Bir n pozitif tam sayısının en büyük asal çarpanı P(n) ile gösterilmektedir. n iki basamak… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

Bir $n$ pozitif tam sayısının en büyük asal çarpanı $P(n)$ ile gösterilmektedir.

n

iki basamaklı bir doğal sayı olmak üzere,

P(n) + P(n+1) = 18

eşitliğini sağlayan kaç farklı

n

değeri vardır?

Cevap: 6

Cevap

Eşitliği sağlayan iki basamaklı 6 farklı n doğal sayısı vardır.

Toplamları 18 olan asal sayı ikilileri {5, 13} veya {7, 11} olabilir. Bu durumlara uyan ve n ile n+1 ardışık sayılarının en büyük asal çarpan koşullarını sağlayan iki basamaklı n sayıları sırasıyla 21, 25, 39, 55, 90 ve 98 olmak üzere 6 adettir.

Adım Adım Çözüm

Toplamları 18 olan asal sayı çiftlerinin belirlenmesi

Asal sayılar kümesi düşünüldüğünde, toplamları 18 olan asal sayı ikilileri sadece {5, 13} ve {7, 11} olabilir.

P(n) ve P(n+1) değerleri birer asal sayı olmak zorundadır.

P(n) = 5 ve P(n+1) = 13 durumunun çözülmesi

n = 25 ve n = 90 elde edilir.

n+1 sayısının 100'den küçük ve en büyük asal çarpanı 13 olan katları incelenir: 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91. Bu sayıların 1 eksiği olan n değerleri içinden en büyük asal çarpanı 5 olanlar (25 ve 90) seçilir.

P(n) = 13 ve P(n+1) = 5 durumunun çözülmesi

n = 39 elde edilir.

n sayısının en büyük asal çarpanı 13 olmalıdır. İki basamaklı 13'ün katları içinden n+1 sayısının en büyük asal çarpanı 5 olan durum n = 39 (n+1 = 40) olarak bulunur.

P(n) = 7 ve P(n+1) = 11 durumunun çözülmesi

n = 21 ve n = 98 elde edilir.

n+1 sayısının en büyük asal çarpanı 11 olmalıdır. İki basamaklı 11'in katları incelenip, 1 eksiği olan n sayısının en büyük asal çarpanının 7 olduğu n = 21 (n+1 = 22) ve n = 98 (n+1 = 99) değerleri bulunur.

P(n) = 11 ve P(n+1) = 7 durumunun çözülmesi

n = 55 elde edilir.

n sayısının en büyük asal çarpanı 11 olmalıdır. İki basamaklı 11'in katları incelenip, 1 fazlası olan n+1 sayısının en büyük asal çarpanının 7 olduğu n = 55 (n+1 = 56) değeri bulunur.

Anahtar Kavram

Asal sayılar ve asal çarpanlar yardımıyla denklem çözme

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru