Examkin

Soru

Zorluk: OrtaAsal Sayılar ve Asal Çarpanlara Ayırma

Birden fazla farklı asal çarpanı olan bir nn pozitif tam sayısı, farklı asal çarpanlarının toplamına tam bölünebiliyorsa bu sayıya toplamsal-bölen sayı denir.

Örneğin, 18 sayısının farklı asal çarpanları 2 ve 3 olup toplamları 2+3=52+3=5’tir. 18 sayısı 5 ile tam bölünmediğinden 18 bir toplamsal-bölen sayı değildir.

Buna göre, iki basamaklı en küçük toplamsal-bölen sayı ile iki basamaklı en büyük toplamsal-bölen sayının toplamı kaçtır?

  1. A
    108
  2. B
    114
  3. C
    126
  4. 120Cevap
  5. E
    132

Cevap

İki basamakl�� en küçük ve en büyük toplamsal-bölen sayıların toplamı 120'dir.
İki basamaklı en küçük toplamsal-bölen sayı 30'dur. Çünkü farklı asal çarpanları olan 2, 3 ve 5'in toplamı 10'dur ve 30 sayısı 10'a tam bölünür. İki basamaklı en büyük toplamsal-bölen sayı ise 90'dır. Çünkü farklı asal çarpanları olan 2, 3 ve 5'in toplamı 10'dur ve 90 sayısı 10'a tam bölünür. Bu iki sayının toplamı 30 + 90 = 120'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Toplamsal-bölen sayı tanımını analiz etmek.
Bir nn sayısının farklı asal çarpanlarının toplamına S(n)S(n) dersek, nn sayısı S(n)S(n) ile tam bölünmelidir ve nn sayısının en az iki farklı asal çarpanı olmalıdır.
Soruda verilen tanımı matematiksel bir kurala dökmek için.
2
İki farklı asal çarpanı olan sayıların bu tanıma uyup uymadığını kontrol etmek.
Eğer n=pa⋅qbn = p^a \cdot q^b (pp ve qq farklı asallar) ise farklı asal çarpanların toplamı p+qp+q olur. p+qp+q sayısı pp ve qq asallarının her biriyle aralarında asaldır. Dolayısıyla p+qp+q sayısı, pa⋅qbp^a \cdot q^b sayısını asla tam bölemez. Bu durumda iki farklı asal çarpanı olan hiçbir sayı toplamsal-bölen sayı olamaz.
Arama uzayını daraltmak ve yalnızca üç veya daha fazla farklı asal çarpanı olan sayıları incelemek için.
3
İki basamaklı en küçük toplamsal-bölen sayıyı bulmak.
En az üç farklı asal çarpanı olan en küçük pozitif tam sayı 2⋅3⋅5=302 \cdot 3 \cdot 5 = 30’dur. 30 sayısının asal çarpanları 2, 3 ve 5’tir. Toplamları 2+3+5=102+3+5=10’dur. 30 sayısı 10 ile tam bölündüğünden (30 / 10 = 3), iki basamaklı en küçük toplamsal-bölen sayı 30'dur.
Tanıma uyan en küçük iki basamaklı sayıyı belirlemek için.
4
İki basamaklı en büyük toplamsal-bölen sayıyı bulmak.
En büyük iki basamaklı sayılardan geriye doğru gidilerek en az üç farklı asal çarpanı olan sayılar incelenir. 90 sayısı 2⋅32⋅52 \cdot 3^2 \cdot 5 şeklinde yazılır ve asal çarpanları 2, 3, 5'tir. Toplamları 2+3+5=102+3+5=10'dur. 90 sayısı 10 ile tam bölündüğünden (90 / 10 = 9) bu kuralı sağlar. 90'dan büyük başka hiçbir iki basamaklı sayı bu tanıma uymaz.
Tanıma uyan en büyük iki basamaklı sayıyı belirlemek için.
5
Bulunan en küçük ve en büyük sayıları toplamak.
30+90=12030 + 90 = 120 bulunur.
Soruda istenen toplam değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Asal çarpanlara ayırma, farklı asal çarpanların toplamı ve bölünebilme kuralları.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Asal Sayılar ve Asal Çarpanlara Ayırma

Bu konudan daha fazla soru