Examkin

Soru

Zorluk: OrtaAçık Önermeler ve Niceleyiciler

Tam sayılar ve gerçek sayılar kümeleri üzerinde aşağıdaki pp, qq ve rr önermeleri tanımlanıyor:

p:∀x∈R, x2+4>0p: \forall x \in \mathbb{R}, \ x^2 + 4 > 0
q:∃x∈Z, 2x−3=0q: \exists x \in \mathbb{Z}, \ 2x - 3 = 0
r:∀x∈Z−, x2>xr: \forall x \in \mathbb{Z}^-, \ x^2 > x

Buna göre;

I. p⇒qp \Rightarrow q
II. q′∨r′q' \lor r'
III. p∧rp \land r

ifadelerinden hangilerinin doğruluk değeri 11'dir?

  1. A
    Yalnız II
  2. B
    I ve II
  3. II ve IIICevap
  4. D
    I ve III
  5. E
    I, II ve III

Cevap

II ve III
pp ve rr önermelerinin doğruluk değerleri 11, qq önermesinin doğruluk değeri ise 00'dır. Bu değerler bileşik önermelerde yerine yazıldığında ikinci ve üçüncü ifadelerin doğruluk değerleri 11 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
pp önermesinin doğruluk değerini belirleme
p≡1p \equiv 1
Her x∈Rx \in \mathbb{R} için x2≥0x^2 \geq 0 olduğundan, eşitsizliğin her iki tarafına 44 eklendiğinde x2+4≥4>0x^2 + 4 \geq 4 > 0 elde edilir. Bu ifade tüm gerçek sayılar için doğru olduğundan pp önermesinin doğruluk değeri 11'dir.
2
qq önermesinin doğruluk değerini belirleme
q≡0q \equiv 0
2x−3=02x - 3 = 0 denklemini sağlayan xx değeri 1.51.5'tir. Ancak 1.5∉Z1.5 \notin \mathbb{Z} olduğundan, bu denklemi sağlayan bir tam sayı yoktur. Dolayısıyla qq önermesinin doğruluk değeri 00'dır.
3
rr önermesinin doğruluk değerini belirleme
r≡1r \equiv 1
Her negatif tam sayı (x∈Z−x \in \mathbb{Z}^-) için x2x^2 pozitif bir gerçek sayıdır. Pozitif bir sayı daima negatif bir sayıdan büyük olacağından, her negatif tam sayı için x2>xx^2 > x eşitsizliği doğrudur. Dolayısıyla rr önermesinin doğruluk değeri 11'dir.
4
Bileşik önermelerin doğruluk değerlerini hesaplama
I. ifade 00, II. ve III. ifadeler 11'dir.
Bulunan p≡1p \equiv 1, q≡0q \equiv 0, r≡1r \equiv 1 değerleri yerine yazıldığında:
I. p⇒q≡1⇒0≡0p \Rightarrow q \equiv 1 \Rightarrow 0 \equiv 0
II. q′∨r′≡0′∨1′≡1∨0≡1q' \lor r' \equiv 0' \lor 1' \equiv 1 \lor 0 \equiv 1
III. p∧r≡1∧1≡1p \land r \equiv 1 \land 1 \equiv 1
elde edilir.

Anahtar Kavram

Açık önermelerin belirtilen sayı kümelerindeki doğruluk değerlerinin bulunması ve niceleyicilerin mantıksal yorumu
Bu soruyu puanla

Konular

Açık Önermeler ve Niceleyiciler

Bu konudan daha fazla soru