Examkin

Soru

Zorluk: OrtaAçık Önermeler ve Niceleyiciler
Z\mathbb{Z} tam sayılar kümesini ve R\mathbb{R} gerçek sayılar kümesini göstermek üzere,
p:"(∃x∈Z, 3x+2<8)⇒(∀x∈R, x2≥0)"p: "(\exists x \in \mathbb{Z}, \ 3x + 2 < 8) \Rightarrow (\forall x \in \mathbb{R}, \ x^2 \geq 0)"
önermesi veriliyor.

Buna göre, pp önermesinin değili olan p′p' önermesi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    (∀x∈Z, 3x+2≥8)⇒(∃x∈R, x2<0)(\forall x \in \mathbb{Z}, \ 3x + 2 \geq 8) \Rightarrow (\exists x \in \mathbb{R}, \ x^2 < 0)
  2. B
    (∃x∈Z, 3x+2<8)⇒(∃x∈R, x2<0)(\exists x \in \mathbb{Z}, \ 3x + 2 < 8) \Rightarrow (\exists x \in \mathbb{R}, \ x^2 < 0)
  3. (∃x∈Z, 3x+2<8)∧(∃x∈R, x2<0)(\exists x \in \mathbb{Z}, \ 3x + 2 < 8) \wedge (\exists x \in \mathbb{R}, \ x^2 < 0)Cevap
  4. D
    (∃x∈Z, 3x+2<8)∧(∃x∈R, x2≤0)(\exists x \in \mathbb{Z}, \ 3x + 2 < 8) \wedge (\exists x \in \mathbb{R}, \ x^2 \leq 0)
  5. E
    (∃x∈R, 3x+2<8)∧(∃x∈Z, x2<0)(\exists x \in \mathbb{R}, \ 3x + 2 < 8) \wedge (\exists x \in \mathbb{Z}, \ x^2 < 0)

Cevap

Birinci bileşeni aynı kalan, aradaki bağlacı ve (∧\wedge) olan ve ikinci bileşenindeki niceleyici ile eşitsizlik yönü doğru biçimde tersine çevrilen önerme doğru cevaptır.
Mantık kurallarına göre A⇒BA \Rightarrow B koşullu önermesinin değili A∧B′A \wedge B' ifadesine denktir. Burada birinci önerme olan tam sayılar üzerindeki açık önerme aynen kalmış, aradaki bağlaç 've' yapılmış, ikinci önermenin ise niceliği 'bazı' (∃\exists) haline getirilip eşitsizliği de sıfırdan küçük (<0< 0) olacak şekilde doğru şekilde tersine çevrilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Koşullu önermenin değili kuralını belirleme
p⇒q≡p′∨qp \Rightarrow q \equiv p' \vee q olduğundan, bu ifadenin değili ¬(p⇒q)≡¬(p′∨q)≡p∧q′\neg(p \Rightarrow q) \equiv \neg(p' \vee q) \equiv p \wedge q' şeklinde elde edilir.
Verilen önerme bir ise (⇒\Rightarrow) önermesi olduğu için olumsuzunu almak amacıyla bu mantıksal denklik kuralı uygulanmalıdır.
2
İkinci bileşenin (qq) değilini (q′q') hesaplama
q:(∀x∈R, x2≥0)q: (\forall x \in \mathbb{R}, \ x^2 \geq 0) önermesinin değili q′:(∃x∈R, x2<0)q': (\exists x \in \mathbb{R}, \ x^2 < 0) olarak bulunur.
Niceleyicilerin değili alınırken 'her' (∀\forall) niceleyicisi 'bazı' (∃\exists) niceleyicisine dönüşür ve ≥\geq sembolünün değili << sembolü olur.
3
Bileşenleri p∧q′p \wedge q' formunda birleştirme
Birinci bileşen olan (∃x∈Z, 3x+2<8)(\exists x \in \mathbb{Z}, \ 3x + 2 < 8) aynen korunur ve araya 've' (∧\wedge) bağlacı konularak ikinci bileşenin değili ile birleştirilir. Sonuç: (∃x∈Z, 3x+2<8)∧(∃x∈R, x2<0)(\exists x \in \mathbb{Z}, \ 3x + 2 < 8) \wedge (\exists x \in \mathbb{R}, \ x^2 < 0)
İlk adımda elde edilen mantıksal denklik kuralına göre önermenin olumsuzu bu şekilde kurulur.

Anahtar Kavram

Açık önermelerin ve niceleyici içeren bileşik önermelerin değili (olumsuzu)
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Açık Önermeler ve Niceleyiciler

Bu konudan daha fazla soru