Examkin

Soru

Zorluk: ZorÖnermeler ve Bağlaçlar

a,ba, b ve cc pozitif tam sayıları için

p:a+bp: a + b toplamı tektir.
q:b⋅cq: b \cdot c çarpımı çifttir.
r:a⋅cr: a \cdot c çarpımı tektir.

önermeleri veriliyor.

(p∧q)⇒r(p \land q) \Rightarrow r

bileşik önermesi yanlış olduğuna göre;

I. a+b+ca + b + c toplamı tektir.
II. a⋅ba \cdot b çarpımı çifttir.
III. b+cb + c toplamı çifttir.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yaln��z II
  3. I ve IICevap
  4. D
    I ve III
  5. E
    II ve III

Cevap

I ve II
I ve II ifadelerinin yer aldığı seçenek doğrudur. Çünkü her iki olası teklik-çiftlik durumunda da a+b+ca+b+c toplamı tek ve a⋅ba \cdot b çarpımı çift olmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşik önermenin doğruluk değerini ��özümlemek.
(p∧q)⇒r≡0(p \land q) \Rightarrow r \equiv 0 olduğundan, ise (⇒\Rightarrow) bağlacının özelliğine göre ön bileşen p∧q≡1p \land q \equiv 1 ve art bileşen r≡0r \equiv 0 olmalıdır. Buradan p≡1p \equiv 1, q≡1q \equiv 1 ve r≡0r \equiv 0 elde edilir.
Verilen bileşik önermenin yanlış olduğu bilgisi kullanılarak temel önermelerin (p,q,rp, q, r) doğruluk de��erlerini belirlemek.
2
Doğruluk değerlerini sayısal özelliklere (teklik-çiftlik durumlarına) tercüme etmek.
- p≡1⇒a+bp \equiv 1 \Rightarrow a + b toplamı tektir. Bu durum aa ve bb sayılarından birinin tek, diğerinin çift olmasını gerektirir.
- q≡1⇒b⋅cq \equiv 1 \Rightarrow b \cdot c çarpımı çifttir. Bu durum bb veya cc sayılarından en az birinin çift olmasını gerektirir.
- r≡0⇒a⋅cr \equiv 0 \Rightarrow a \cdot c çarpımı çifttir (çünkü a⋅ca \cdot c tektir önermesi yanlıştır). Bu durum aa veya cc sayılarından en az birinin çift olmasını gerektirir.
Mantıksal sonuçları matematiksel teklik ve çiftlik koşullarına dönüştürmek.
3
Elde edilen teklik-çiftlik koşullarını sağlayan durum analizini yapmak.
İki olası durum vardır:
1. Durum: aa tek ve bb çift olsun. bb çift olduğundan b⋅cb \cdot c çarpımı çifttir (q≡1q \equiv 1 sağlanır). a⋅ca \cdot c çarpımının çift olması (r≡0r \equiv 0) için aa tek olduğundan cc çift olmalıdır. Buradan (a,b,c)=(Tek,C¸ift,C¸ift)(a, b, c) = (\text{Tek}, \text{Çift}, \text{Çift}) bulunur.
2. Durum: aa çift ve bb tek olsun. b⋅cb \cdot c çarpımının çift olması (q≡1q \equiv 1) için bb tek olduğundan cc çift olmalıdır. aa çift olduğundan a⋅ca \cdot c çarpımı otomatikman çift olur (r≡0r \equiv 0 sağlanır). Buradan (a,b,c)=(C¸ift,Tek,C¸ift)(a, b, c) = (\text{Çift}, \text{Tek}, \text{Çift}) bulunur. Her iki durumda da cc çift sayıdır ve aa ile bb sayılarından biri tek, diğeri çifttir.
Değişkenlerin alabileceği tüm teklik-çiftlik kombinasyonlarını belirlemek.
4
Öncülleri (I, II ve III) her iki durum için test etmek.
- I. a+b+ca + b + c toplamı: Bir tek ve iki çift sayının toplamı her zaman tektir. (Her zaman doğru)
- II. a⋅ba \cdot b çarpımı: aa ve bb sayılarından biri çift olduğundan çarpımları her zaman çifttir. (Her zaman doğru)
- III. b+cb + c toplamı: 1. durumda C¸ift+C¸ift=C¸ift\text{Çift} + \text{Çift} = \text{Çift} iken 2. durumda Tek+C¸ift=Tek\text{Tek} + \text{Çift} = \text{Tek} olur. (Her zaman doğru değil)
Hangi ifadelerin her iki durumda da her zaman doğru olduğunu saptamak.

Anahtar Kavram

Bileşik önermelerin doğruluk değerleri ile tam sayıların teklik-çiftlik özelliklerinin birlikte analiz edilmesi
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Önermeler ve Bağlaçlar

Bu konudan daha fazla soru