Examkin

Soru

Zorluk: OrtaAsal Sayılar ve Asal Çarpanlara Ayırma

Bir pozitif tam sayının farklı asal çarpanlarının toplamı, bu sayının kendisi dışındaki en büyük pozitif tam sayı bölenine eşit ise bu sayıya toplamsal-asal sayı denir.

Buna göre, iki basamaklı tüm toplamsal-asal sayıların toplamı kaçtır?

  1. 74Cevap
  2. B
    83
  3. C
    90
  4. D
    101
  5. E
    120

Cevap

İki basamaklı tüm toplamsal-asal sayıların toplamı 74'tür.
Toplamsal-asal sayı tanımına uyan iki basamaklı sayılar yalnızca asal sayıların kareleri olan 25 ve 49 sayılarıdır. Bu iki sayının toplamı 74 olduğundan doğru cevaba ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Toplamsal-asal sayı tanımını analiz etme
nn sayısının farklı asal çarpanlarının toplamı S(n)S(n) ve kendisi dışındaki en büyük pozitif böleni M(n)M(n) olsun. Tanıma göre S(n)=M(n)S(n) = M(n) olmalıdır.
Soruda verilen kural�� matematiksel bir denkleme dönüştürmek için.
2
Farklı asal çarpan sayısına göre olası durumları inceleme
nn sayısının sadece tek bir asal çarpanı varsa (n=pan = p^a), farklı asal çarpanlarının toplamı S(n)=pS(n) = p olur. Kendisi dışındaki en büyük pozitif böleni ise M(n)=pa−1M(n) = p^{a-1} olur. Buradan S(n)=M(n)  ⟹  p=pa−1  ⟹  a−1=1  ⟹  a=2S(n) = M(n) \implies p = p^{a-1} \implies a-1 = 1 \implies a = 2 bulunur. Dolayısıyla n=p2n = p^2 formundaki sayılar bu şartı sağlar. Birden fazla asal çarpanı olan sayılar için S(n)<M(n)S(n) < M(n) olacağından çözüm bulunamaz.
Şartı sağlayan sayıların genel formunu belirlemek için.
3
İki basamaklı şartı sağlayan sayıları bulma ve toplama
n=p2n = p^2 formundaki sayılardan iki basamaklı olanlar, pp asal sayı olmak üzere; p=5p=5 için 52=255^2 = 25 ve p=7p=7 için 72=497^2 = 49 sayılarıdır. Diğer asal sayılar için sonuç ya tek basamaklı (22=42^2=4, 32=93^2=9) ya da üç basamaklı (112=12111^2=121) olur. Bu iki basamaklı sayıların toplamı ise 25+49=7425 + 49 = 74 bulunur.
İki basamaklı koşuluna uyan sayıları tespit edip istenen toplamı hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Bir sayının asal çarpanlarının belirlenmesi ve pozitif bölenlerinin bulunması.

Alternatif Yöntem

Sayıları tek tek incelemek yerine, asal sayıların kuvvetlerini düşünerek sadece p2p^2 biçimindeki sayıların bu kurala uyduğunu genel cebirsel formüllerle ispatlamak en hızlı yöntemdir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Asal Sayılar ve Asal Çarpanlara Ayırma

Bu konudan daha fazla soru