Boş kümeden farklı A, B ve C kümeleri için aşağıdakiler bilinmektedir: - A \cap C = \empty… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

Boş kümeden farklı $A$ , $B$ ve $C$ kümeleri için aşağıdakiler bilinmektedir:
- $A \cap C = \emptyset$
- $A \cap B \neq \emptyset$
- $B \cap C \neq \emptyset$
- $s(A \cup B \cup C) = 35$
- $s(A) = 2 \cdot s(B) = 3 \cdot s(C)$

Buna göre, $s(B \cap (A \cup C))$ ifadesinin değeri kaçtır?

Cevap: 9

Cevap

İstenen kesişim ve birleşim işleminin eleman sayısı olan 9'dur.

A

C

kümelerinin ortak elemanı bulunmadığı için (

A \cap C = \emptyset

), bu kümelerin

B

ile kesişimleri olan

A \cap B

B \cap C

kümeleri de tamamen ayrıktır. Bu iki ayrık kümenin eleman sayılarının toplamı, içinde bulundukları

B

kümesinin eleman sayısından büyük olamaz. Buradan elde edilen üst sınır eşitsizliği ile kesişimlerin boş kümeden farklı olmasından kaynaklanan alt sınır eşitsizliği birleştirildiğinde,

k

tam sayısı benzersiz bir şekilde

4

olarak belirlenir. Bu değer birleşim denkleminde yerine yazıldığında aranan eleman sayısı 9 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

Kümelerin eleman sayılarını ortak bir k parametresine bağlı olarak yazmak

s(A) = 6k

s(B) = 3k

s(C) = 2k

(burada

k

bir tam sayıdır)

Verilen oranları tek bir bilinmeyen cinsinden ifade etmek için

Üçlü küme birleşimi formülünü uygulamak ve sadeleştirmek

s(A \cap B) + s(B \cap C) = 11k - 35

A \cap C = \emptyset

koşulundan ötürü kesişim eleman sayısının sıfır olmasını kullanmak

Kesişim kümelerinin ayrık olması özelliğini kullanarak üst sınır belirlemek

11k - 35 \le 3k \implies k \le 4,375

A \cap B

B \cap C

ayrık kümelerinin birleşiminin

B

kümesinin alt kümesi olmasından dolayı

Kesişimlerin boş kümeden farklı olması koşuluyla alt sınır belirlemek ve k değerini bulmak

11k - 35 \ge 2 \implies k \ge 3,36 \implies k = 4

Her iki kesişim kümesinin de en az 1 elemanı olması gerektiğinden ve

k

tam sayı olduğundan

Bulunan k değerini kullanarak nihai sonucu hesaplamak

s(B \cap (A \cup C)) = 9

Dağılma özelliğiyle elde edilen

(B \cap A) \cup (B \cap C)

kümesinin eleman sayısını hesaplamak için

Anahtar Kavram

Ayrık kümelerin kesişim özellikleri, birleşim formülü ve eleman sayılarının tam sayı olma zorunluluğunun sınır şartları ile birleştirilmesi.

Alternatif Yöntem

Venn şeması üzerinde

A

B

C

kümelerinin kesişim bölgeleri harflendirilerek (

s(A \cap B) = x

s(B \cap C) = y

gibi) denklem ve eşitsizlik sistemi görselleştirilerek de çözüme gidilebilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Konular

Bu konudan daha fazla soru