Examkin

Soru

Zorluk: ZorPozitif ve Negatif Sayılar
Birer gerçel sayı olan aa ve bb için
(−a)2⋅(−b)3≥0(-a)^2 \cdot (-b)^3 \geq 0
eşitsizliği sağlandığına göre, bb sayısının pozitif bir sayı olamayacağı iddiası her zaman doğru mudur?

Cevap: Cevap

Cevap

Verilen iddia her zaman doğru değildir (yanlıştır), çünkü a=0a = 0 durumunda bb sayısı pozitif bir değer alabilir.
İddia yanlıştır. Eşitsizliği sağlayan aa ve bb gerçel sayıları için a=0a=0 seçildiğinde, (−a)2=0(-a)^2 = 0 olur ve çarpımın sonucu bb'nin tüm değerleri için sıfıra eşit olur. Bu durumda bb sayısı pozitif bir değer (örneğin b=1b=1) alabilmektedir. Dolayısıyla, bb sayısının pozitif olamayacağı iddiası her zaman doğru değildir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitsizlikteki ifadelerin işaret durumlarını incelemek için parantezli üslü ifadelerin özelliklerini belirlemek.
(−a)2(-a)^2 ifadesi her aa gerçel sayısı için sıfırdan büyük veya sıfıra eşittir ((−a)2≥0(-a)^2 \geq 0). Benzer şekilde (−b)3(-b)^3 ifadesi, −b-b sayısının işareti ile aynı işarete sahiptir.
Çarpımın sonucunun sıfırdan büyük veya eşit olması durumunu analiz edebilmek için çarpanların alabileceği değer aralıklarını bilmemiz gerekir.
2
a=0a = 0 olma durumunu (sıfırın nötr olma özelliğini) kontrol etmek.
Eğer a=0a = 0 ise (−a)2=(−0)2=0(-a)^2 = (-0)^2 = 0 olur. Bu durumda (−a)2⋅(−b)3=0⋅(−b)3=0≥0(-a)^2 \cdot (-b)^3 = 0 \cdot (-b)^3 = 0 \geq 0 eşitsizliği, bb sayısının değeri ne olursa olsun her zaman sağlanır.
Sıfır sayısı işaretsiz (nötr) bir sayıdır ve çarpma işleminde yutan elemandır; bu özel durumun eşitsizliğin çözüm kümesini nasıl etkilediğini görmemiz gerekir.
3
bb sayısının pozitif bir değer alıp alamayacağını bir karşı örnekle test etmek.
a=0a = 0 ve b=1b = 1 (pozitif bir sayı) seçildiğinde, (−0)2⋅(−1)3=0⋅(−1)=0≥0(-0)^2 \cdot (-1)^3 = 0 \cdot (-1) = 0 \geq 0 eşitsizliği doğru olur. Dolayısıyla bb sayısı pozitif bir sayı olabilir.
İddianın doğruluğunu çürütmek için eşitsizliği sağlayan en az bir pozitif bb değerinin var olduğunu göstermek yeterlidir.

Anahtar Kavram

Pozitif ve negatif sayılarda sıfırın nötr (işaretsiz) olma durumu ve çift kuvvetlerin sıfıra eşit olabilme özelliği.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Pozitif ve Negatif Sayılar

Bu konudan daha fazla soru