sağlar. Birden fazla asal çarpanı olan sayılar için S(n)<M(n)S(n) < M(n) olacağından çözüm bulunamaz.
Şartı sağlayan sayıların genel formunu belirlemek için.
3
İki basamaklı şartı sağlayan sayıları bulma ve toplama
n=p2n = p^2 formundaki sayılardan iki basamaklı olanlar, pp asal sayı olmak üzere; p=5p=5 için 52=255^2 = 25 ve p=7p=7 için 72=497^2 = 49 sayılarıdır. Diğer asal sayılar için sonuç ya tek basamaklı (22=42^2=4, 32=93^2=9) ya da üç basamaklı (112=12111^2=121) olur. Bu iki basamaklı sayıların toplamı ise 25+49=7425 + 49 = 74 bulunur.
İki basamaklı koşuluna uyan sayıları tespit edip istenen toplamı hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Bir sayının asal çarpanlarının belirlenmesi ve pozitif bölenlerinin bulunması.

Alternatif Yöntem

Sayıları tek tek incelemek yerine, asal sayıların kuvvetlerini düşünerek sadece p2p^2 biçimindeki sayıların bu kurala uyduğunu genel cebirsel formüllerle ispatlamak en hızlı yöntemdir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2Soru →
Bir xx pozitif tam sayısının farklı asal çarpanlarının kümesi A(x)A(x) ile gösterilmektedir. Örneğin; 18=2⋅3218 = 2 \cdot 3^2 olduğundan A(18)={2,3}A(18) = \{2, 3\} kümesidir. aa ve bb pozitif tam sayılar olmak üzere, A(a)∪A(b)={2,3,5}A(a) \cup A(b) = \{2, 3, 5\} A(a)∩A(b)={3}A(a) \cap A(b) = \{3\} olduğu bilinmektedir. Buna göre, a⋅ba \cdot b çarpımının pozitif bölen sayısı en az kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

a ve b sayılarının çarpımının pozitif bölen sayısı en az 12'dir.
Verilen küme işlemlerine göre hem a hem de b sayıları 3 asal çarpanına sahiptir; bu da a * b çarpımında 3'ün üssünün en az 2 olmasını gerektirir. 2 ve 5 asalları da çarpımda en az 1'er kez yer alacağı için a * b = 2^1 * 3^2 * 5^1 durumunda pozitif bölen sayısı (1 + 1) * (2 + 1) * (1 + 1) = 12 olarak en küçük değerine ulaşır.

Adım Adım Çözüm

1
Kesişim ve birleşim kümelerinden yararlanarak asal çarpanları belirleme
Hem a hem de b sayısının asal çarpanları arasında 3 bulunur. 2 ve 5 asallarından biri sadece a'da, diğeri ise sadece b'dedir.
Kesişim kümesinin {3} ve birleşim kümesinin {2, 3, 5} olması, 3 asalının ortak olduğunu; 2 ve 5 asallarının ise ortak olmadan sayılara dağıldığını gösterir.
2
a * b çarpımının asal çarpanlarının üslerinin alt sınırlarını bulma
a * b = 2^p * 3^q * 5^r yazımında p >= 1, q >= 2 ve r >= 1 olmalıdır.
3 asalı her iki sayıda da en az 1'er kez bulunduğu için çarpımda en az 3^2 elde edilir. 2 ve 5 ise en az 1'er kez bulunmak zorundadır.
3
Pozitif bölen sayısı formülünü uygulayarak en küçük değeri hesaplama
Pozitif bölen sayısı en az (1 + 1) * (2 + 1) * (1 + 1) = 12 olur.
Pozitif bölen sayısını minimum yapmak için asal çarpanların üsleri en küçük değerleri olan p = 1, q = 2 ve r = 1 olarak seçilir.

Anahtar Kavram

Asal çarpanlar, küme kesişim/birleşim işlemleri ve pozitif bölen sayısı formülü
Soru 3Soru →

Birden fazla farklı asal çarpanı olan bir nn pozitif tam sayısı, farklı asal çarpanlarının toplamına tam bölünebiliyorsa bu sayıya toplamsal-bölen sayı denir.

Örneğin, 18 sayısının farklı asal çarpanları 2 ve 3 olup toplamları 2+3=52+3=5’tir. 18 sayısı 5 ile tam bölünmediğinden 18 bir toplamsal-bölen sayı değildir.

Buna göre, iki basamaklı en küçük toplamsal-bölen sayı ile iki basamaklı en büyük toplamsal-bölen sayının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 120

Cevap

İki basamakl�� en küçük ve en büyük toplamsal-bölen sayıların toplamı 120'dir.
İki basamaklı en küçük toplamsal-bölen sayı 30'dur. Çünkü farklı asal çarpanları olan 2, 3 ve 5'in toplamı 10'dur ve 30 sayısı 10'a tam bölünür. İki basamaklı en büyük toplamsal-bölen sayı ise 90'dır. Çünkü farklı asal çarpanları olan 2, 3 ve 5'in toplamı 10'dur ve 90 sayısı 10'a tam bölünür. Bu iki sayının toplamı 30 + 90 = 120'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Toplamsal-bölen sayı tanımını analiz etmek.
Bir nn sayısının farklı asal çarpanlarının toplamına S(n)S(n) dersek, nn sayısı S(n)S(n) ile tam bölünmelidir ve nn sayısının en az iki farklı asal çarpanı olmalıdır.
Soruda verilen tanımı matematiksel bir kurala dökmek için.
2
İki farklı asal çarpanı olan sayıların bu tanıma uyup uymadığını kontrol etmek.
Eğer n=pa⋅qbn = p^a \cdot q^b (pp ve qq farklı asallar) ise farklı asal çarpanların toplamı p+qp+q olur. p+qp+q sayısı pp ve qq asallarının her biriyle aralarında asaldır. Dolayısıyla p+qp+q sayısı, pa⋅qbp^a \cdot q^b sayısını asla tam bölemez. Bu durumda iki farklı asal çarpanı olan hiçbir sayı toplamsal-bölen sayı olamaz.
Arama uzayını daraltmak ve yalnızca üç veya daha fazla farklı asal çarpanı olan sayıları incelemek için.
3
İki basamaklı en küçük toplamsal-bölen sayıyı bulmak.
En az üç farklı asal çarpanı olan en küçük pozitif tam sayı 2⋅3⋅5=302 \cdot 3 \cdot 5 = 30’dur. 30 sayısının asal çarpanları 2, 3 ve 5’tir. Toplamları 2+3+5=102+3+5=10’dur. 30 sayısı 10 ile tam bölündüğünden (30 / 10 = 3), iki basamaklı en küçük toplamsal-bölen sayı 30'dur.
Tanıma uyan en küçük iki basamaklı sayıyı belirlemek için.
4
İki basamaklı en büyük toplamsal-bölen sayıyı bulmak.
En büyük iki basamaklı sayılardan geriye doğru gidilerek en az üç farklı asal çarpanı olan sayılar incelenir. 90 sayısı 2⋅32⋅52 \cdot 3^2 \cdot 5 şeklinde yazılır ve asal çarpanları 2, 3, 5'tir. Toplamları 2+3+5=102+3+5=10'dur. 90 sayısı 10 ile tam bölündüğünden (90 / 10 = 9) bu kuralı sağlar. 90'dan büyük başka hiçbir iki basamaklı sayı bu tanıma uymaz.
Tanıma uyan en büyük iki basamaklı sayıyı belirlemek için.
5
Bulunan en küçük ve en büyük sayıları toplamak.
30+90=12030 + 90 = 120 bulunur.
Soruda istenen toplam değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Asal çarpanlara ayırma, farklı asal çarpanların toplamı ve bölünebilme kuralları.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 4Soru →

Bir nn pozitif tam sayısının farklı asal çarpanlarının çarpımı C\c(n)Ç(n), farklı asal çarpanlarının toplamı ise T(n)T(n) ile gösterilmektedir.

Buna göre,
C\c(n)+T(n)=31Ç(n) + T(n) = 31
eşitliğini sağlayan iki basamaklı en küçük nn doğal sayısının pozitif bölen sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İstenen koşulu sağlayan iki basamaklı en küçük nn doğal sayısı 21 olup, bu sayının pozitif bölen sayısı 4'tür.
Verilen denklem çözüldüğünde nn sayısının asal çarpanlarının 3 ve 7 olduğu bulunur. Şartı sağlayan en küçük iki basamaklı sayı n=21n = 21 olup pozitif bölen sayısı 4'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Asal çarpan sayısı durumlarını analiz etmek.
Asal çarpan sayısı 1 veya 3'ten büyük olamaz. Sadece 2 asal çarpanı olmalıdır.
Tek asal çarpan durumunda 2p=312p=31 tamsayı vermez. Üç asal çarpan durumunda ise en küçük toplam 2⋅3⋅5+2+3+5=40>312\cdot3\cdot5 + 2+3+5 = 40 > 31 olur.
2
İki asal çarpan durumundaki denklemi çözmek.
Asal çarpanlar 3 ve 7 olarak bulunur.
pq+p+q=31⇒(p+1)(q+1)=32pq + p + q = 31 \Rightarrow (p+1)(q+1) = 32 eşitliğinden p+1=4p+1=4 ve q+1=8q+1=8 bulunur.
3
Koşulu sağlayan en küçük iki basamaklı nn sayısını belirlemek.
n=21n = 21 olarak bulunur.
n=3a⋅7bn = 3^a \cdot 7^b formunda olmalıdır (a,b≥1a,b \ge 1). En küçük iki basamaklı değer a=1,b=1a=1, b=1 için 2121 olur.
4
2121 sayısının pozitif bölen sayısını hesaplamak.
Pozitif bölen sayısı 4'tür.
21=31⋅7121 = 3^1 \cdot 7^1 olduğundan pozitif bölen sayısı (1+1)(1+1)=4(1+1)(1+1) = 4 şeklinde hesaplanır.

Anahtar Kavram

Asal Çarpanlara Ayırma ve Pozitif Bölen Sayısı
Soru 5Soru →

Bir nn pozitif tam sayısının asal çarpanlarının en büyüğü ile en küçüğü arasındaki fark Δ(n)\Delta(n) ile gösterilmektedir.

Örneğin; 60=22⋅3⋅560 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 olduğundan Δ(60)=5−2=3\Delta(60) = 5 - 2 = 3'tür.

Buna göre, iki basamaklı bir nn doğal sayısı için
Δ(n)=8\Delta(n) = 8
eşitliğini sağlayan tüm nn sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 197

Cevap

Koşulu sağlayan tüm iki basamaklı sayıların toplamı 197'dir.
Koşulu sağlayan iki basamaklı nn sayıları 3333, 6565 ve 9999 olup bu sayıların toplamı 197197'dir. Bu değer doğru seçenekte verilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Tanıma göre, Δ(n)=8\Delta(n) = 8 eşitliği nn sayısının en büyük asal çarpanı (pmaxp_{max}) ile en küçük asal ��arpanı (pminp_{min}) arasındaki farkın 88 olmasını gerektirir: pmax−pmin=8p_{max} - p_{min} = 8.
pmax−pmin=8p_{max} - p_{min} = 8 eşitliğini sağlayan asal sayı çiftleri belirlenmelidir.
Hangi asal sayıların bu şartı sağladığını bularak olası çarpan kümelerini sınırlandırmak için.
2
Farkları 88 olan asal sayı çiftlerini küçükten büyüğe inceleyelim: (3,11)(3, 11), (5,13)(5, 13), (11,19)(11, 19), (23,31)(23, 31), (29,37)(29, 37) vb. En küçük asal sayı olan 22 seçilirse diğer çarpanın 1010 olması gerekir ki bu asal değildir.
Olası asal çarpan sınırları (3,11)(3, 11), (5,13)(5, 13) ve daha büyük çiftlerdir.
nn sayısının çarpanı olabilecek en küçük ve en büyük asal sayıları tespit etmek için.
3
nn sayısının iki basamaklı (10≤n≤9910 \le n \le 99) bir doğal sayı olduğu verilmiştir. nn sayısı hem pminp_{min} hem de pmaxp_{max} asal sayılarına tam bölünmelidir. Dolayısıyla nn sayısı pmin⋅pmaxp_{min} \cdot p_{max} çarpımının bir katı olmalıdır. Bu durumda pmin⋅pmax≤99p_{min} \cdot p_{max} \le 99 şartı aranmalıdır.
(11,19)(11, 19) çifti için en küçük sayı 11⋅19=209>9911 \cdot 19 = 209 > 99 olduğundan bu ve daha büyük çiftlerden iki basamaklı sayı elde edilemez. Yalnızca (3,11)(3, 11) ve (5,13)(5, 13) çiftleri incelenebilir.
İki basamaklı olma sınırını kullanarak olası durum sayısını daraltmak için.
4
(3,11)(3, 11) çifti için nn sayısının asal çarpanları en küçük 33, en büyük 1111 olmalıdır. Bu aradaki diğer asallar (55 ve 77) çarpan olarak eklenirse sayı 3⋅11⋅5=165>993 \cdot 11 \cdot 5 = 165 > 99 olacağından iki basamaklı kalamaz. O halde n=3a⋅11bn = 3^a \cdot 11^b (a≥1,b≥1a \ge 1, b \ge 1) formunda olmalıdır. Bu şartı sağlayan iki basamaklı sayılar: a=1,b=1a=1, b=1 için 3333 ve a=2,b=1a=2, b=1 için 9999 sayılarıdır.
(3,11)(3, 11) çiftinden 3333 ve 9999 sayıları elde edilir.
En küçük ve en büyük asal çarpanı sırasıyla 33 ve 1111 olan tüm iki basamaklı sayıları bulmak için.
5
(5,13)(5, 13) çifti için nn sayısının asal çarpanları en küçük 55, en büyük 1313 olmalıdır. n=5a⋅13bn = 5^a \cdot 13^b (a≥1,b≥1a \ge 1, b \ge 1) formunda olmalıdır. a=1,b=1a=1, b=1 için 5⋅13=655 \cdot 13 = 65 elde edilir. Herhangi bir üs artırılırsa sayı iki basamaklı sınırını aşar (25⋅13=325>9925 \cdot 13 = 325 > 99 gibi).
(5,13)(5, 13) çiftinden yalnızca 6565 sayısı elde edilir.
En küçük ve en büyük asal çarpanı sırasıyla 55 ve 1313 olan tüm iki basamaklı sayıları bulmak için.
6
Bulunan tüm iki basamaklı sayıları toplayalım: 33+65+9933 + 65 + 99.
Toplam 197197 olarak hesaplanır.
Soru kökünde istenen tüm uygun nn değerlerinin toplamına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Bir tam sayının en küçük ve en büyük asal çarpanlarının belirlenmesi ve bu çarpanların kuvvetleriyle oluşturulabilecek sayı sınırlarının analiz edilmesi.

Alternatif Yöntem

Asal sayıların farkı 8 olan çiftleri doğrudan listelenip her bir çiftin en küçük iki basamaklı katı kontrol edilebilir. pmin⋅pmaxp_{min} \cdot p_{max} çarpımının iki basamaklı katları doğrudan incelenerek de aynı sayılara hızlıca ulaşılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 6Soru →

Bir nn pozitif tam sayısının en büyük asal çarpanı P(n)P(n) ile gösterilmektedir.

nn iki basamaklı bir doğal sayı olmak üzere,
P(n)+P(n+1)=18P(n) + P(n+1) = 18
eşitliğini sağlayan kaç farklı nn değeri vardır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Eşitliği sağlayan iki basamaklı 6 farklı n doğal sayısı vardır.
Toplamları 18 olan asal sayı ikilileri {5, 13} veya {7, 11} olabilir. Bu durumlara uyan ve n ile n+1 ardışık sayılarının en büyük asal çarpan koşullarını sağlayan iki basamaklı n sayıları sırasıyla 21, 25, 39, 55, 90 ve 98 olmak üzere 6 adettir.

Adım Adım Çözüm

1
Toplamları 18 olan asal sayı çiftlerinin belirlenmesi
Asal sayılar kümesi düşünüldüğünde, toplamları 18 olan asal sayı ikilileri sadece {5, 13} ve {7, 11} olabilir.
P(n) ve P(n+1) değerleri birer asal sayı olmak zorundadır.
2
P(n) = 5 ve P(n+1) = 13 durumunun çözülmesi
n = 25 ve n = 90 elde edilir.
n+1 sayısının 100'den küçük ve en büyük asal çarpanı 13 olan katları incelenir: 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91. Bu sayıların 1 eksiği olan n değerleri içinden en büyük asal çarpanı 5 olanlar (25 ve 90) seçilir.
3
P(n) = 13 ve P(n+1) = 5 durumunun çözülmesi
n = 39 elde edilir.
n sayısının en büyük asal çarpanı 13 olmalıdır. İki basamaklı 13'ün katları içinden n+1 sayısının en büyük asal çarpanı 5 olan durum n = 39 (n+1 = 40) olarak bulunur.
4
P(n) = 7 ve P(n+1) = 11 durumunun çözülmesi
n = 21 ve n = 98 elde edilir.
n+1 sayısının en büyük asal çarpanı 11 olmalıdır. İki basamaklı 11'in katları incelenip, 1 eksiği olan n sayısının en büyük asal çarpanının 7 olduğu n = 21 (n+1 = 22) ve n = 98 (n+1 = 99) değerleri bulunur.
5
P(n) = 11 ve P(n+1) = 7 durumunun çözülmesi
n = 55 elde edilir.
n sayısının en büyük asal çarpanı 11 olmalıdır. İki basamaklı 11'in katları incelenip, 1 fazlası olan n+1 sayısının en büyük asal çarpanının 7 olduğu n = 55 (n+1 = 56) değeri bulunur.

Anahtar Kavram

Asal sayılar ve asal çarpanlar yardımıyla denklem çözme
Soru 7Soru →

En az iki farklı asal çarpanı olan bir pozitif tam sayının asal çarpanlarına ayrılmış biçiminde, asal çarpanlardan yalnızca birinin üssü 22, diğer tüm asal çarpanların üssü ise 11 ise bu sayıya asal-katlı sayı denir.

Buna göre, üç basamaklı en küçük asal-katlı sayı ile iki basamaklı en büyük asal-katlı sayının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 215

Cevap

Üç basamaklı en küçük asal-katlı sayı ile iki basamaklı en büyük asal-katlı sayının toplamı 215'tir.
Üç basamaklı en küçük asal-katlı sayı 22⋅29=1162^2 \cdot 29 = 116 ve iki basamaklı en büyük asal-katlı sayı 32⋅11=993^2 \cdot 11 = 99 olduğundan, bu iki sayının toplamı 116+99=215116 + 99 = 215 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Tanımın analiz edilmesi
Asal-katlı sayıların asal çarpan açılımında yalnızca bir tane üssü 2 olan çarpan, diğerlerinin üslerinin ise 1 olması gerektiği tespit edildi.
Soruda verilen kuralın matematiksel modelini oluşturmak amacıyla.
2
Üç basamaklı en küçük sayının bulunması
22⋅29=1162^2 \cdot 29 = 116 sayısı en küçük üç basamaklı asal-katlı sayı olarak belirlendi.
Olası diğer asal çarpan kombinasyonları ile kıyaslandığında en küçük değere ulaşmak için.
3
İki basamaklı en büyük sayının bulunması
32⋅11=993^2 \cdot 11 = 99 sayısı en büyük iki basamaklı asal-katlı sayı olarak belirlendi.
100'den küçük sayılar arasından tanıma uyan en büyük değeri bulmak için.
4
Toplam işleminin yapılması
116+99=215116 + 99 = 215
Soruda bizden istenen nihai sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Asal Çarpanlara Ayırma ve Üs Analizi
Soru 8Soru →

Bir xx pozitif tam sayısının farklı asal çarpanlarının çarpımı P(x)P(x) ile gösterilmektedir.

Örneğin; P(12)=2⋅3=6P(12) = 2 \cdot 3 = 6 ve P(25)=5P(25) = 5’tir.

Buna göre,
P(n2−1)=6P(n^2 - 1) = 6
eşitliğini sağlayan tüm nn pozitif tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 29

Cevap

Eşitliği sağlayan tüm nn pozitif tam sayılarının toplamı 29'dur.
Denklemi sağlayan nn pozitif tam sayı değerleri 5, 7 ve 17'dir. Bu sayıların toplamı 29'dur.

Adım Adım Çözüm

1
P(x)=6P(x) = 6 ifadesinin matematiksel karşılığını belirleme.
n2−1n^2 - 1 ifadesinin asal çarpanları sadece 2 ve 3 olmalıdır.
Çarpımı 6 olan asal sayılar yalnızca 2 ve 3'tür. Dolayısıyla n2−1=2a⋅3bn^2 - 1 = 2^a \cdot 3^b (a≥1,b≥1a \ge 1, b \ge 1) olmalıdır.
2
nn sayısının teklik-çiftlik durumunu inceleme.
nn bir tek sayı olmalıdır.
n2−1n^2 - 1 çift bir sayı olmak zorundadır (en az bir tane 2 asal çarpanı içerir). Bu yüzden n2n^2 tek, dolayısıyla nn tek sayıdır.
3
n2−1n^2 - 1 ifadesini çarpanlarına ayırma ve ardışık sayı analizi yapma.
n−1n-1 ve n+1n+1 ardışık çift sayılardır ve en büyük ortak bölenleri 2'dir.
nn tek sayı olduğundan n−1n-1 ve n+1n+1 ardışık iki çift sayıdır. Bu iki sayının en büyük ortak böleni 2 olduğundan, ortak olmayan asal çarpanları birbirinden farklı olmak zorundadır.
4
Ardışık çift sayıları ortak çarpan parantezine alarak ardışık tam sayılara dönüştürme.
Y−X=1Y - X = 1 olacak şekilde asal çarpanları sadece 2 ve 3 olan XX ve YY tam sayıları bulunmalıdır.
n−1=2Xn-1 = 2X ve n+1=2Yn+1 = 2Y yazıldığında Y−X=1Y - X = 1 olur. Burada XX ve YY'nin asal çarpanları yalnızca 2 ve 3 kümesinin elemanları olabilir.
5
Koşula uygun ardışık (X,Y)(X, Y) çiftlerini belirleme.
Uygun çiftler (1,2)(1,2), (2,3)(2,3), (3,4)(3,4) ve (8,9)(8,9)'dur.
Asal çarpanları {2,3}\{2, 3\} kümesinde kalan ve aralarında 1 fark olan ardışık tam sayı çiftleri bunlardır.
6
Bulunan çiftlerden nn değerlerini elde etme ve denklemi sağladıklarını kontrol etme.
n=5n = 5, n=7n = 7 ve n=17n = 17 değerleri denklemi sağlarken, n=3n = 3 değeri sağlamaz.
n−1=2X  ⟹  n=2X+1n-1 = 2X \implies n = 2X + 1 formülünden:
- (1,2)  ⟹  n=3(1,2) \implies n=3. Ancak n2−1=8n^2-1 = 8 olup P(8)=2≠6P(8)=2 \neq 6 (sağlamaz).
- (2,3)  ⟹  n=5(2,3) \implies n=5. n2−1=24n^2-1 = 24 olup P(24)=6P(24)=6 (sağlar).
- (3,4)  ⟹  n=7(3,4) \implies n=7. n2−1=48n^2-1 = 48 olup P(48)=6P(48)=6 (sağlar).
- (8,9)  ⟹  n=17(8,9) \implies n=17. n2−1=288n^2-1 = 288 olup P(288)=6P(288)=6 (sağlar).
7
Geçerli nn değerlerini toplama.
5+7+17=295 + 7 + 17 = 29
Soruda istenen, eşitliği sağlayan tüm pozitif nn tam sayılarının toplamıdır.

Anahtar Kavram

Asal çarpanlarına ayırma ve ardışık tam sayıların asal çarpan özellikleri.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 9Soru →

En küçük asal sayı ile iki basamaklı en küçük asal sayının çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

En küçük asal sayı olan 2 ile iki basamaklı en küçük asal sayı olan 11'in çarpımı olan 22'dir.
En küçük asal sayı 2'dir. İki basamaklı en küçük asal sayı ise 11'dir. Bu iki sayının çarpımı 22 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
En küçük asal sayıyı belirleme
2
Asal sayılar 2'den başlar ve en küçük asal sayı 2'dir.
2
İki basamaklı en küçük asal sayıyı belirleme
11
İki basamaklı sayılar 10'dan başlar. 10 sayısı 2 ve 5'e bölündüğü için asal değildir. Bu nedenle iki basamaklı en küçük asal sayı 11'dir.
3
Bulunan bu iki asal sayıyı çarpma
2 * 11 = 22
Soru kökünde bu iki sayının çarpımı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Asal sayıların tanımı ve en küçük asal sayıların belirlenmesi
Tahmini Süre:45s
Soru 10Soru →

Bir nn pozitif tam sayısının farklı asal çarpanlarının toplamı S(n)S(n), farklı asal çarpanlarının sayısı ise C(n)C(n) ile gösterilmektedir.

nn iki basamaklı bir doğal sayı olmak üzere,
S(n)⋅C(n)=n−11S(n) \cdot C(n) = n - 11
eşitliğini sağlayan tüm nn sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 86

Cevap

Denklemi sağlayan iki basamaklı doğal sayılar 35 ve 51'dir. Bu sayıların toplamı 86'dır.
Doğru cevap olan 86 sayısı, denklemi sağlayan iki basamaklı doğal sayıların (3535 ve 5151) toplamıdır. Çözüm adımlarında görüldüğü üzere C(n)=2C(n)=2 durumunda (p−2)(q−2)=15(p-2)(q-2)=15 denklemi elde edilir ve buradan n=35n = 35 ile n=51n = 51 değerlerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Farklı asal çarpan sayısı C(n)C(n) değerine göre durumları sınıflandıralım.
C(n)C(n) değeri 1, 2 veya 3 olabilir.
İki basamaklı sayıların en fazla 3 farklı asal çarpanı olabilir (en küçük 4 farklı asal çarpanın çarpımı 2⋅3⋅5⋅7=2102 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210 olup iki basamaklı değildir).
2
C(n)=1C(n) = 1 durumunu inceleyelim. Bu durumda n=pkn = p^k (pp asal, k≥1k \geq 1) şeklindedir.
p⋅1=pk−11⇒p(pk−1−1)=11p \cdot 1 = p^k - 11 \Rightarrow p(p^{k-1} - 1) = 11 elde edilir. 11 asal olduğundan p=11p=11 ve 11k−1−1=1⇒11k−1=211^{k-1}-1=1 \Rightarrow 11^{k-1}=2 olur ki bunun tam sayı çözümü yoktur.
Tek asal çarpanı olan sayıların denklemi sağlayıp sağlamadığını belirlemek için.
3
C(n)=2C(n) = 2 durumunu inceleyelim. Bu durumda n=pa⋅qbn = p^a \cdot q^b (p<qp < q asal, a,b≥1a, b \geq 1) şeklindedir. Denklem 2(p+q)=paqb−112(p+q) = p^a q^b - 11 olur.
paqb−2p−2q=11p^a q^b - 2p - 2q = 11 eşitliği elde edilir.
İki farklı asal çarpanı olan sayıların denklemini oluşturmak için.
4
a=1a=1 ve b=1b=1 durumu için elde edilen pq−2p−2q=11pq - 2p - 2q = 11 denklemini çarpanlarına ayıralım.
pq−2p−2q+4=11+4⇒(p−2)(q−2)=15pq - 2p - 2q + 4 = 11 + 4 \Rightarrow (p-2)(q-2) = 15 elde edilir.
Eşitliğin sol tarafını ortak çarpan parantezine alarak çarpanlara ayırmak için her iki tarafa 4 eklenir.
5
(p−2)(q−2)=15(p-2)(q-2) = 15 denklemini p<qp < q asal sayı koşuluyla çözelim.
15'in çarpanları göz önüne alındığında:
1) p−2=1⇒p=3p-2=1 \Rightarrow p=3 ve q−2=15⇒q=17q-2=15 \Rightarrow q=17 (her ikisi de asal). Buradan n=3⋅17=51n = 3 \cdot 17 = 51 bulunur.
2) p−2=3⇒p=5p-2=3 \Rightarrow p=5 ve q−2=5⇒q=7q-2=5 \Rightarrow q=7 (her ikisi de asal). Buradan n=5⋅7=35n = 5 \cdot 7 = 35 bulunur.
pp ve qq değerlerinin asal sayı olma koşulunu sağlayan durumları bulmak için.
6
a≥2a \geq 2 veya b≥2b \geq 2 durumlarını ve C(n)=3C(n) = 3 durumunu kontrol edelim.
a≥2a \geq 2 veya b≥2b \geq 2 için yapılan incelemede asal sayı çözümü gelmez. C(n)=3C(n) = 3 için n≥3(2+3+5)+11=41n \geq 3(2+3+5)+11 = 41 olmalıdır; ancak iki basamaklı ve 3 asal çarpanlı sayılardan (42, 60, 66, 70, 78, 84, 90) hiçbirinin denklemi sağlamadığı görülür.
Tüm olası çözümlerin eksiksiz olarak bulunduğundan emin olmak için.
7
Elde edilen nn değerlerini toplayalım.
35+51=8635 + 51 = 86 elde edilir.
Soruda istenen toplam değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Asal sayılar, asal çarpanlara ayırma ve çarpanlara ayırma yöntemleri kullanılarak iki bilinmeyenli denklemlerin çözümü.
Soru 11Soru →
AA ve xx birer pozitif tam sayı olmak üzere,
A=120xA = \frac{120}{x}
ifadesinde AA bir asal sayı olduğuna göre, xx’in alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 124

Cevap

x'in alabileceği farklı değerlerin toplamı 124'tür.
A sayısı 120'yi bölen bir asal sayı olmalıdır. 120'nin asal bölenleri 2, 3 ve 5'tir. Buradan A'nın alabileceği değerler için x değerleri sırasıyla 60, 40 ve 24 olarak bulunur. Bu değerlerin toplamı 124 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
120 sayısının asal çarpanlarını bulun.
120 sayısının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir.
A sayısı bir asal sayı olduğundan ve 120'yi tam böldüğünden, 120'nin asal bölenleri olmak zorundadır.
2
Her bir asal A değeri için x değerlerini hesaplayın.
A = 2 için x = 60; A = 3 için x = 40; A = 5 için x = 24 elde edilir.
A = 120/x eşitliğinde x'i çekerek x = 120/A formülünü kullanırız.
3
Elde edilen x değerlerini toplayın.
60 + 40 + 24 = 124
Soruda x'in alabileceği farklı değerlerin toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Bir sayının asal çarpanlarını bulma ve asal sayı tanımını uygulama.
Soru 12Soru →

İki basamaklı bir nn doğal sayısının farklı asal çarpanlarının toplamı T(n)T(n) ile gösterilmektedir.

Buna göre, T(n)=5T(n) = 5 eşitliğini sağlayan en küçük nn sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

12 sayısı bu koşulu sağlayan en küçük iki basamaklı doğal sayıdır.
12 sayısının asal çarpanları 2 ve 3'tür. Bu sayıların toplamı 2 + 3 = 5 koşulunu sağlar. Ayrıca 12, bu koşula uyan en küçük iki basamaklı doğal sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
T(n)=5T(n) = 5 eşitliğini sağlayan asal çarpan grupları belirlenir.
Toplamları 5 olan asal sayı grupları yalnızca tek elemanlı olarak {5}\{5\} veya iki elemanlı olarak {2,3}\{2, 3\} kümeleridir.
Asal sayıların toplamı 5 olacak şekildeki tüm olası asal çarpan durumlarını belirlemek için.
2
Belirlenen asal çarpan grupları için oluşturulabilecek en küçük iki basamaklı sayılar hesaplanır.
Sadece 5 asal çarpanına sahip en küçük iki basamaklı sayı 52=255^2 = 25 olur. 2 ve 3 asal çarpanlarına sahip en küçük iki basamaklı sayı ise 22⋅31=122^2 \cdot 3^1 = 12 olarak bulunur. (21⋅31=62^1 \cdot 3^1 = 6 sayısı iki basamaklı değildir.)
İki basamaklı sayı kısıtlamasına uyan adayları tespit etmek için.
3
Aday sayılar karşılaştırılarak en küçük olan seçilir.
12<2512 < 25 olduğundan en küçük nn değeri 12'dir.
Bulunan iki basamaklı sayılar arasından en küçük olanını belirlemek için.

Anahtar Kavram

Asal çarpanlara ayırma ve asal çarpanlar toplamı ilişkisi
Soru 13Soru →

Bir AA doğal sayısının birbirinden farklı tüm asal çarpanlarının çarpımına bu sayının 'asal çekirdeği' denir ve C¸(A)\text{Ç}(A) ile gösterilir. AA sayısının birbirinden farklı tüm asal çarpanlarının toplamı ise T(A)\text{T}(A) ile gösterilir.

Örneğin, 20=22⋅520 = 2^2 \cdot 5 olduğundan C¸(20)=2⋅5=10\text{Ç}(20) = 2 \cdot 5 = 10 ve T(20)=2+5=7\text{T}(20) = 2 + 5 = 7'dir.

Buna göre, iki basamaklı bir AA doğal sayısı için
C¸(A)⋅T(A)=A\text{Ç}(A) \cdot \text{T}(A) = A
eşitliğini sağlayan tüm AA sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 74

Cevap

Eşitliği sağlayan iki basamaklı sayıların toplamı 74'tür.
Eşitliği sağlayan iki basamaklı sayılar 25 ve 49'dur. Bu sayıların toplamı 74 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
A sayısının asal çarpanlarına ayrılmış biçimini yazarak tanımları bu gösterim üzerinden ifade edelim.
A=p1a1p2a2⋯pkakA = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k} olsun. Bu durumda C¸(A)=p1p2⋯pk\text{Ç}(A) = p_1 p_2 \cdots p_k ve T(A)=p1+p2+⋯+pk\text{T}(A) = p_1 + p_2 + \cdots + p_k olur.
Soruda verilen tanımları matematiksel denkleme dökmek için.
2
A sayısının yaln��zca bir asal çarpanı (k=1k=1) olduğu durumu inceleyelim.
A=paA = p^a ise C¸(A)=p\text{Ç}(A) = p ve T(A)=p\text{T}(A) = p olur. Eşitlikten p⋅p=pa  ⟹  p2=pa  ⟹  a=2p \cdot p = p^a \implies p^2 = p^a \implies a = 2 bulunur. Dolayısıyla A=p2A = p^2 formunda olmalıdır. AA iki basamaklı olduğundan pp asal sayısı için 52=255^2 = 25 ve 72=497^2 = 49 değerleri elde edilir (32=93^2 = 9 tek basamaklı, 112=12111^2 = 121 üç basamaklıdır).
Tek asal çarpanlı iki basamaklı çözümleri belirlemek için.
3
A sayısının iki farklı asal çarpanı (k=2k=2) olduğu durumu inceleyelim.
A=paqbA = p^a q^b (p<qp < q) olsun. Eşitlikten pq(p+q)=paqb  ⟹  p+q=pa−1qb−1pq(p+q) = p^a q^b \implies p+q = p^{a-1}q^{b-1} elde edilir. Eğer a−1≥1a-1 \geq 1 ve b−1≥1b-1 \geq 1 ise pa−1qb−1≥pq>p+qp^{a-1}q^{b-1} \geq pq > p+q olacağından çözüm yoktur. Eğer a−1=0a-1=0 ise p+q=qb−1  ⟹  p=q(qb−2−1)p+q = q^{b-1} \implies p = q(q^{b-2}-1) olur ki bu durum qq asalının pp asalını bölmesini gerektirir, bu da pp ve qq farklı asallar olduğundan imkansızdır. b−1=0b-1=0 durumu da simetrik olarak çözümsüzdür.
İki asal çarpanlı durumların matematiksel olarak çözümsüz olduğunu kanıtlamak için.
4
A sayısının üç veya daha fazla asal çarpanı olduğu durumu inceleyelim.
p<q<rp < q < r olmak üzere en küçük üç asal sayı 2, 3 ve 5'tir. Bu durumda en küçük AA sayısı 22⋅31⋅52=3002^2 \cdot 3^1 \cdot 5^2 = 300 olur. Dolayısıyla üç veya daha fazla asal çarpanı olan tüm çözümler üç basamaklı veya daha büyüktür.
Çoklu asal çarpanlı durumların iki basamaklı olamayacağını göstermek için.
5
Bulunan iki basamaklı tüm AA değerlerini toplayalım.
25+49=7425 + 49 = 74 elde edilir.
Soruda istenen toplam değerini hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Asal Çarpanlara Ayırma ve Asal Sayı Özellikleri
Soru 14Soru →

Pozitif bir nn tam sayısının farklı asal çarpanlarının toplamı T(n)T(n), farklı asal çarpanlarının çarpımı ise C\c(n)Ç(n) ile gösterilmektedir.

Örneğin; 12=22⋅3112 = 2^2 \cdot 3^1 olduğundan T(12)=2+3=5T(12) = 2 + 3 = 5 ve C\c(12)=2⋅3=6Ç(12) = 2 \cdot 3 = 6 olur.

Buna göre,
C\c(n)−T(n)=15Ç(n) - T(n) = 15
eşitliğini sağlayan iki basamaklı en büyük nn doğal sayısının rakamları toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

Koşulu sağlayan en büyük iki basamaklı n sayısı 68 olduğundan rakamları toplamı 14'tür.
Koşulu sağlayan en büyük iki basamaklı n sayısı 68'dir ve rakamları toplamı 14 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
n sayısının farklı asal çarpan sayısı olan k değerine göre Ç(n) - T(n) ifadesinin durumu incelenir.
k = 1 için Ç(n) - T(n) = 0 olur. k >= 3 için en küçük durum olan {2, 3, 5} asalları için Ç(n) - T(n) = 30 - 10 = 20 > 15 olur. Dolay��sıyla n sayısının tam olarak 2 farklı asal çarpanı olmalıdır.
Çözümün hangi asal çarpan sayısında aranacağını tespit etmek.
2
k = 2 durumunda farklı p ve q asal sayıları için pq - (p + q) = 15 denklemi çözülür.
pq - p - q = 15 ifadesinin her iki tarafına 1 eklenirse (p - 1)(q - 1) = 16 elde edilir. p < q kabul edilirse 16'nın çarpanlarından p = 2 ve q = 17 tek asal çözümdür.
n sayısının asal çarpanlarının hangileri olduğunu belirlemek.
3
Asal çarpanları 2 ve 17 olan, n = 2^a * 17^b formatındaki iki basamaklı sayılar bulunur.
b = 1 ve a = 1 için n = 34, b = 1 ve a = 2 için n = 68 bulunur. Diğer durumlar iki basamaklı sınırını aşar. En büyük değer 68'dir.
Koşulu sağlayan en büyük iki basamaklı n sayısını elde etmek.
4
Elde edilen en büyük n sayısının rakamları toplamı hesaplanır.
n = 68 için rakamlar toplamı 6 + 8 = 14 bulunur.
Soruda istenen nihai değere ulaşmak.

Anahtar Kavram

Asal çarpanlara ayırma ve iki bilinmeyenli tamsayı denklemlerinin çözümü
Soru 15Soru →

300300 say��sının en büyük asal çarpanı ile en küçük asal çarpanının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

300 sayısının en büyük asal çarpanı ile en küçük asal çarpanının toplamı 7'dir.
300 sayısının asal çarpanları 2, 3 ve 5 olup; en küçüğü 2, en büyüğü 5'tir. Bu iki sayının toplamı 2 + 5 = 7 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
300 sayısının asal çarpan algoritması veya çarpan ağacı yardımıyla asal çarpanlarına ayrılması.
300=22×3×52300 = 2^2 \times 3 \times 5^2
Bir sayının asal çarpanlarını bulmak için öncelikle onu asal sayıların kuvvetleri şeklinde yazmamız gerekir.
2
Asal çarpanların belirlenmesi.
Asal çarpanlar 2, 3 ve 5'tir.
Tabanlardaki sayılar 300'ü bölen asal sayılardır.
3
En küçük ve en büyük asal çarpanların seçilip toplanması.
2+5=72 + 5 = 7
Soruda en büyük asal çarpan (5) ile en küçük asal çarpanın (2) toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Bir pozitif tam sayının asal çarpanlarına ayrılması ve asal çarpanlarının belirlenmesi.
Tahmini Süre:45s
Soru 16Soru →

Asal çarpanları yalnızca 22 ve 55 olan iki basamaklı en küçük doğal sayı ile asal çarpanları yalnızca 33 ve 77 olan iki basamaklı en küçük doğal sayının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 31

Cevap

Asal çarpanları yalnızca 22 ve 55 olan iki basamaklı en küçük doğal say�� 1010, asal çarpanları yalnızca 33 ve 77 olan iki basamaklı en küçük doğal sayı 2121 olduğundan, bu iki sayının toplamı 3131'dir.
Asal çarpanları yalnızca 22 ve 55 olan en küçük iki basamaklı sayı 21⋅51=102^1 \cdot 5^1 = 10 ve asal çarpanları yalnızca 33 ve 77 olan en küçük iki basamaklı sayı 31⋅71=213^1 \cdot 7^1 = 21 olduğundan, toplamları 10+21=3110 + 21 = 31 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Asal çarpanları yalnızca 22 ve 55 olan iki basamaklı en küçük doğal sayıyı belirleme.
1010
Sayı 2a⋅5b2^a \cdot 5^b formunda olmalıdır. En küçük iki basamaklı değer için a=1,b=1a=1, b=1 alınır.
2
Asal çarpanları yalnızca 33 ve 77 olan iki basamaklı en küçük doğal sayıyı belirleme.
2121
Sayı 3c⋅7d3^c \cdot 7^d formunda olmalıdır. En küçük iki basamaklı değer için c=1,d=1c=1, d=1 alınır.
3
Bulunan sayıların toplamını hesaplama.
3131
Bulunan 1010 ve 2121 değerleri toplanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bir sayının asal çarpanlarına ayrılması ve belirli asal çarpanlara sahip en küçük sayının oluşturulması.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 17Soru →

pp ve qq birer asal sayı olmak üzere,

p+q=25p + q = 25

olduğuna göre, p⋅qp \cdot q çarpımının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 46

Cevap

46 değeri doğru cevaptır.
Toplamları 25 (tek sayı) olan pp ve qq asal sayılarından birinin tek, diğerinin çift olması zorunludur. Çift olan tek asal sayı 2 olduğundan, asal sayılardan biri 2, diğeri ise 25−2=2325 - 2 = 23 olur. Bu iki asal sayının çarpımı 2⋅23=462 \cdot 23 = 46 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İki asal sayının toplamının tek sayı olma durumunu inceleyin.
pp ve qq birer asal sayı ve toplamları p+q=25p + q = 25 (tek sayı) olarak verilmiştir. İki tam sayının toplamının tek sayı olabilmesi için bu sayılardan birinin tek, diğerinin çift olması gerekir.
Toplamı oluşturan sayıların teklik-çiftlik durumunu belirlemek amacıyla bu adım uygulanır.
2
Çift olan asal sayıyı tespit edin.
Asal sayılar kümesindeki tek çift sayı 2'dir. Dolayısıyla sayılardan biri (örneğin pp) kesinlikle 2 olmalıdır.
Çift olan tek asal sayıya odaklanarak olasılıkları teke indirmek amacıyla bu adım uygulanır.
3
Diğer asal sayıyı ve bu iki sayının çarpımını hesaplayın.
p=2p = 2 olduğunda, 2+q=252 + q = 25 denkleminden q=23q = 23 bulunur. 23 sayısı bir asal sayı olduğundan koşul sağlanır. Bu durumda iki asal sayının çarpımı p⋅q=2⋅23=46p \cdot q = 2 \cdot 23 = 46 olarak bulunur.
Soruda istenen çarpım değerini elde etmek amacıyla bu adım uygulanır.

Anahtar Kavram

Toplamları tek sayı olan iki asal sayıdan birinin çift olan tek asal sayı 2 olması gerektiği bilgisi.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 18Soru →

Asal çarpanlarının toplamı 1010 ve en büyük asal çarpanı 77 olan bir pozitif tam sayının alabileceği iki basamaklı en küçük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

Asal çarpanlarının toplamı 10 ve en büyük asal çarpanı 7 olan en küçük iki basamaklı pozitif tam sayı 21'dir.
Asal çarpanlarının toplamı 10 ve en büyük asal çarpanı 7 olan bir sayının asal çarpanları yalnızca 3 ve 7 olabilir. Bu koşulu sağlayan en küçük iki basamaklı sayı, 3 ve 7'nin birinci kuvvetlerinin çarpımı olan 21'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Asal sayıların ve asal çarpan kavramının tanımlanması
Asal sayılar kümesi: {2, 3, 5, 7, 11, ...}
Soruda verilen toplam ve en büyük asal çarpan koşullarını sağlayan asalları belirlemek.
2
Koşulları sağlayan asal çarpanların bulunması
Asal çarpanlar kümesi: {3, 7}
En büyük asal çarpan 7 ve toplam 10 olduğundan, diğer asal çarpanların toplamı 3 olmalıdır. Bu şartı sağlayan tek asal sayı 3'tür.
3
Sayının genel formunun yazılması
x = 3^a * 7^b (a ve b pozitif tam sayılar)
Sayının sadece 3 ve 7 asal çarpanlarına sahip olduğunu göstermek.
4
İki basamaklı en küçük değerin hesaplanması
x = 3^1 * 7^1 = 21
En küçük değer için üslerin en küçük pozitif tam sayı değeri olan 1 seçilmesi gerekir.

Anahtar Kavram

Asal çarpanların toplamı ve en küçük pozitif tam sayıyı oluşturma kuralları.
Soru 19Soru →

Pozitif bir nn tam sayısı için p(n)p(n), nn sayısının en büyük asal çarpanı olarak tanımlanıyor.

Buna göre,
p(x)+p(y)=12p(x) + p(y) = 12
eşitliğini sağlayan, aralarında asal iki basamaklı kaç farklı (x,y)(x, y) sıralı tam sayı ikilisi vardır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 84

Cevap

Eşitliği sağlayan 84 farklı (x,y)(x, y) sıralı tam sayı ikilisi vardır.
Doğru cevap 84'tür. p(x)+p(y)=12p(x) + p(y) = 12 eşitliğinde p(x)p(x) ve p(y)p(y) asal sayı olmak zorunda olduğundan bu sayılar yalnızca 5 ve 7 olabilir. p(x)=5p(x)=5 ve p(y)=7p(y)=7 durumu için iki basamaklı ve ortak asal çarpanı olmayan xx ve yy sayıları yazıldığında 42 farklı (x,y)(x,y) ikilisi elde edilir. p(x)=7p(x)=7 ve p(y)=5p(y)=5 durumu da simetrik olarak 42 ikili getireceğinden toplam durum sayısı 84 olur.

Adım Adım Çözüm

1
En büyük asal çarpanların değerlerini belirleme
p(x)p(x) ve p(y)p(y) değerleri asal sayı olmak zorundadır. Toplamları 12 olan iki asal say�� yalnızca 5 ve 7'dir. Dolayısıyla {p(x),p(y)}={5,7}\{p(x), p(y)\} = \{5, 7\} olmalıdır. İlk olarak p(x)=5p(x) = 5 ve p(y)=7p(y) = 7 durumunu inceleyelim.
Fonksiyonun tanımı gereği çıktıların asal sayı olması gerekir ve toplamı 12 yapan asal çifti aranır.
2
Asal çarpan kümelerini tanımlama
p(x)=5p(x) = 5 ise xx'in asal çarpanları yalnızca {2,3,5}\{2, 3, 5\} kümesinden seçilebilir ve 5 mutlaka bulunmalıdır. p(y)=7p(y) = 7 ise yy'in asal çarpanları yalnızca {2,3,5,7}\{2, 3, 5, 7\} kümesinden seçilebilir ve 7 mutlaka bulunmalıdır.
En büyük asal çarpan sınırları, sayıların bölünebileceği diğer asal sayıları belirler.
3
Aralarında asallık ve basamak koşullarını uygulama
xx ve yy aralarında asal olduğundan ortak asal çarpanları olamaz. Bu nedenle 5 sayısı yy'nin çarpanı olamaz. Geriye kalan 2 ve 3 asal çarpanları xx ve yy arasında paylaştırılmalıdır. İki basamaklı (10 ile 99 arasında) olma koşuluna göre durumlar şöyledir:

Durumx'in Asal Çarpanlarıy'nin Asal Çarpanlarıx Değerleri (Adet)y Değerleri (Adet)İkili Sayısı
1{5}{7}25 (1)49 (1)1 x 1 = 1
2{2, 5}{7}10, 20, 40, 50, 80 (5)49 (1)5 x 1 = 5
3{3, 5}{7}15, 45, 75 (3)49 (1)3 x 1 = 3
4{2, 3, 5}{7}30, 60, 90 (3)49 (1)3 x 1 = 3
5{5}{2, 7}25 (1)14, 28, 56, 98 (4)1 x 4 = 4
6{5}{3, 7}25 (1)21, 63 (2)1 x 2 = 2
7{5}{2, 3, 7}25 (1)42, 84 (2)1 x 2 = 2
8{2, 5}{3, 7}10, 20, 40, 50, 80 (5)21, 63 (2)5 x 2 = 10
9{3, 5}{2, 7}15, 45, 75 (3)14, 28, 56, 98 (4)3 x 4 = 12
Ortak asal çarpan barındırmama koşulu altında tüm olası iki basamaklı sayı kombinasyonları sayılır.
4
Toplam sıralı ikili sayısını hesaplama
p(x)=5p(x) = 5 ve p(y)=7p(y) = 7 için toplam 1+5+3+3+4+2+2+10+12=421+5+3+3+4+2+2+10+12 = 42 farklı durum vardır. Sıralı ikili belirtildiğinden p(x)=7p(x) = 7 ve p(y)=5p(y) = 5 durumu da simetrik olarak 42 farklı durum verir. Toplam sıralı ikili sayısı 42+42=8442 + 42 = 84 bulunur.
(x,y)(x, y) sıralı ikililerinde bileşenlerin yer değiştirmesi yeni bir durum oluşturur.

Anahtar Kavram

En Büyük Asal Çarpan ve Aralarında Asallık İlişkisi
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 20Soru →

Farklı asal çarpanlarının toplamı, pozitif bölen sayısına eşit olan pozitif tam sayılara 'asal-özdeş sayılar' denir.

Buna göre, iki basamaklı asal-özdeş sayı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 84

Cevap

İki basamaklı asal-özdeş sayı 84'tür.
İki basamaklı asal-özdeş sayı olan 84 sayısı, 22⋅31⋅712^2 \cdot 3^1 \cdot 7^1 şeklinde asal çarpanlarına ayrılır. Farklı asal çarpanlarının toplamı 2+3+7=122+3+7=12'dir. Pozitif bölen sayısı ise (2+1)(1+1)(1+1)=12(2+1)(1+1)(1+1)=12'dir. Bu değerler birbirine eşit olduğundan 84 sayısı asal-özdeş bir sayıdır. Yapılan analizler, iki basamaklı sayılar arasında bu şartı sağlayan başka bir doğal sayı olmadığını göstermektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Tanıma uygun matematiksel ifadeleri yazmak.
Bir nn sayısı için farklı asal ��arpanların toplamı S(n)=p1+p2+⋯+prS(n) = p_1 + p_2 + \dots + p_r ve pozitif bölen sayısı PBS(n)=(a1+1)(a2+1)…(ar+1)PBS(n) = (a_1+1)(a_2+1)\dots(a_r+1) olur. Aranan şart S(n)=PBS(n)S(n) = PBS(n) olmasıdır.
Soruda verilen asal-özdeşlik tanımını formülize etmek için.
2
Asal çarpan sayısına (rr) göre durumları analiz etmek.
Tek asal çarpanlı (r=1r=1) durumda iki basamaklı çözüm yoktur (p=3  ⟹  n=9p=3 \implies n=9, p=5  ⟹  n=625p=5 \implies n=625). İki asal çarpanlı (r=2r=2) durumda p1+p2=(a1+1)(a2+1)p_1+p_2 = (a_1+1)(a_2+1) eşitliği incelenir. İki basamaklı ve bu şartı sağlayan bir n=p1ap2bn = p_1^a p_2^b sayısı bulunamaz (örneğin n=33⋅51=135n = 3^3 \cdot 5^1 = 135 üç basamaklıdır).
Çözüm uzayını daraltmak ve olası basamak sayıların�� kontrol etmek için.
3
Üç asal çarpanlı (r=3r=3) durumu inceleyip en küçük çözümü oluşturmak.
Asal çarpanları {2,3,7}\{2, 3, 7\} seçtiğimizde toplamları 2+3+7=122+3+7=12 olur. Bölen sayısının 12 olması için üsler {1,1,2}\{1, 1, 2\} olmalıdır. Sayıyı en küçük tutmak için büy��k üssü küçük asala veririz: n=22⋅31⋅71=84n = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 7^1 = 84 sayısı iki basamaklıdır ve şartı sağlar.
İki basamaklı aralıkta şartı sağlayan tek sayıyı tespit etmek için.

Anahtar Kavram

Bir doğal sayının asal çarpanlarının toplamı ile pozitif bölen sayısının hesaplanması ve analiz edilmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Sayfa 1 / 2Sonraki